オススメ作戦の趣旨説明

2015年の東大理系数学の解説も一通り終わったので、このブログの特長である、オススメ作戦に触れましょう。
 

このシリーズでは、まずは一問ずつ普通の解説を行い、最後に一年分の問題を全て横に並べて、俯瞰しながら攻略作戦を考えていきます。

この際、どうしても簡単な戦略の概念が必要になるため、毎回簡単に趣旨説明がございます。毎回、同じ話をしてますので、ご存知の方は読み飛ばして下さい。

※しっかり書いたものは、こちらの記事にあります。

※問題は6問とも、最後に貼り付けていきます。

 

どの問題を捨てるか、どの問題を解かないか

「戦略」が入試の攻略の仕方ならば、「作戦」は1科目の攻略方法を表します。

すなわち、試験時間の中でどのように戦うかという話です。

普通、学校や塾では一つ一つの問題に対して、満点解答を作る解説がされると思いますが、入試は必ずしも満点を取る競技ではありません。

理想は全ての問題で満点でしょうけど、現実的には不可能ですし、狙う必要もない。合計で合格点に達すればよいため、どの問題を捨てるか、どの問題を解かないか、という視点もあって良いはずです。

 

数学入試において、戦い方は極めてシンプル。ポイントは二つです。

・初めに全ての問題に軽く目を通して、時間の使い方を検討せよ!

・解けそうだからと言って、時間がかかるのであれば、後回しにせよ!

シンプル過ぎて当たり前のように思えますが、思うのと実行するのは別問題。冷静に戦える受験生は、意外にも大変少ないのです。

 

では、この視点に基づいて、2015年の東大理系数学の6問を見てみましょう。

 

各問題についてのコメント

第1問

通過領域→解の配置(や包絡線など)という発想があれば筆が進むけど、知らなったら何も出来ず終わる問題。ただし、東大理系の受験生ならば常識として知っておきたい。

通過領域の問題は、場合分けが面倒なるし、図示の時には細かい注意が必要。時間がかかり、減点の可能性も高くなるので、完答の一歩手前までで一度手を止めて、他の問題に時間をかける事も想定に含めて良い。

 

第2問

東大ならば、別に対して難しくない確率漸化式。文科と共通問題(一部)。

遷移図を書き、計算を正しく行えば解けるだろう。

部分点を稼ぐ問題ではなく、高得点を狙いに行く問題。

 

第3問

明らかに簡単。

設定もシンプルだし、解答の方針も作り易い。

但し、積分計算は面倒になることが多いので、どこまで深入りするかは、ケースバイケース。

この問題の場合、(2)が解ければ、(3)もそっくり点数がもらえる設定になってるので、多少時間をかけて、計算の見直しを丁寧にしたとしても、時間をかけるべきだと思う。

 

第4問

漸化式をいじるだけ。

というと簡単だけど、整理して考えないと、ややてこずる。

「結局、漸化式をいじるだけなんだ」というのを忘れずに、使うべき式と使わない式を区別すること。

問題としては簡単な方。

 

第5問

難。何となくわかっても、解答が書きづらい。

答えが特定できたら、それだけ書いて部分点をもらい、他の問題に時間を割いても可。

 

第6問

明らかに誘導の問題なので、誘導の意図が読み取れるかどうかが、問題を一目見た瞬間から見抜ける。(冷静になってないと、やや難しいが)

姿勢を但し、問題冊子と距離を置いて、全体を見渡しながら何度も問題文を読むと良いかも。

気付けば解けるけど、気付くのがやや難しいかも。

 

 

ということで、最後にいつもの得点コース別の部分点の取り方案。

 

 


まず初めに、全問題を眺めて、第2問、第3問、第4問に目を付けるのが良いでしょうね。
第5問は、少し手を動かして見ないと、難易度が分からないかも。

最初の数分で、120分の動き方を大まかに決めます。

闇雲に計算を始めないように。無策は身を滅ぼします。

参考にして下さい。では

 

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しばらく、既存のシリーズものの更新が遅くなっており、すみません。

忙しくしていますが、元気です。

 

では、久しぶりに東大入試数学に行きましょう。

今回の記事で、2015~2017年の解説が全て揃いました!

過去記事は、こちらから飛べます。

 

 

さあ来ましたよ。文系の人が卒倒しそうな数式のオンパレード!

「場合の数・確率」の問題かと思わせる文字の量です。

 

どうすれば、その解法が思いつけるか

僕はこれまで、入試の解説を聞いたり読んだりした時に、

「そうすれば解けるのは分かるけど、その発想にならないんだよ!!」

と思ってきました。

皆さん、いかがでしょう?

そういう過去があるので、今までもなるべく「発想の仕方」とか「解法の思いつき方」を意識して書いてきました。

 

そのヒントとして、問題を解くときの心構えが2つあります。

①問題のカラクリを見抜こうとしよう!

②似たような特徴を持つ定理や性質を連想しよう!

 

要するに見抜いて連想するわけですが、大切なのは、見抜けるかどうかより、見抜こうとして

いるかどうかです。

入試本番中は見抜けないといけませんが、入試までは訓練期間。訓練中に意識してやったことが、本番では無意識で出来るのです。

 

ただぼーっと問題文を眺めていて見抜いたことは、ただのラッキー。カラクリが見抜けない時こそ、問題文をじっくり見て見抜こうとする姿勢を取って下さい。

 

数学でも、まずは精読が大事

東大理系を目指す人は、大抵国語が苦手です(笑)

私も元々理系でしたから、国語がイヤな気持ちがよく分かるのですが、、、。

別シリーズで「読解をしよう」というのを書いてますので、読解力がないなと感じる方は、是非そちらもご覧くださいませ。

 

さて、そのシリーズで私は、精読と読解の違いを連呼しています。

精読とは、文章に書かれている情報を読み取ること

読解とは、文章にかかれていない情報を読み取ること

です。

 

数学も同じで、文章に書かれている事も、文章に書かれていない事も読み取る必要があります。

文章に書かれていないことを読み取れるとき、上に書いたような「見抜いた」感じがすると思って下さい。

その意味で、数学も国語も非常に似ています。

 

但し、数学は特に、精読の比重が高いです。

まずは問題文をしっかり読み、書かれている内容を読み取りましょう。

そこからヒントが得られて、発想が広がっていきます。

 

とりあえずグラフは書いてみる

数学の解説授業を聞いていると、先生がグラフを書くときと書かないときがありますね。

「このグラフを書いてみると・・・」とか「このグラフは書かなくても良いから・・・」と言って、授業が進みます。

その判断、皆さんはどうしているでしょう。

 

グラフを書かなくて良いかどうかは、答えまでの道筋を知ってるから判断出来るものですね。答えまでの辿り着き方がわからないうちから、判断出来るとは限りません。

ひとまず、手当たり次第書いてみるというのが良いでしょう。訓練中の身ならなおのことです。

 

ということで、gのグラフを書いてみるとこうなります。

 

グラフを書くのが精読なら、ここから情報を読み取るのが読解。

何がわかるでしょうか?

山になっているとか、線対称(偶関数)とか色々分かりますが、一番大切なのはy≧0だという点ですね。

 

なぜなら、その後f(x)と絡ませるからです。

 

不明な関数は、深く考えずに

f(x)の正体は不明。

しかし、定義域と値域が分かっています。

こういうときは、-1/n≦x≦1/nと、p≦y≦qの長方形に収まってる関数なんだろうなぁと思っておけばOK。

余り深いことを考えず次に進みましょう。

 

積分の不等式についてのまとめ

2つの関数の積があって、それが積分されています。さらに、不等式でpとqに挟まれていますね。

こういう問題は定石の手段があります。こういう定石の手段を一つ一つ押さえていくのが数学の勉強なんですけどね。

 

今回の場合、f(x)が不明な関数です。

不明な関数を積分する事は不可能。よって、p≦f(x)≦qとしてしまいます。

これにgの関数を掛けて、不等式を作ってしまうわけです。これ、よくあります。

 

ちなみに、この時g(x)≧0だったことが効いてきます。

負の数の不等式を単純に掛け算することは出来ませんからね。不等式の積分が問題文に見えた瞬間に、g(x)≧0じゃないかと予想出来るようになったら、中々の実力です。

 

ちなみに、東大で理系を目指すならば、不等式を見た瞬間に「ハサミウチの原理」を連想できなければ、失格だと思いましょう。

特に、「不等式と極限」を同時に見て連想できなければ、大反省。

 

どちらかが隠されて登場することも、よくありますから、片方だけでも反応出来るようになっておいてくださいね。(見抜いて連想する、の話の続きです)

 

あとは、gの関数の積分が出来れば、(1)は終わり!

積分計算も、それほど難しくないので、計算に気を付けて終わりです。

 

見抜こうとすると、見えないものが見抜ける=問題が解ける

では(2)へ。

問題文を見ると、何となく(1)に似てるな~というのは気付けるでしょう。

gと同じように、hの関数も定義域によって違う関数を組み合わせてるし、インテグラルの中身を見ても、二つの関数の積になっている。

多分、(1)が誘導になってて、(2)をと言うんだろうな~と思えると思います。

(というか、数学の問題は全て誘導だ、というのが、私の口癖ですが)

 

但し、気付きづらいのが、gとhの関係ではないでしょうか?

これは、パーッと眺めていたら気付けない方も出て来るでしょう。

何か隠されているのでは・・・?と疑って「見抜こうとする姿勢」が、効果を発揮します。

 

問題を出題する人の心理に立つと、良くわかります。

出題者はいつも、どれくらい露骨にヒントを出そうかなと悩みます。

こんなに露骨だと簡単になっちゃうけど、隠し過ぎると難しい。

少し考えれば気付くレベルに、何とか落ち着かせるようと工夫します。

 

だから解く側も、「何が隠されてるのか??」と疑ってみる事が大切。つまり見抜こうとしないといけません。

 

今回の問題は、gを微分するとhになっています。

係数や、sinとcosの関係がヒントです。これに気付いた瞬間、勝利が見えてきます。

 

さて、最後に書かれているインテグラルの中身ですが、hとlogの積だと思わず、(gの微分)とlogの積だと思うと、次の一手が想像できます。

それが、部分積分。

 

gの部分を積分したら(1)が使えるけど、どうしたら・・・?と発想を広げた所に答えがあります。


ちなみに、hのグラフを書いてみると分かりますが、正になったり負になったりして、(1)の結果が使いづらいですね。この辺りから発想しても良いかも。

 

ボーっと歩いていると道端の石に気付けませんが、石を探そうとすると見つかります。


不等式と極限からハサミウチの原理も連想できていれば、完答は間近。

あとは、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

色々と工夫の多い問題でしたね。とても勉強になります。

やや難しい問題、と評されることが多いですが、計算はそれほど難しくありません。やはり発想を得るところが難しいでしょう。

日ごろから見抜く姿勢を心がけることによって、養われます。

差がつく問題だと思いますので、是非しっかり復習を!

 

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久しぶりに、東大入試数学の解説シリーズです!

今日は2015年の理系数学、第5問

登場した時は、それなりに話題になった問題ですね。シンプルですので。

ということで、いつも通り、まずは問題を。

 

 

 

1行の問題。そして、問題の意味は分かりやすいのですが、証明がやたら難しい!!

予備校の講評でも難問題指定されていましたね。
いくつかコメントしていきましょう。
 

 

2015だけに・・・

問題の解説ではありませんが、2015年の入試問題だけあって、2015を使っていますね。昔からコテコテの出題パターンです。
(とは言っても、ポイントになるのは、2016が32で割れても、64で割れないということなんですけどね)
 
次の入試は、2018年の出題ですから、2018にまつわる問題が出るかもしれませんね。
2018=2×1009 で、2017は素数でした。2019は3×673です。
覚えておくと得する!?
 
コンビネーション抜群!
2015Cmにおいて、mを1から順番に変えていくと、分母と分子がキレイに2で割り切れていくことが分かります。
 
20151=2015は当たり前で奇数として、
20152 =2015×2014÷2で、2015×1007
こういう感じでしばらく続けていくと、必ず分母と分子がキレイに2で割り切れてしまいます。
 
しかし、問題文を読むと、いつかは分子の方が分母より2がたくさん登場して、偶数になるらしい。
ということは、2がたくさん登場する数を探せばよいということで、2015になるべく近い4の倍数、8の倍数、16の倍数、32の倍数・・・と探していきます。
 
32の倍数が消滅!?
具体的には、20154 、20158 、201516 、201532 ・・・と探していくのですが、
32の倍数が初めて登場するはずの1984が、一つ飛び越して64の倍数になっています。
 
これは、もしかしてm=32が答えなのかも!?
と思って証明を始めていくのが、自然な発想なのではないかと思いますね。
 
証明が難しい
答え(の候補)は分かったのですが、これを記述しようとすると、かなり難しいです。
中学入試のように、mを32まで一つ一つ代入して計算しても、満点解答になるのですが、あまりにも時間がかかりすぎる。
 
さきほど書いたとおり、2015Cmの分母と分子がキレイに2で割り切れていくのが、何とか記述出来れば良いのですが・・・
ということで、あまり見た事はないかもしれませんが、手書きの解答のようになります。
 
但し、この証明難しいのは、2015より一つ上の2016に注目いなければ書けない所です。
2015Cmというと、2015より小さい整数には着目出来るのですが、逆の2016が32の倍数になっているのがポイントです。
 
これに気付くのは相当大変かと思いますね。
少なくとも、教科書には記述されていない考え方のような気がします。
ということを踏まえて手書きの解答をご覧くださいませ。
 
 
 

 

合格点を取るためには・・・?

大学入試の数学では、答えはわかってるのに、記述出来ないということが往々にして起こります。この問題もその通りで、答えが32になるのは分かってても、それを証明出来なくて困る問題です。

 

こういう問題に対して、満点を取れる解答の書き方を学ぶのは大事なのですが、入試の限られた時間の中では、手を出さない方が得策でしょう。

 

入試というのは、合格点を取る事が目的であって、全ての問題に正面からぶつかる必要はありません。

戦争で言えば、敵を全滅させなくても良い。相手の大将に降伏させれば良いのです。

 

落としてはならない城がある

という言葉を、大先輩から教えて頂いたことがありますが、まさに入試でも同じ。

僕だったら、32と推論した根拠を解答用紙に書いておいて、証明の方針だけ書いて終わるような気もしますね。

 

短時間で解けるのが最高。

ですが、長時間で解ける問題は、罠になり得ます。
この見極めの訓練も非常に大切でしょう。

 

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