極線ってご存知ですか?

先日のお笑い数学イベントで披露したネタなんですが、認知度が低そうだったので、書いておきましょう。

 

円の極線というテーマの話があります。

数Ⅱの図形と方程式の単元で、話題になることがあるのですが、教科書には登場しない知識です。

証明はやや知識が必要ですが、今日は証明はしません。

ただ、図形を見て、美しいな~と思ってくれればOKです。

 

極線を書こう!

ではまず、極線とは何ぞやってところから。

 

まずは、紙に円を描いて下さい。

次に、円の外側に1点とります。(点Pとします。)

すると点Pから、円に向かって接線が2本引けますね。

その接点をT1、T2とします。

この時、T1とT2を結んだ直線のことを「極線」と言います。

 

下の図を見た方が分かりやすいでしょう。

 

さて、この極線に関しても、美しい性質があるんですね。

これに関しては、こちらの記事に書いておきましたので、どうぞご覧ください。

 

余談ですが、今日、この記事を書き始めて、

「ふっふっふ。新しいネタを投入してやるぜ~」

と意気込んでたんですが、作図してたら何となくデジャブのような感覚になりまして。

 

まさかな~と思って、自分のブログを検索してみたら、ほんの2か月前に同じネタ書いてますね。

これは健忘かも。。。

 

ただ、上のリンクでは書いてない事も紹介するので、ご勘弁を(笑)

 


極線を2回書くと・・・

さて、まだ話は始まっておりません。まだ極線を紹介しただけ。(あと、自らの健忘を披露しただけ)

 

極線の上からもう一度極線を引くのが、今日のメインテーマです。

 

先ほど書いた極線の上に、好きな点を取って下さい。(点Qとします。

点Qから、円に向かって接線をエイヤっと2本引くと、接点が2個出来ますね。

(点S1と点S2とします。

最後に、S1とS2を結んで直線を引くんですが、これがなんと、始めの点Pを必ず通ります。

 

証拠の図をどうぞ

 


どうですか?美しいでしょう。

何せ、必ず元の点を通るんですからね。

今回の記事を書く上で、間違えて同じ作業を違う円でやっちゃったので、折角だから載せときます。

 

ほら、どんな円でも出来るでしょう?

 

他の二次曲線でも出来る!!

まだまだ話は終わりません。

なんとこれ、他の二次曲線でも出来るんです!

 

 

まずは楕円。

 


続いて、放物線(二次関数の図形)

 

 

最後に双曲線(反比例のグラフ)

 

 

これは不思議ですよねー。

数学が苦手、嫌いな生徒に見せても、不思議だな~と興味を持ってもらいやすい話題です。

どうぞ使って下さい。

 

証明は・・・?

さあ、気になる証明なんですが、ここではしません!

 

いや、出来ますよ。

出来ますけど、長くなってしまうし、難しいので、ここでは書きません。

僕が知っている証明法は、数Ⅱの図形と方程式の時に出て来る「直線束」の性質と、二次曲線の接線の方程式を使うものです。

 

気が向いたら、今度書きます。

 

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今日は、7月22日。そう、円周率の日です。

 

え?円周率の日って、3月14日じゃないの?

と思った方。それも正解です。

でも、今日も円周率の日なのです。

 

実は、円周率の日はたくさんありまして、ウィキペディアには、4日載ってます。

 

7月22日
7月22日はヨーロッパ式では 22/7 と表記される。この区切り文字である /割り算の記号(または分数の割線)と見なすと、アルキメデスが求めた近似値となる。
12月21日[1]閏年12月20日
中国における近似値の日である。新年から355日目であり、祖沖之が求めた円周率の近似値である 355/113 の分子に由来する。分母に当たる1時13分に祝われる。
4月26日
新年からこの日までに地球が動く距離が2天文単位となる。地球の公転軌道の長さと移動距離の比が円周率に一致する。
11月10日(閏年は11月9日
新年から314日目である。
 
4つ目の、11月10日は、最早こじつけのような気がしてますが・・・。まあ良いでしょう。
好きな人が楽しむ日ですから。
 
話を戻しまして、円周率は、昔からどんな値なのかずっと計算されてきました。
アルキメデスが計算したとか、色々な伝説が残っているのですが、かなり昔から、22/7がまあまあ近い値になることが知られています。
やってみると、3.14285714…だそうです。たしかに近いですね。
 
整数と整数の分数を使って、もっと近い値になるのが、355/113。
やってみると、3.14159292…となります。
正確な値が、3.14159265…ですから、小数第六位まで一致しています。これはかなりの精度です。
 
あ、そうそう、ということもありまして、22/7にちなんだ今日が円周率の日ということになります。(正確には、円周率近似値の日ですが)
 
数学好きは皆、円周率が大好き!
円周率を信じられない桁数覚えている人がいたり、円周率を計算する式をたくさん発見したり。
数学好きな人と集まると、話が止まりません。
私が面白いな~と思ってるのは、語呂合わせ

日本語にとって、語呂合わせは得意技!
イチ、ニ、サン、シ…と数えたり、
ヒトツ、フタツ、ミッツ、ヨッツ…と数えたり、可と思えば
ワン、ツー、スリー、フォー…と英語の数え方も通じますから、

語呂合わせのバリエーションが多岐にわたっています。

 
しかし英語圏では、語呂合わせが上手くいかないので、単語の文字数で覚えるとのこと。
Yes, I have a number.
というのが、円周率の覚え方で、単語の文字数を見ると、
3,1416になってます。(小数第5位は四捨五入してますね)
 
他には、円周率をメチャクチャな桁数まで暗記している人いますね。
今の世界記録は、7万30桁だそうです。(byインド人)
 
受験の先生という立場から言うと、
 
2003年の東大入試第6問は外せませんね。
実は、僕が現役生の時に受けた問題です。(ちょっとだけ自慢)
色々な解法が作られて、紹介されてますから、ここでは控えますが、面白い入試問題ですよね。
3.05というのが絶妙です。
 
ということで、今日は円周率にまつわる話を色々紹介しました。
今日の話題にどうぞお使いくださいませ。
 
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前川前事務次官は、さすが元文科省!

この答弁は、日本全国に数学で登場する「背理法」を示してくれようとしたに、違いありません!


「文書を流出させたのは前川さん?YESかNOかで答えて」前川喜平「回答を差し控えたい」うわあああああ

↑ネタ元のニュース



日常にあふれる背理法

私、常日頃から、日常には数学が溢れていると思っているんですが、

その典型が「背理法」。

先月辺りにも、背理法と対偶命題の証明法についての記事も書いたところです。

背理法と対偶命題の証明法は、どのように使い分けるのか

教科書や問題集で誤魔化されている、背理法の正しい使い方


背理法というのは、「もし違ったとしたら・・・」と、証明したい結論と逆の仮説を立てた上で、論理を進め、現実との矛盾を示すという証明法。

と聞くと難しく聞こえるけど、実は頻繁に周りで使っています。

※あまり厳密に考えすぎず、数学ってそんな所にもあるんだ、というネタだと思って、気軽に読んで下さい(笑)

 

背理法ケーススタディ① 彼氏いるの?

男「ねぇねぇ、彼氏いるの?」

女「え~、教えない。」

 

ハイ、この女の人、彼氏いますね。背理法を使って、証明してみましょう。

 

女の人に、彼氏がいないと仮定してみます。

彼氏がいないなら、誰にも気を遣わず「いない」と言えますし、言った方が新しい相手が見つかるかもしれない。

ハッキリ「彼氏はいない」と言うはずです。

しかし現実にはハッキリ否定せず、「教えない」とはぐらかしました。

 

これは、始めに「女の人に彼氏がいない」と仮定したから生じた矛盾です。

よって、「女の人には彼氏がいる」ことが証明されます。

 

背理法のケーススタディ② 連絡なしに遅刻すると・・・

A「遅いな~、Cくん。もう遅刻だぜ。連絡もないし。」

B「いつも、10分前には来てるもんな。」

A「ってことは・・・?」

 

これは、C君の身を案じた方が良いですね。今すぐCくんに連絡を取りましょう。

背理法を使ってみます。

「Cくんは、ただ遅刻しているだけだ」と仮定します。

しかし、いつも10分前には来ているという、Cくんの習慣とも矛盾してますし、連絡もない。

 

ということは、仮定した「ただ遅刻しただけ」というのが間違っているということになります。

よって、「Cくんに何か特別なことが起こった」という事が証明されるわけですね。

 

ちなみにCくんは、スマホの充電が切れて、連絡も出来ず、道に迷っていただけだそうです。安心ですね。

 

背理法のケーススタディ③ 前川前事務次官
では、前川前事務次官・・・いや、背理法の伝道師の身を挺した教育を見ていきましょう。

国会で、こんな答弁がありました。

―---------------

自民党の平井卓也氏「総理のご意向という文書、前川さんが流出元と言われていますが、まさかそんなことはないと思いますので、まずYESかNOかでお答えください」
 

前川伝道師「文書の提供者が誰であるかということにつきましては私はお答えを差し控えさせて頂きます」

 

平井氏「ちょっと待って下さいよ。私はあなたのためを思って言っているんですよ。要するにもし前川さんが自分で出して会見をしてこの流れがあるんだったらまさに茶番なんですよ。まさかそんなことはないだろうと言っているんです。ないとお答えできないですか?」

 

前川喜平「え~この…まぁ、その様々な文書が、あ~まぁ世の中に出てきているわけでございますけれど、その文書を誰がどういう経路で誰に、え~提供したか、これについては様々な憶測があると思いますけど、これは私が何らかの明確にお答えするものではないと思っています」

 

平井氏「私は誰がと言っているんじゃなくて、『あなたじゃないですよね?』と言っているだけなんですよ。否定しないままだと私の心の中でわだかまったままになるんですけど…」

―---------------

長いので要約

 

平井「文書の流出元はあなたですか?」

前川「答えられません。」

平井「あなたじゃないですよね?否定してください。」

前川「答えられません。」

 

この答弁から、前川前事務次官が流出元だということが分かりますね。

背理法で証明していきましょう。

 

例のごとく「前川前事務次官が、流出元ではない」と仮定します。

すると、前川さんは、何のためらいもなく、自分は流出元ではないと答えられるはずです。何しろ、全く根拠のない疑いがかけられているわけですから、否定しないと大変なことになります。


しかし現実には否定しなかった。答えをはぐらかしています。

ということは仮定した結論が間違っていたということ。

「前川さんが流出元ではない」というのが間違っていることになり、間接的に前川さんが流出元だと証明されてしまうわけですね。

 

まとめ
とこんな感じで、色々なことが背理法で証明できます。

こんな感じのシチュエーションなら、日常でもたくさんありそうですよね。皆さんも、探して見て下さい!

 

そして、身を挺して背理法の教育をしてくれた前川さん!

あなたは、文科省の事務次官の鏡だ!

ありがとう前川さん!!

※本当に前川さんが流出元かどうかは、分かりません

 

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