極線ってご存知ですか?

先日のお笑い数学イベントで披露したネタなんですが、認知度が低そうだったので、書いておきましょう。

 

円の極線というテーマの話があります。

数Ⅱの図形と方程式の単元で、話題になることがあるのですが、教科書には登場しない知識です。

証明はやや知識が必要ですが、今日は証明はしません。

ただ、図形を見て、美しいな~と思ってくれればOKです。

 

極線を書こう!

ではまず、極線とは何ぞやってところから。

 

まずは、紙に円を描いて下さい。

次に、円の外側に1点とります。(点Pとします。)

すると点Pから、円に向かって接線が2本引けますね。

その接点をT1、T2とします。

この時、T1とT2を結んだ直線のことを「極線」と言います。

 

下の図を見た方が分かりやすいでしょう。

 

さて、この極線に関しても、美しい性質があるんですね。

これに関しては、こちらの記事に書いておきましたので、どうぞご覧ください。

 

余談ですが、今日、この記事を書き始めて、

「ふっふっふ。新しいネタを投入してやるぜ~」

と意気込んでたんですが、作図してたら何となくデジャブのような感覚になりまして。

 

まさかな~と思って、自分のブログを検索してみたら、ほんの2か月前に同じネタ書いてますね。

これは健忘かも。。。

 

ただ、上のリンクでは書いてない事も紹介するので、ご勘弁を(笑)

 


極線を2回書くと・・・

さて、まだ話は始まっておりません。まだ極線を紹介しただけ。(あと、自らの健忘を披露しただけ)

 

極線の上からもう一度極線を引くのが、今日のメインテーマです。

 

先ほど書いた極線の上に、好きな点を取って下さい。(点Qとします。

点Qから、円に向かって接線をエイヤっと2本引くと、接点が2個出来ますね。

(点S1と点S2とします。

最後に、S1とS2を結んで直線を引くんですが、これがなんと、始めの点Pを必ず通ります。

 

証拠の図をどうぞ

 


どうですか?美しいでしょう。

何せ、必ず元の点を通るんですからね。

今回の記事を書く上で、間違えて同じ作業を違う円でやっちゃったので、折角だから載せときます。

 

ほら、どんな円でも出来るでしょう?

 

他の二次曲線でも出来る!!

まだまだ話は終わりません。

なんとこれ、他の二次曲線でも出来るんです!

 

 

まずは楕円。

 


続いて、放物線(二次関数の図形)

 

 

最後に双曲線(反比例のグラフ)

 

 

これは不思議ですよねー。

数学が苦手、嫌いな生徒に見せても、不思議だな~と興味を持ってもらいやすい話題です。

どうぞ使って下さい。

 

証明は・・・?

さあ、気になる証明なんですが、ここではしません!

 

いや、出来ますよ。

出来ますけど、長くなってしまうし、難しいので、ここでは書きません。

僕が知っている証明法は、数Ⅱの図形と方程式の時に出て来る「直線束」の性質と、二次曲線の接線の方程式を使うものです。

 

気が向いたら、今度書きます。

 

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今日は、7月22日。そう、円周率の日です。

 

え?円周率の日って、3月14日じゃないの?

と思った方。それも正解です。

でも、今日も円周率の日なのです。

 

実は、円周率の日はたくさんありまして、ウィキペディアには、4日載ってます。

 

7月22日
7月22日はヨーロッパ式では 22/7 と表記される。この区切り文字である /割り算の記号(または分数の割線)と見なすと、アルキメデスが求めた近似値となる。
12月21日[1]閏年12月20日
中国における近似値の日である。新年から355日目であり、祖沖之が求めた円周率の近似値である 355/113 の分子に由来する。分母に当たる1時13分に祝われる。
4月26日
新年からこの日までに地球が動く距離が2天文単位となる。地球の公転軌道の長さと移動距離の比が円周率に一致する。
11月10日(閏年は11月9日
新年から314日目である。
 
4つ目の、11月10日は、最早こじつけのような気がしてますが・・・。まあ良いでしょう。
好きな人が楽しむ日ですから。
 
話を戻しまして、円周率は、昔からどんな値なのかずっと計算されてきました。
アルキメデスが計算したとか、色々な伝説が残っているのですが、かなり昔から、22/7がまあまあ近い値になることが知られています。
やってみると、3.14285714…だそうです。たしかに近いですね。
 
整数と整数の分数を使って、もっと近い値になるのが、355/113。
やってみると、3.14159292…となります。
正確な値が、3.14159265…ですから、小数第六位まで一致しています。これはかなりの精度です。
 
あ、そうそう、ということもありまして、22/7にちなんだ今日が円周率の日ということになります。(正確には、円周率近似値の日ですが)
 
数学好きは皆、円周率が大好き!
円周率を信じられない桁数覚えている人がいたり、円周率を計算する式をたくさん発見したり。
数学好きな人と集まると、話が止まりません。
私が面白いな~と思ってるのは、語呂合わせ

日本語にとって、語呂合わせは得意技!
イチ、ニ、サン、シ…と数えたり、
ヒトツ、フタツ、ミッツ、ヨッツ…と数えたり、可と思えば
ワン、ツー、スリー、フォー…と英語の数え方も通じますから、

語呂合わせのバリエーションが多岐にわたっています。

 
しかし英語圏では、語呂合わせが上手くいかないので、単語の文字数で覚えるとのこと。
Yes, I have a number.
というのが、円周率の覚え方で、単語の文字数を見ると、
3,1416になってます。(小数第5位は四捨五入してますね)
 
他には、円周率をメチャクチャな桁数まで暗記している人いますね。
今の世界記録は、7万30桁だそうです。(byインド人)
 
受験の先生という立場から言うと、
 
2003年の東大入試第6問は外せませんね。
実は、僕が現役生の時に受けた問題です。(ちょっとだけ自慢)
色々な解法が作られて、紹介されてますから、ここでは控えますが、面白い入試問題ですよね。
3.05というのが絶妙です。
 
ということで、今日は円周率にまつわる話を色々紹介しました。
今日の話題にどうぞお使いくださいませ。
 
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前川前事務次官は、さすが元文科省!

この答弁は、日本全国に数学で登場する「背理法」を示してくれようとしたに、違いありません!


「文書を流出させたのは前川さん?YESかNOかで答えて」前川喜平「回答を差し控えたい」うわあああああ

↑ネタ元のニュース



日常にあふれる背理法

私、常日頃から、日常には数学が溢れていると思っているんですが、

その典型が「背理法」。

先月辺りにも、背理法と対偶命題の証明法についての記事も書いたところです。

背理法と対偶命題の証明法は、どのように使い分けるのか

教科書や問題集で誤魔化されている、背理法の正しい使い方


背理法というのは、「もし違ったとしたら・・・」と、証明したい結論と逆の仮説を立てた上で、論理を進め、現実との矛盾を示すという証明法。

と聞くと難しく聞こえるけど、実は頻繁に周りで使っています。

※あまり厳密に考えすぎず、数学ってそんな所にもあるんだ、というネタだと思って、気軽に読んで下さい(笑)

 

背理法ケーススタディ① 彼氏いるの?

男「ねぇねぇ、彼氏いるの?」

女「え~、教えない。」

 

ハイ、この女の人、彼氏いますね。背理法を使って、証明してみましょう。

 

女の人に、彼氏がいないと仮定してみます。

彼氏がいないなら、誰にも気を遣わず「いない」と言えますし、言った方が新しい相手が見つかるかもしれない。

ハッキリ「彼氏はいない」と言うはずです。

しかし現実にはハッキリ否定せず、「教えない」とはぐらかしました。

 

これは、始めに「女の人に彼氏がいない」と仮定したから生じた矛盾です。

よって、「女の人には彼氏がいる」ことが証明されます。

 

背理法のケーススタディ② 連絡なしに遅刻すると・・・

A「遅いな~、Cくん。もう遅刻だぜ。連絡もないし。」

B「いつも、10分前には来てるもんな。」

A「ってことは・・・?」

 

これは、C君の身を案じた方が良いですね。今すぐCくんに連絡を取りましょう。

背理法を使ってみます。

「Cくんは、ただ遅刻しているだけだ」と仮定します。

しかし、いつも10分前には来ているという、Cくんの習慣とも矛盾してますし、連絡もない。

 

ということは、仮定した「ただ遅刻しただけ」というのが間違っているということになります。

よって、「Cくんに何か特別なことが起こった」という事が証明されるわけですね。

 

ちなみにCくんは、スマホの充電が切れて、連絡も出来ず、道に迷っていただけだそうです。安心ですね。

 

背理法のケーススタディ③ 前川前事務次官
では、前川前事務次官・・・いや、背理法の伝道師の身を挺した教育を見ていきましょう。

国会で、こんな答弁がありました。

―---------------

自民党の平井卓也氏「総理のご意向という文書、前川さんが流出元と言われていますが、まさかそんなことはないと思いますので、まずYESかNOかでお答えください」
 

前川伝道師「文書の提供者が誰であるかということにつきましては私はお答えを差し控えさせて頂きます」

 

平井氏「ちょっと待って下さいよ。私はあなたのためを思って言っているんですよ。要するにもし前川さんが自分で出して会見をしてこの流れがあるんだったらまさに茶番なんですよ。まさかそんなことはないだろうと言っているんです。ないとお答えできないですか?」

 

前川喜平「え~この…まぁ、その様々な文書が、あ~まぁ世の中に出てきているわけでございますけれど、その文書を誰がどういう経路で誰に、え~提供したか、これについては様々な憶測があると思いますけど、これは私が何らかの明確にお答えするものではないと思っています」

 

平井氏「私は誰がと言っているんじゃなくて、『あなたじゃないですよね?』と言っているだけなんですよ。否定しないままだと私の心の中でわだかまったままになるんですけど…」

―---------------

長いので要約

 

平井「文書の流出元はあなたですか?」

前川「答えられません。」

平井「あなたじゃないですよね?否定してください。」

前川「答えられません。」

 

この答弁から、前川前事務次官が流出元だということが分かりますね。

背理法で証明していきましょう。

 

例のごとく「前川前事務次官が、流出元ではない」と仮定します。

すると、前川さんは、何のためらいもなく、自分は流出元ではないと答えられるはずです。何しろ、全く根拠のない疑いがかけられているわけですから、否定しないと大変なことになります。


しかし現実には否定しなかった。答えをはぐらかしています。

ということは仮定した結論が間違っていたということ。

「前川さんが流出元ではない」というのが間違っていることになり、間接的に前川さんが流出元だと証明されてしまうわけですね。

 

まとめ
とこんな感じで、色々なことが背理法で証明できます。

こんな感じのシチュエーションなら、日常でもたくさんありそうですよね。皆さんも、探して見て下さい!

 

そして、身を挺して背理法の教育をしてくれた前川さん!

あなたは、文科省の事務次官の鏡だ!

ありがとう前川さん!!

※本当に前川さんが流出元かどうかは、分かりません

 

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極線って知ってる?

現役生の定期テストシーズンに加え、他にたくさんお仕事を頂きまして、バタバタと忙しくしております。

さて今日は、美しい図形の性質のご紹介です。

数Ⅱの「図形と方程式」の分野に登場する(!?)ことがある「極線」についてです。

 

「え?そんなの知らない。習ったっけ?」

と思った方、別に大丈夫です。教科書には登場しない用語です。

しかし、問題集なんかにチラッとだけ登場します。マニアックな知識と思ってOKです。

しかし、その性質がとても美しくて素晴らしい!

 

では、具体的に見ていきましょう。

極線の性質

まず、原点中心の円を書きます。半径は何でも良いですから、rとしておきましょう。

すると、円の方程式はx^2+y^2=r^2ですね。

 

この円の外側に、点P(a、b)を取ります。

そして、そこから円に接線を引くと、2本の接線が書けますね。この接点をTとT’としておきましょう。

 

すると、なんとTとT’を通る直線の方程式がax+by=r^2になります。

円の方程式に登場する、2つのxのうち1つを点Pのx座標のaに変えて、2つのyのうち1つを点Pのy座標bに変えるだけ

という、シンプルで美しい性質が登場します。

 

↓この画像の、左半分に載っています。

 

極線の美しい性質の証明
この美しい性質、証明が知りたくなりませんか?
これも、上の画像の左半分に載っているので、見ておいてほしいのですが、何やら理屈をこねたような証明です。
本当に接点や接線を求めているわけではありません。
慣れないと、少し分かり辛いかもしれませんね。
 
後半に登場する理屈はこうです。
3×3-2×4=1 と
3×5-2×7=1 は、確かに成り立ってますよね?
この2本の式から、
3x-2y=1という直線が(3、4)と(5、7)を通っている事が読み取れるのが分かるでしょうか?
 
3x-2y=1に(3、4)を代入しても、(5、7)を代入しても成り立ってますから、当然と言えば当然です。
これと同じ理屈を、証明の最後にしています。理解のお助けになれば幸いです。
 
極線を2回引くと・・・
ここまでは、習った事がある方が多いでしょう。
受験生は、上の話で十分かもしれませんが、数学好きな方向けには、ここからが本番。
実は、極線2を2回引くと、もっと凄い性質が見えるのです。
 
先ほどと同じように、円と点Pを取り、極線をひきますよね。
そうしたら、その極線の好きな場所に点Qを取ります。どこでも構いません。
 
点Qを取ったら、始めと同じように接線を2本引いて、接点同士を直線で結んで・・・と点Qに対する極線を引きます。
するとなんと、2回目の極線が、元の点Pを必ず通るのです!!

※先ほどの画像の、右半分に説明と証明が載っています。

 

あらゆる二次曲線で成立する!!

しかも、この性質、円じゃなくても成り立ちます。

二次曲線と呼ばれる、楕円、放物線、双曲線であれば、どんな図形でも成立するのです!

これ、衝撃だと思いませんか?

 

皆さんも、お手元の紙とペンでやってみて下さい。

放物線や双曲線は、やや書きにくいので楕円から書いてみると良いと思います。

本当に、元の点を通ることが確認できるはずです。

 

証明は、画像の右半分のものを、楕円、放物線、双曲線に応用すれば、ほぼ同じ計算で出来ます。不思議ですよね~。

 

こういう美しい図形の性質があるから、数学は面白い!

また、機会があったら紹介します。

 

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ほとんど整数って?

最近「ほとんど整数」というのが話題になりました。

「ほとんど整数」というのは、その名の通り。一見すると整数ではないのに、計算してみると整

数に近くなる数のことです。


小数点以下が、「000…」または「999…」のように、0か9が数個連続する場合にこう呼びます。

ウィキペディアはこちらですが、数学系のウィキペディアの記事は難しいですので、簡単に噛み砕きます。

 

黄金比もほとんど整数

例えば「黄金比」という言葉をご存知でしょうか。

図形の形がキレイに見える辺の長さの比として使われることもありますが、転じて女性のプロポーションの美しさなどにも使われることがありますね。


この黄金比を数学的に計算すると、(1+√5)/2で、少数で表すと、1.618033・・・です。

(円周率をπで表すように、黄金比はφという文字で表すのが普通です。)

これは1.6くらいですから、1からも2からも離れてますね。よってφは「ほとんど整数」ではありません。


しかし、たくさん掛け算すると、ほとんど整数になります。

試しに、

17乗すると、

18乗すると、

19乗すると、

と、小数点以下に、9とか0が連続して続く数が登場するのがわかります。

よって、黄金比は累乗すればするほど、ほとんど整数になるわけです。


他にも色々な例があるので、探して見て欲しいのですが。

僕の持ちネタで、知らない方が多かった、物理に登場する「ほとんど整数」をご紹介します。

 

振り子の等時性にも、ほとんど整数

振り子の等時性というのを、覚えてますでしょうか?

振り子と言うと、最近は「鉄拳」さんのパラパラ漫画が有名ですが、今日はその話ではありません。

振り子の揺れる周期は、ヒモの長さだけによって決まるというアレです。

ヒモの材質、振り子の重さ、ヒモが揺れるスピードなどには関係なく、ヒモの長さだけで決まります。

高校物理では、この等時性を証明する問題が頻出で登場するのですが、細かい計算はここでは省きましょう。

 

下の画像をご覧ください。周期を表す式があります。

 


g/π^2≒1になる

さて、ここに「ほとんど整数」が隠れています。

それはどういうことかと言うと、実はπ^2とgは、ほとんど同じ値になるのです。

 

gというのは、重力加速度と言って、9.8くらいの値になります。

そして、πというのは、ご存知円周率ですが、3.1415…と続く数ですね。


※ちなみに、この式には、

周期Tと、ヒモの長さLしか測定する値が登場しません。πは3.14、gは9.8ですので。

ということで、振り子の周期は、ヒモの長さだけで計算出来るという「等時性」の結果が出ます。



このπを2乗すると、なんとビックリ、9.8より少しだけ大きい値になります。

 

と言う事は、9.8より少しだけ大きいgと、π^2で比をとってしまえば、ほとんど1になるわけですね。

式で表せば、π^2/g≒1

g=9.8で、π=3.14として計算してみると、π^2/g=1.0060くらいになります。

 

振り子の周期は、2√L

ということは、先ほどの画像の周期の式がもっと簡単になりますね。

T=2π√L/g でしたが、√の外のπと、√の中のgを約分して

T=2√L としても、ほとんど有効数字に影響はありません。

ということで、振り子の周期が非常に簡単に計算出来てしまうんですね。

 

例えば、振り子のヒモの長さを1mのものでやってみると、L=1を代入すれば良いですから、

周期は2秒と、簡単に計算することが出来ます。

実際に1mのヒモでやってみると、本当にそうなるので、よろしければやってみて下さいませ。

 

数学だけじゃなくて、色んな科目を勉強していると、絡んでいるモノがたくさん見つかって面白いですね。

今後も、また何かご紹介していきます。

 

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