数学で、いきなり解き始めるのはアウト

久しぶりに、受験の内容を。

うちの塾の看板でもある、「東大文系受験者のためだけの数学講座」ですが、ちょっとだけ内容を公開しましょう。

 

こんなことをやっています。

 

 

文系受験者にとって、数学は悩みの種。

難しい年では20~30点ほど、ここ3年の簡単な年でも40点ほどが当落ラインになることが多いそう。 

他科目が6割以上の得点を目指すのが普通なのに対して、数学は点数の取り辛い科目の証拠です。

逆に、数学でぶっちぎれると、合格がグッと近づくとも言える。

 

だからこそ、数学のノウハウを頭に叩き込むのが良いのですが、ここでポイントを一つ。

 

「問題演習と解法の暗記だけでは、絶対に到達できない領域がある。

そしてそれは、意外にも近くにある。」

 

どの問題集を解くか、どの先生の解説を聞くかばかりが気になっているうちは、弱者の戦い方しかできません。

入試問題の問題文を見るだけで、これくらいは情報を読み取れなければ、上から目線で東大数学を見ることはできない。

 

1文字も書かずに勝利を確信出来る方法を伝授しているのが、幣塾です。

 

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戦略と作戦と戦術と大戦略
「戦略」という言葉が流行ってまして、濫用されています。
狙って目標を達成するような思考法のことを「戦略」と表現しているような気がしますが、決してそれだけではありません。
例えば、世間で言われている、目標を立て、計画を立案し、実行して結果を出すようなタイプのものは、戦略学では「順次戦略」と言われるものであって、それ以外の戦略もある。(累積戦略)
 
年末に発売されました『論理アタマのつくり方』(ダイヤモンド社)のメインテーマである「論理」なんかは定義のない用語ですから、誰でも好きなように語って良いのですけど、「戦略」はそうではありません。
「戦略」「戦術」「作戦」はそれぞれ違う概念ですし、「大戦略」なんて言葉もあります。それぞれ違いを説明出来ますでしょうか?
 
一見受験から遠いようで、実は受験に直結するのが戦略の考え方です。
東大入試では、一語一語の持つ意味合いに非常にこだわって考える必要があります。何となく文章を読んでいる人は、まず「読解力」を鍛えることをオススメします。
戦略も、読解力も、成績の上げ方も分からない!!
と言う方は、幣塾の門をたたくことをオススメします。
 
2018年東大文系数学の攻略作戦
では、2018年の東大理系数学の作戦に行きましょう。
拙ブログでは、各科目の攻略する道筋のことを「作戦」と呼んでいます。(戦術だと小さすぎて、戦略だと大げさでしょう。)
100分の試験時間で、どのような時間を使い、どのような頭を使い、どこまで攻めていくのか。
そういう事を考えなければ、攻略が遠くなります。
 
極端なことを言えば、試験開始5分は1文字も書かず、解答用紙は白紙のままにするくらいで丁度よいです。
では、6問を改めて、眺めて下さい。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法がある
入試の攻略作戦に関して、最も大切な考え方は「どの問題に手を出し、どの問題に手を出さないか」です。
普段、授業では一つ一つの問題に対して、満点解答を作る訓練ばかり受けると思いますが、入試の受験中には逆の考え方、すなわち「どの問題を解かないか」が必要になります。
この時、最も警戒すべき問題は「時間をかければ解けそうな問題」。
取り組み始めて「あっ解けそうだ」となったら、そのまま解き進める人がほとんどでしょうが、ワナです。
解けば解くほど時間が経つ。
このとき、あなたの頭の中には「もっと優先すべき問題がある」とは思わなくなっています。
 
時間をかけずに解ける問題を全て置き終えてから、時間がかかる問題に取り組む、という意識だけでもかなり得点が違います。
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法があるのです。
 
第1問を初見で考えること
そんなことを考えながら、6問全体を見てみましょう。
まず第1問
 
この問題は、解説記事にも書きましたが、カンタンなのであまり書く事はないんですが、一応。
 
「増減表を書いて、極限を二つ調べれば良いって、何コレ!?
えっ、こんなに簡単で良いの?
与えられた関数は、sinとcosとxが混ざってるな。と言う事は、f’(x)=0が必ず解けるとは限らない。もしかしたら2回微分もあり得るだろう。でも、増減表を書くなら、何度か微分すれば出来るだろう。よほど変な計算が出ない限り、20点もらう問題だろう。」
 
実際は、導関数で、xとsinxの大小比較をする必要が出てきます。知ってれば簡単、知らなければ(不勉強だけど)微分して証明が必要です。しかし、いずれにしろ、難しくはない。
 
東大理系に関しては、異例な簡単さなので、初っ端から手を出して良い問題でしょう。
 
 
第2問を初見で考えること
次に第2問です。
 
「数列があるけど、コンビネーションと階乗の比か。あまり見た事はないな。
(1)では、anとan-1を既約分数で表すときの分母と分子か。分母も分子も、たくさん約分すれば、出来そうだ。
既約分数ってことは
分母と分子が互いに素になるんだけど、これはどうだろう。簡単か、難しいか、計算してみないと難しいな。」
 
(1)はこんなところでしょうか。
実際は、分母と分子を互いに素である証明をするのが、やや難しいのですが、既約分数の条件にご注意を。
 
(2)では、
「整数となるnを全て求めよか。(1)をどう使ったものだろう。分母が消える時を考えるんだろうか・・・?」
既約分数の条件から、分母と分子は互いに素です。ということは、分母が消えるには分母が1にならなければならないような気がしますが、こんな路線で考えても答えが出ます。
解説記事では、文系の問題のように解いていますが、解答を思いつくのはヤヤ難しいような気がします。
 
初見で、パット見で解法を思いつく人は多くないでしょうから、一旦飛ばして良いでしょう。
 
第3問を初見で考えること
では第3問
 
図形が絡む問題ですから、(キレイでなくて良いので)図示。
点Pや点Qをパラメータで表すと、文字定数が3個も登場することに気付きます。
ここで、一旦手が止まるでしょう。
 
「???えーと、点Pが動いて、点Qも動く。そしてkも動かさなきゃいけない。どうやって領域を書けば良いんだ??」
 
ここで他の問題に移る人も正解ですし、もう少し方針を考えてから飛ばすのでも正解。
求める面積がS(k)ですから、kを固定して、他のパラメータを動かすことに気付ければ筆が進むのですが、難しければ
ストップで。
 
第4問を初見で考えること
第4問
 
これは、筆を薦めたくなる問題。何せ、条件がシンプルです。
「条件1では、3次関数があって、y=bと3点で交われば良いのね。これは、bが極大値と極小値の間にあれば良いな。
条件2は、真ん中の解が1より大きいのね。ということは、bの場所を上手く調節すれば良いから・・・。」
 
と、早い人は問題文を見てるだけで、答案の最後までイメージ出来るでしょう。
もちろん、そうなったら第1問と同様、即20点を取りにいく問題。
 
第5問を初見で考えること
第5問は複素数。
複素数平面という時点で、難しくて敬遠する人も多いでしょう。
解説記事にも書きましたが、複素数平面は便利すぎて解法が分岐し過ぎます。
 
「点Pが円の上にあって、接線を引くと。そして点Aを対象移動か。式はすぐに分からなくても、zを色々変換していけば、何とか出来そうかな。」
というくらいに思えれば及第点。
 
実際は、円の接線の方程式を複素数平面で表すと言うより、図示しながら柔軟に考えて複素数表示する問題。
間違えなければキレイな答えが出るというのも嬉しい設定。
 
(2)でも、基本を積み重ねる姿勢は踏襲。
「zの実部が1/2以下だから、cosθ≦1/2で、θの範囲が出るな。
求めるのはwの軌跡だから、(1)の最後の結果を使いながら、wを表現するんだろう。
 
w=x+yiとおくと解ける問題でしたが、置かなくても軌跡が求められるパターンもあるので、複素数平面は厄介。
いずれにしろ、優先順位は低めで、余った時間で考えるのが得策ではないでしょうか?
 
第6問を初見で考えること
 
東大が大好きな空間図形。
これも図形の問題なので、適当に図示しながら頭を使う。
「球が3部分を転がる問題ね。共通部分の体積を求めるってことは、平面で切断し、切断面のカタチを考えるだろうな。
(1)は交わるtの範囲を求めて図示ね。これはy=tを代入しながら、図を描く問題だろう。方針は分かるから後は丁寧に図を描けば出来る!?
 
(2)は、V2がV1かつV3を含む問題か。(1)の最後に描いた図を使ってV2を登場させれば出来そうだ。
 
(3)は、なんだこりゃ。V1がSで、V1かつV2がTで、それしか定義されてないのか。うーん、これは見た事ないな。
 
(4)は、明らかに(3)の誘導問題か。これはやってみないと解けないかなぁ。
 
あと、小問が多いから、時間をかけて解いた割に、点数のバックが少ないな。(1)は多く見ても配点は5点だろうから、あまり深入りしても得点は伸びないし、適当な所で切り上げるかなぁ。」
 
と言った感じ。
ここまで冷静に読めれば、すごいものです
問題としてはすごく面白いんですが、入試として出てきたらイヤな問題ですね。
優先順位は低めで良いのではないでしょうか?
 
難易度や作戦の案
こんなことを考えながら、6問に手を付けていきましょう。
作戦の概念を持たずに取り組むと、
「東大模試でずっと1位を取り続けても、本番で第1問から解き始めて不合格になる」なんてことが起きても不思議ではありません。
 
私の主観ではありますが、各問題の難易度と、希望得点コース別のお勧め配分です。
 
とにかく、第1問と第4問でどれだけ得点を稼げるかがポイント。
50点コースでも得点を散らしてみましたが、第1問と第4問でほとんど得点を取り、他は0点近くでも50点になりますからね。これもアリ。
 
受験数学の業界では、一問ずつの解説はするけど、一年分の問題を並べて解説することがほとんどありません。だから、まだまだ未熟な業界だと思っています。
確かに、1問ずつ解説して、難しい問題が解けるようになったら、先生も教えた気になりますし、生徒も出来るようになった気がします。しかし、本番で通用するかどうかは別問題。
一問ずつしっかり解説を聞いた上で、取捨選択する力も同時に養うことを強くオススメします。
 
明日は合格発表
明日は合格発表ですね。
僕も、ドキドキしながら発表を待ったことを思い出します。
ネットで見る方と、掲示板で見る方、両方いるかと思いますが、どうぞ良い結果が待ってますように。
 
僕も正午前くらいを目安に本郷キャンパスに行きますので、見かけたら「お、いるな」と思って下さい(笑)
声かけてくれても大丈夫です。
 
 

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第3回:結果を出す人は、なぜ計画好きなのか?

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戦略と作戦と戦術と大戦略
気付いてみれば、最近めっきり戦略っぽいことを書いていませんでした。
細かく言えば、これまで書いてきた、東大入試解説でも少し戦略っぽいことを書いていたんですけど、でもちょっとだけ。
 
「戦略」という言葉が流行ってまして、濫用されています。
狙って目標を達成するような思考法のことを「戦略」と表現しているような気がしますが、決してそれだけではありません。
例えば、世間で言われている、目標を立て、計画を立案し、実行して結果を出すようなタイプのものは、戦略学では「順次戦略」と言われるものであって、それ以外の戦略もある。(累積戦略)
 
年末に発売されました『論理アタマのつくり方』(ダイヤモンド社)のメインテーマである「論理」なんかは定義のない用語ですから、誰でも好きなように語って良いのですけど、「戦略」はそうではありません。
「戦略」「戦術」「作戦」はそれぞれ違う概念ですし、「大戦略」なんて言葉もあります。それぞれ違いを説明出来ますでしょうか?
 
一見受験から遠いようで、実は受験に直結するのが戦略の考え方です。
東大入試では、一語一語の持つ意味合いに非常にこだわって考える必要があります。何となく文章を読んでいる人は、まず「読解力」を鍛えることをオススメします。
戦略も、読解力も、成績の上げ方も分からない!!
と言う方は、幣塾の門をたたくことをオススメします。
 
2018年東大文系数学の攻略作戦
と、前置きは長くなりましたが、2018年の東大文系数学の作戦に行きましょう。
拙ブログでは、各科目の攻略する道筋のことを「作戦」と呼んでいます。(戦術だと小さすぎて、戦略だと大げさでしょう。)
100分の試験時間で、どのような時間を使い、どのような頭を使い、どこまで攻めていくのか。
そういう事を考えなければ、攻略が遠くなります。
 
極端なことを言えば、試験開始5分は1文字も書かず、解答用紙は白紙のままにするくらいで丁度よいです。
では、4問を改めて、眺めて下さい。
 
 
 
 
 
 
 
 
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法がある
入試の攻略作戦に関して、最も大切な考え方は「どの問題に手を出し、どの問題に手を出さないか」です。
普段、授業では一つ一つの問題に対して、満点解答を作る訓練ばかり受けると思いますが、入試の受験中には逆の考え方、すなわち「どの問題を解かないか」が必要になります。
この時、最も警戒すべき問題は「時間をかければ解けそうな問題」。
取り組み始めて「あっ解けそうだ」となったら、そのまま解き進める人がほとんどでしょうが、ワナです。
解けば解くほど時間が経つ。
このとき、あなたの頭の中には「もっと優先すべき問題がある」とは思わなくなっています。
 
時間をかけずに解ける問題を全て置き終えてから、時間がかかる問題に取り組む、という意識だけでもかなり得点が違います。
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法があるのです。
 
第1問を初見で考えること
そんなことを考えながら、4問を見てみましょう。
まず第1問
 
(1)を解くにあたっての思考法を例示しましょう。
 
「直線lと直線mの方程式は簡単に求められそうだ。低いかもしれないけど、部分点がもらえそう。
さらに、点Aと直線lやmまでの距離だから、点と直線の距離の公式を使えば、LとMも求められそう。
√L+√Mを見て、√の意味が分からないけど、立式まではいけそうだ。
最小値を求めるのも、グラフが描ければ出来そうだから、総合的に見て優先的に解く問題だろうな。」
 
ここまで冷静に読めれば大したものです。と言っても、訓練すれば簡単に出来ます。
もし、「こんなに先読み出来ないよ」と思ったら、これまでそういう指導を受けてこなかっただけです。
 
(2)に関しては、
「領域Dの図示は簡単。しかし、Dの全ての(x、y)に対し、不等式が成り立つ条件とは・・・?」
と、一瞬で方針が変換できない可能性があります。
解説記事を読めば分かるように、これは領域が含む、含まれるの関係にすれば良い問題です。領域Dが、不等式の領域にスッポリ含まれれば良いのですが、それが思いつけば手を出しても良いし、思いつかなければ後回しにする問題でしょう。
ということで、実力によって優先順位が変わると言って良いと思います。
 
第2問を初見で考えること
次に第2問です。
 
(1)は超簡単。
「なんだこりゃ。計算すりゃ出るじゃん。」
と思えたら、及第点・・・?受験生平均くらいでしょうか。
 
確実に合格を狙うなら
「どう、(2)や(3)につながるのかな?」
とか、
「どう一般化するのかな?」
などと感がられるようになりたいところ。
東大に限らず、受験数学では具体的な数字を調べるもは、一般化へのステップだからです。
 
(2)を見ても
「ふむふむ。これも計算すれば解けるか。コンビネーションと階乗が面倒だけど、計算すれば出来るから、早めに手を付けて良い問題だろう。但し、計算が面倒だろうから、少し時間がかかるな。(3)も解けそうなら、時間をかけても解くべきだろうな」
といったところでしょうか。
(3)まで芋づる式に得点がもらえるなら、時間をかける価値が断然増します。
 
では、その(3)はどうでしょうか?
「数列が整数になる条件?聞いたことないな・・・。」
と思うのが普通でしょう。
ここで、(1)と(2)が登場。何か気付かないでしょうか?
 
ポイントになるのは、(2)の式ですね。
an/an-1を見て、「あ、あれだ!!」と思いつけば答えはもうすぐ。
反復試行の最大最小問題を解きこなしているかが、分かれ目でした。(詳しくは、解説記事をご覧ください。)
 
第3問を初見で考えること
では第3問
(1)が非常に簡単。
3次関数が単調に増加する条件なんて、死ぬほど解いている受験生も少なくないはず。
微分して正になれば良いです。微分したら、2次関数になりますから、x≧1で常に正になる条件です。あぁ簡単。
ということで(1)はもらいだな、と判断すればOK
 
問題は(2)です。
「条件1の、3実数解を持つ条件は簡単。極大値と極小値の間にbがあればよいんでしょ?条件2はなんだ?真ん中の実数解が1より大きいって、どういうことだ?」
となると思います。
 
分かってしまえば簡単なのですが、ここで分かれ目でしょう。
いわゆる「解の配置」の問題なのですが、解法がすぐにわかれば真っ先に手を付ける問題ですが、わからなければ後回し。
あとで戻ってきたい問題ではあります。
 
第4問を初見で考えること
さいご
 
「2次関数があって、範囲が限定されてる。そして、ベクトルの動く領域か。ちょっと変わってるな。」
というのが、初見の感想でしょう。
こういう時には、言葉に注目するのが大切です。
最終的に求めたいのは、点Qの「軌跡」です。
 
軌跡の問題では、求めたい点の座標を(x、y)とおき、パラメータで表現していくのが鉄則です。
しかも今回は、点Pと連動して動く「連動型」の軌跡。解説記事には書きましたが、割とよく見る例題と同じです。(ベクトルで書かれているので難しく見えますが)
ということで、初見では面食らうけど、取り組んでみると教科書基本問題のレベルという、「東大らしい」問題でした。
 
(2)は、難しいですね。
点Pが動きつつ、点Rも動く。それで、点Qの軌跡を追います。
これは、ややこしい。
こういう場合、動く物を片方固定し、もう片方だけ動かすのが鉄則なのですが、知らないと解けないでしょう。
ということで、これも合否を分かつ問題。
点Rを固定して考え、最後に動かすとキレイに問題が解けます。
知らなければ、他の問題を先に解くことをオススメします。
 
難易度や作戦の案
こんなことを考えながら、4問に手を付けていきましょう。
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2018年は、どの問題も難しすぎず、難易度に差がないため、あまり凹凸がなくて面白くないですね。
60点コースを設置しても面白かったかも(笑)
 
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第1回:同じ、違う、順番の3つだけで論理思考がマスター出来る

第2回:「同じ」点を探せば、帰納法や演繹法が理解出来る

第3回:結果を出す人は、なぜ計画好きなのか?

第4回:論理思考を身につければ、東大合格も夢じゃない

 

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2018年 理系第6問の解説
さあ、やっと今年の入試問題の最後です。
ここまで長かった。。。
まずはいつも通り問題をどうぞ。
 
 
東大は昔から空間図形が頻出だと言われています。
そして、たまに物凄い難問が含まれます。(一方で、易しい問題もあります。)
 
この問題は、実に東大らしい問題だと思いますね。
・空間図形の共通部分
・単なる積分計算で終わらない。
・小問構成。
・基本の組み合わせで解ける。
・空間図形ばかりでなく、別単元の考えも用いる
などなど、よく練られた問題だと思いました。
入試で出題されたら、得点し辛いような気もしますが、これからの受験生にとって練習問題として非常におススメ。
 
まだ解いていない方は、ぜひチャレンジしてみて下さい。
 
(1)切断=次元下がる、移動=次元上がる
では(1)から見ていこうと思いますが、(1)は図形が共通する条件。
実は、この問題が一番重たかったりします。
よく言われることで、真新しさはありませんが、空間図形の最大のポイントは切断すること
(座標を一つ固定するとか、z=tの平面で考えるとか、全て同じ意味です。)
空間図形を切断すると平面図形になりますから、グッと解きやすくなります。
 
ちなみに、切断すると次元が一つ下がり、移動すると次元が上がります。
この問題は、球が移動しているので、4次元になるかと思いきや、別に時間の前後を意識しなくて良いので結局3次元の問題です。
 
ということで、今回はV1とV3の共通部分ということで、どちらも移動に絡まないy軸方向で切断するのが良いでしょう。
y=tを代入して、切断面を考えると円になります。
そりゃそうです。球を切断したら、必ず円になりますから。
 
最終的に求めるのは、V1とV3の共通部分ですが、いきなりでは難しいので、別々に書いて考えるのも良いでしょう。
空間図形は紙に図示するのが難しいからと言って、頭の中で空間図形をイメージして取り組む人が多いですが、紙に描いた方が圧倒的に解くやすくなります。
というか、空間図形の問題の解答力は、紙に書く力とかなり相関があるような気がしますね。
 
別々に書いたモノを同一平面上に書こうとすると、半径の大きさが気になるはず。
そこで、半径を場合分けして図を描けば、(1)が解けます。
では、手書きの解答をどうぞ。
 
(2)円が図形を含む条件=中心から遠いところを探す
(2)は、(1)の延長の問題。
今度はV2が登場しますので、先ほどの図にV2を書き込もうとすれば、方針が立ちます。
V2が、V1かつV3を含むということで、先ほどの共通部分の中で、中心から最も遠い場所を探せば答えが出ます。
 
2次不等式が出ますが、2次不等式が常に成り立ち条件ですから、最大最小問題にすり替えて解けばOK。
(1)よりは解きやすいような気がしますが、突然の2次不等式に驚かないように。
 
(3)空間図形×ド・モルガンの法則!
次に(3)ですが、結論から言うとド・モルガンの法則を使います。
しかし、この発想が中々でない方も多いのではないでしょうか?空間図形と絡める問題は非常に珍しいですので、個人的にはとても興味深いと思います。
 
どこから連想するかと言えば、やはりSとTの定義からでしょうか。
SはV1の体積で、TはV1かつV2の体積ですが、これだけで全体の体積を求めるということは、V2の体積とかV3の体積、それらの共通部分など、難しいところもSとTを使って求められるはず。
この辺りから、集合を発想するのでしょう。
 
では、手書きの解答です。
 
(4)計算のみ!
最後の(4)ですが、(3)まで解けてしまったら、(4)はもらったようなものでしょう。
SとTを求めれば答えが出ます。きっと興奮して手が止まらないのではないでしょうか?
 
Sは簡単に求められます。
Tは、V1とV2の共通部分ですが、これも慣れていれば簡単。とは言っても、Tを求めるだけでもそこそこ難しい問題なんですけどね。
(1)と同じように、切断してから図を描けば解けるでしょう。
 
最後に計算をして終わり。計算ミスが誘発されそうな雰囲気ですので、ご注意を。
 
まとめ
さて、さいごに一言ですが、ここまで読んできて
(1)や(2)が解けなくても、(3)と(4)が解けるのに気づいたでしょうか?
東大は、小問構成の場合が多く、それらが誘導問題になっています。
しかし、(1)が解けなくても(2)が解ける場合も見受けられます。
 
このブログで何度も言ってますが、ペンを持つ前に、問題文を最後まで読むこと!
(1)から取り組んで0点だった人も、(3)と(4)で10点くらいもらえるかもしれません。
(特に(4)のSを求めるところなら、カンタン!)
 
こういう、作戦面も含めて練習に良い問題でした。
東大理系を目指すなら、今後必須の問題でしょう。
 

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第1回:同じ、違う、順番の3つだけで論理思考がマスター出来る

第2回:「同じ」点を探せば、帰納法や演繹法が理解出来る

第3回:結果を出す人は、なぜ計画好きなのか?

第4回:論理思考を身につければ、東大合格も夢じゃない

 

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2018年 理系第5問の解説
さあ、東大頻出の複素数。
苦手の人も多いと思います。行って見ましょう。
 
 
(1)の方針のつくり方
図を描きながら、条件を追ってみましょう。
まず、単位円上に点P(z)があり、円に対しての接線を引きます。その接線に対して、点A(1)と対称な点Q(u)を設定する。
そのuに対してwを定義して、uやwに関する式を求めるというもの。
要するに、
z → u → w の順に点を設定していくわけです。
uとwの関係式は問題文に与えられていますから、zとuの関係式を正確に求められれば(1)はもらいですね。
 
問題なのは、円の接線や、線対称が登場するところです。
つまり、座標の上で図形を扱う問題は厄介になり易い。
図形が登場すると、解法が1つに定まらず、ハマらない解法で解くと、やたらと時間がかかる事が多いのです。
 
予備校の模範解答では、簡単そうに解いてますが、それは模範解答だからです。この模範解答に辿り着くまで、色々試さなければならないでしょう。
ということで、時間がかかることを覚悟しなければならない問題です。
 
(2)の方針のつくり方
(2)では、zの条件を絞り、点R(w)の軌跡を求める問題。
先ほども書きましたが、zとuの関係式も、uとwの関係式も、この時点では判明していますから、素直にwをw=x+yiとおきxとyの関係式を求めれば良いでしょう。
 
難しいポイントは、zの条件です。
zが単位円の上の一部だけしか動かなくなります。実部が1/2以下だけと言うことなんですが、これをwに反映するのが難しい。
 
予備校の解答も割れていましたし、どれも「そうすれば解けるのはわかるけど、なぜその発想になるのかがわからない」という感じ。
複素数平面の入試問題では、こういうことがよくあります。
 
偏角か、絶対値か、a+biと置くか
複素数平面というのは、非常に汎用性が高い技術です。
 
まず、複素数をa+biとおくことがありますが、これはxy座標を意識した文字の置き方です。
これに対して、絶対値と偏角を利用するのは、極座標を意識した設定の仕方。
 
さらに、複素数の和と差は平行移動を表しますし、積と商は回転や原点からの距離の変換を表す。
ベクトルみたいな計算の仕方もするし、三角関数も登場する。指数も登場するし、方程式の概念も使うし、図形も絡む。
ようするに、何でもアリの単元です。
 
そのため、解法が様々に分岐して、体系的に学べない。
という、受験生泣かせの単元です。
 
今回は、入試問題の解説記事なので、全て解説を書く事は出来ませんが、予備校の解答速報では特定の解法しか登場していなかったので、私の手書きの解答では、3パターン載せておきました。
 
意外とゴリ押しでも行けてしまう問題だったかもしれませんね。
 
では、どうぞ。
 
 
図示の問題では、高得点を取る事が難しくなります。
この問題は、構成としてはスタンダードな問題なんですが、随所に混乱させるようなポイントが混ざっています。
復習に非常に適した問題ですから、何度も解きなおしてみて下さいね。
 

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