前回は、因数分解についてでした。

具体的には、因数ってどういう意味かということ。

数字の約数に対して、文字式では因数と呼びます。

 

今日は、因数分解がなぜ大切なのかということをお話しましょう。

教科書って、計算方法や問題の解法はたくさん載っていますが、その単元の意義や、学ぶ目的についてはあまり書かれてませんね。

だから、数学は将来役に立たないなんて言われてしまうわけですが・・・。

 

ちなみに、僕は勉強は全部が全部、役に立つわけではないと思っています。

それに、勉強が常に役に立つべきではない。いやむしろ、役に立たないからこそ良い世の中だとも思ってます。
以前、「なぜ勉強しなければならないのか」という記事で書きましたので、よろしければご覧くださいませ。
 
では話を戻しまして、因数分解を学ぶ意義。
たくさんあるでしょうが、ぶっちぎりで「方程式を解くため」でしょう。
 
教科書には載ってませんが、あらゆる方程式を解くための法則があります。
それほど難しくないので、説明しましょう。
 
a×b=0
が成り立っているとします。
二つの数字を掛けたら0になっているので、a=0 か b=0が成り立ちますね。
 
3つの数に発展させたとしても、同じです。
a×b×c=0
が成り立ってるとき、a=0 か b=0 か c=0が成り立ちます。
 
このように、=の左側(左辺)が掛け算で表されていて、=の右側(右辺)が0になると、左辺の掛け算が一つ一つの等式に分解されます。
 
これを応用して解くのが方程式なのです。
 
例えば、
x^2-3x=0
は、左側が掛け算の形になってません。
 
しかし、因数分解をして、
x(x-3)=0
とすると、左側が掛け算になります。x と (x-3)の掛け算です。
 
と言う事は、x=0 か x-3=0 のどちらかが成り立ります。
x=0はそのままで良いとして、x-3=0は、3を移項すると x=3。
よって、x=0 か x=3 が成り立ちます。
 
この0と3のことを「解」といいます。
 
よく勘違いされているので、ちゃんと説明しておくと、「解」というのは、答えのことではありません。
数学の方程式を解いていると、「解なし」って出てきて、「答えがないってどういうことだ!!」と、目を吊り上げる子がいますが、違います。
 
ちゃんと言葉を説明すると、元の方程式を満たす値の事を「解」と言います。
だから、「解なし」というのは、元の方程式を満たすxの値は一つも存在しないという意味です。
この世に存在しないという結論ですから、しっかりと意味があります。
 
また、解を全て求める事を数学では「解く」と言います。
だから上の方程式で、x=0 か x=3 となりましたが、これで方程式が解けたことになります。
 
とまあ、このように因数分解をすると、方程式が解けます。
この後、二次方程式、三次方程式、高次方程式と進んでいきますが、基本的に解き方は同じ。
左辺を掛け算の形に因数分解して、右辺を0にするだけです。
 
因数分解の方法は様々習いますが、行きつくところは同じです。
 
中3の教科書では、この後二次方程式を習います。
細かく言うと、平方根の単元を挟みますが、展開も因数分解も平方根も、全て二次方程式を解くための単元です。
そういう流れなんだ、と掴めると勉強もしやすいと思います。

 

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今日から6月ですね。

6は一番小さな完全数です。

完全数というのは、約数を全部並べた時に、合計が自分自身になっている数のことです。(但し、自分自身は除く)

例えば、6の約数は1、2、3、6の4つですが、このうち6以外の3つである、1と2と3を足すと6になります。
1+2+3=6
という事です。
 
これって、結構珍しい数で、適当な数字を選んでも成立しません。

例えば、約数が少ない7で計算しようとしても、そもそも約数が1と7しかありませんからダメですね。
 
逆に、約数が多そうな12でやってみると、12の約数は1、2、3、4、6、12ですが、これを足してみると
1+2+3+4+6=16となって、12になりません。
 
ほら、珍しいでしょう。
 
ちなみに、6の次に小さい完全数は28です。
28の約数は、1、2、4、7、14、28となって、足してみると
1+2+4+7+14=28
よって、確かに完全数です。
 
計算はしませんが、次に小さい完全数は496で、その次が8128、その次が33550336だそうです。
 
 
なぜこんな話をしたかと言うと、今日は数学ダイジェストの続きで因数分解の話だからです。
 
いやいや、因数分解って言ったら、
ax+ay=a(x+y)
とか、
x^2-y^2=(x+y)(x-y)
とかいう計算方法でしょう。
 

とお思いかもしれませんが、これがちゃんと関連があるのです。

 

では、皆さんに質問なのですが、「因数」って何でしょうか?

因数分解は出来ても、因数について説明するのは、結構難しいですよね。

教科書でも説明されますが、こういう用語の説明ってあまりちゃんと聞いてない人も多いと思います。授業していても、用語の説明はあまり興味なさそうですが、計算練習になると手を動かし始めますからね。

 

 

「因数」を説明するのに便利なのが、実は「約数」です。
先ほどやった通り、6の約数は1と2と3と6でしたね。

6という数字は、何かもっと小さい数字の掛け算に分解出来て、それが例えば2×3とか、1×6なのですが、このように掛け算に分解出来た時の一つ一つの事を約数というのです。
ここまでは、小学生で習う話です。
 
これに対し、

ax+ayは因数分解すると、a(x+y)になりますが、aとx+yの2つを因数と言います。


つまり、数字の時に約数と呼んでいたものを、文字式では因数と呼んでいるだけなのです。

問題を解いている時には、a(x+y)はaとx+yの因数を持つ、なんて使われ方をしますね。

 

因数分解が難しいとか、苦手と言う生徒さんもいますが、約数を探しているだけだと思えば、少し肩の力が抜けるのではないでしょうか。

 


ちょっと話は変わりますが、数字を素数だけの積に直す計算しますよね。

30=2×3×5

とか、

56=2^3×7

とか。

この計算方法の事を、素因数分解と言うんですが、よくよく見てみると素“因数分解”となっているの、気付いてましたでしょうか?

そうです。実は因数分解という言葉が隠れていたんですね。

(隠れていたというより、ほぼ全てですけど笑)

 

ソインスウブンカイと、カタカタの響きで覚えているとスルーしてしまいますが、実は因数分解をしていたのです。

但し、素因数分解は、数字を使って行うのに、なぜか「約数」ではなくて「因数」という語を使います。

素“約”数分解でも良さそうなものですけど、、、何故でしょう。ご存知の方、教えて下さい。

 

ということで、因数分解というのは、文字式の中に隠されている要素を探して、掛け算にする作業のことです。

では、なぜ因数分解が重要なのでしょうか?

それは、次回のお話へ。

 

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ちょっと期間が空いてしまいましたが、数学ダイジェストのシリーズ続きに行きましょう。
 
今日から中3数学に入ります。
中3ともなると、結構本格的になります。後半には、二次関数とか、三平方の定理も登場しますしね。結構、計算も複雑になります。
 
その仕込みとして、今日は展開公式を扱いましょう。
展開と言ったら、展開公式!
細かく見ると、中3で10個くらい習うのかもしれませんが、実はルールは1つだけ。
そこから、たくさんの公式が導かれていきます。
 
数学の公式って、たくさんあるように思うかもしれませんが、実は根本的なルールは少ないのです。あれこれ条件を変えて、たくさん増殖しているように見えるだけです。
 
ということで、今日と次回で、展開公式を紹介しながら、数学の世界が広がっているのを実感してもらいましょう。
 
では、まずは展開の一番根っこにあるルールの確認です。
 

①(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

 
この公式を覚えることから、始まります。
とは言っても、実はこの公式すら、中1数学をちょっと工夫すれば求められます。
 
①の左辺で、a+b=Aかなんかで置き換えてみましょう。
すると、
A(c+d)=Ac+Ad となりますね。 ←ここで中1数学の展開を使いました。
 
置き換えたAを、元のa+bに直すと、
(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd となって証明完了です。
 
 
もう一つ、有名な証明方法としては、面積の利用です。
ぷちっと数学ネタシリーズでも、何度か面積を利用した証明法をご紹介していますが、数学では掛け算を見た瞬間に面積を思い出すっていうのは、ベタな発想なのです。
 

①の左辺の(a+b)(c+d)で言えば、縦の長さがa+bで、横の長さがc+dの長方形の面積を表します。
 

つまり、下のような図
 

この長方形の面積を、色に分けて四分割していますが、左上の緑の部分の面積がacで、右上がad、左下がbcで、右下がbdです。
よって、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd は当然だという話。
 
ということで、展開の公式の証明は終わり。
あまり、肩肘張って証明するようなものではなくて、へぇ~と言って終わってしまえば良いです。
 
で、次回はここから生まれる様々な展開公式の導き方をやっていきましょう。
 
 
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数学ダイジェストシリーズの続きに行きましょう。
前回は、「風が吹けば桶屋が儲かる」を論理的に証明してみよう!ということで、証明問題を例えながら説明してきました。
 
今日は、証明の分野で叩き込む知識のまとめをしてしまいましょう。
中2の証明分野では、主に「条件」と「性質」の二種類を覚えていく必要があります。
そして、これらを覚えておかないと、絶対に問題が解けません。計算もほとんど出てこないのに加えて、「条件」と「性質」を一つも使わない問題が存在しないということです。
 
一番有名な所で言うと、三角形の合同条件ですね。
①3辺がそれぞれ等しい
②2辺とその間の角がそれぞれ等しい
③1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
の3つです。
おさらいになりますが、この3つの条件のどれを使っても、三角形の合同が証明できます。
 
こんな感じの条件が、細かくわけると、20個以上あります。
具体的には、下の図の通りです。
 
 
このプリントのPDFファイルは、こちらのページからダウンロードできます。
 

数学のクセに、こんなにたくさん覚える事があったら、好きな子もキライになるでしょう。
加えて、それまで計算問題中心だったのに、計算ほとんど出なくなりますし
 
さらにさらに、これは「条件」だけであって、加えて「性質」も覚えていかなければなりません。
性質っていうと、平行四辺形の対辺が等しいとか、二等辺三角形の底角が等しいとか。
まあ、「条件」と似たり寄ったりなので、あまり区別しなくても問題が解けてしまう子もたくさんいるんですけどね。
 
ただ、逆に言えば、知識の整理が付いてしまえば、この分野の勉強の大部分が終わりです。
前回までに勉強した、証明の構造と型に、新しい知識を当てはめていくだけです。
証明するって言うと、なにやら難しい問題に聞こえますが、ちゃんと型と基礎があり、そのために必要な知識があるのです。

そういう意味で数学も暗記が大切と言えるでしょうね。
3回にわけて証明について書いてきましたが、いかがでしたでしょうか?最後は知識の整理ということで、派手な話ではありませんでしたが、何事にも基礎は大切。
たかが20個で、中2の大部分の悩みが解消されますので、どうぞ一度まとめて覚えるタイミングを取って下さい。
 
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前回、名探偵コナンになぞらえて、数学の証明を説明してみましたが、今日は別の角度から説明してみましょう。
 
数学の証明というのは、簡単に言えば「話の筋を通す」ということです。
話の始まりが「仮定」、話の終わりが「結論」で、それ以外は何もロジックがありません。
一見、結びつかないような「仮定」と「結論」を、誰もが納得するように結びつけてしまうことを、証明と言います。
 
例えるなら、飛び石を繋げるような感じですね。(このブログ、いつも何かに例えてるな)
 

一番手前の石が「仮定」、一番遠くの石が「結論」
2つの石の間に、誰も足を踏み外さないように、他の石を置いていく作業のような感じです。
始めの石と終わりの石の間が、スムーズにつなげられれば証明完了というようなイメージです。
(あくまでイメージですが)
 
 
「風が吹けば桶屋が儲かる」という話があります。
ウィキペディアによると、
風が吹けば桶屋が儲かる(かぜがふけばおけやがもうかる)とは、日本語のことわざで、ある事象の発生により、一見すると全く関係がないと思われる場所・物事に影響が及ぶことの喩えである。また現代では、その論証に用いられる例が突飛であるゆえに、「可能性の低い因果関係を無理矢理つなげてできたこじつけの理論・言いぐさ」を指すことがある。
だそうですが、、、
 
風が吹くことと、桶屋が儲かるは、全く関係がなさそうですが、間の話を(無理矢理)繋げてしまっています。
ちなみに、そのロジック(笑)は、
①大風で土ぼこりが立つ
②土ぼこりが目に入って、盲人が増える
③盲人は三味線を買う(当時の盲人が就ける職に由来)
④三味線に使う猫皮が必要になり、ネコが殺される
⑤ネコが減ればネズミが増える
⑥ネズミは桶をかじる
⑦桶の需要が増え桶屋が儲かる

という事なんですが、これは全く論理的ではありません(笑)それが面白い話なんですけどね。
でも数学で言うと、「仮定」が風がふくことで、「結論」が桶屋が儲かることに対応できます。

そして、理論は無茶苦茶ですが、間をなんとかつなげようとしている、つまり「証明」しようとしているわけですね。

 
 
さてこのように、始めの石と、最後の石の間をどう繋げようかというのが証明だという話をしてきましたが、数学の証明では無茶苦茶に石は置けません。
置く場所とか、置く石の種類が決まっています。
 
一つ目には、問題文に書かれている仮定の石を置くとして、
二つ目には、「△〇〇〇と、△〇〇〇において」と置きます。
三つ目から五つ目には、辺の長さや、角度の大きさが等しいという内容の石を置き、
六つ目には、合同条件のどれかの石を置きます。
七つ目には、「合同な図形は、対応する辺や角度が等しいので」と置き、
八つ目には、結論の石を置くと。
 
こういう型があって、それに当てはめるだけですから、やってることはシンプル。
でも、みんな苦手にしちゃうんですよね~。
 
証明の分野は、これを全部手書きで書かなきゃいけないので、面倒だからだと思うんですが・・・。
でも、高校生までの勉強で、バリバリに論理的な話をすることもほとんどないし、論文の書き方の基礎中の基礎中の基礎をやってるので、大切は大切なのです。
これを読んでる方は、心理的なハードルを下げてもらえると幸いです。 
 
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