モンティ・ホール問題
皆様、『モンティ・ホール問題』という確率論の問題をご存じでしょうか？これ結構面白いですし、頭の体操になるのでご紹介します。
算数、あるいは論理的思考や場合の数が得意な中学受験生なら、正解とその理由まで説明できるかも知れません。場合の数が得意なお子さんに出題してみるといいと思いますよ。
以下のようなものです。
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モンティ・ホールという人物が司会を務める番組で以下のようなゲームがあります。
回答者の前には閉じている3つのドアがあります。そのうち1つのドアの後ろには景品の車が、2つのドアの後ろにはハズレを意味するヤギがいます。回答者は車が後ろにあるドアを指定するとその車がもらえます。
まず回答者は1つのドアを選択します。その後司会のモンティは、残りの2つのドアのうちヤギがいるドアを必ず開けてヤギを見せます。
ここでモンティから｢回答者は、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドア(つまり残り2つのうちモンティが開けていけていない方ドア)に変更してもよい｣と言われます。
ここで回答者はドアを変更すべきでしょうか？
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いかがでしょう？ちょっと考えてみて下さい。
｢当たる確率は変わらないのだからドアを変えても変えなくてもどちらでも同じ。」
とお答えになった方は結構多いのではないでしょうか？
実はこれは誤りです。この問題、話題になった当時は数学者ですら間違ったので、間違ってしまうのも当然です。
正解
ドアを変えない場合は車のドアを当てる確率は1/3、変えた場合に車のドアを当てる確率は2/3になるので、｢回答者は残りのドアに選択を変更すべき」が正解です。
この問題直観では分かりにくいですよね。ドアが2枚になった時点で残りのドアのうち当たりを引く確率は1/2なのだから、どちらを選んでも同じはず、と考えがちです。
ただこの考えは、最初からドアが2枚ならもちろんその通りなのですが、確率を考える時に、それまでの経緯を無視してはいけないのです。専門用語で言うと事後確率の問題です。
解説
数式を使わない説明は色々と試みられていますが、以下が分かりやすいかなと思います。
ドアの後ろにあるものを車(当たり)・ヤギ（ハズレ)・ウシ(ハズレ）としてみます。
すると最初の選択と残った2枚のドアの後ろにいるものの組み合わせは以下のようになります。なお並び順は関係ありません。
①最初の選択→車：残り→ヤギ・ウシ
モンティは残りのヤギかウシのドアを開く→残るドアの後ろはヤギかウシ
②最初の選択→ヤギ：残り→車・ウシ
モンティは残りのウシのドアを開く→残るドアの後ろは車
③最初の選択→ウシ：残り→車・ヤギ
モンティは残りのウシのドアを開く→残るドアの後ろは車
最初の選択で車が引けるケース(つまりドアを変えたらハズレのケース)は3つのうち1つだけです。2回目にドアを変えて車が引けるケースは2つです。つまりドアを変えて車を引ける確率は2/3となります。
いかがでしょう？納得いかれましたでしょうか？
他の説明もWikiに載っていますので、もしピンとこなければそちらをご覧ください。
さすがにこの『モンティ・ホール問題』を直接入試で扱うようなことは開成や筑駒でも想定できませんが、こういう論理的な問題を考えるのが好きということは、そのような最難関中学を目指す子が必要な素質のように思います。
ちなみに息子が6年生の時にこの問題を出してみたところ、正解には至りませんでしたが「なにこれめっちゃ面白い！」と言ってwikiのページを食い入るように読んでいました。
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