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今日も行きましょう。2012年の確率です。(文理で全く同じ)

 

昨日の記事で書いた確率の問題に続いて、図形と確率漸化式の問題です。

昨日は触れませんでしたが、図形と確率の問題が出たら、必ず考えることがあります。

それは何かというと・・・

 

対称性の利用

対称性です。

数学では非常によく強調されるポイントですが、やはり大事!

現在、12年分の確率の問題を連続アップ中ですが、対称性に注目して解く問題が頻発します(お楽しみに)

 

さて、「対称性」と一口に言いますが、主に2種類の対称性があります。

それは

・図形の対称性(線対称・点対称)

・式の対称性(いわゆる対称式)

の2つです。

 

しかし、この問題で注目してほしいのは3つ目の対称性、すなわち「確率の対称性」です。

 

そして面白いのは、この3つの対称性がリンクして登場することです。

 

この問題は、正三角形を図のように分割した図形が登場しますが、

 

 

図のようにQ’の部屋を設定すると、QとQ’が線対称になります。そして、Qに到達する確率と、Q’に到達する確率が完全に等しくなる。

つまり、「図形の対称性」と「確率の対称性」が同じように登場します。

さらに、後で漸化式を立式すると、「式の対称性」まで登場する。

というように、3つの対称性が同時に登場するという、非常に面白い問題なのです。

 

【超頻出】偶奇の場合分け

そして、もう一つ。

これまた、超頻出テーマなのが「偶奇の場合分け」です。

受験生に嫌われるテーマではありますが、残念ながら東大では超頻出なのです。「偶奇を克服せずして東大合格はない」という意識で取り組んでください。

 

この問題で、どのように登場するかというと、やはり図形の対称性と関連して登場します。

図のように、奇数の時と偶数の時で、到達する部屋が違います。

 

図形の点の移動と、偶奇は非常に相性がよいので、絶対に押さえておきたい知識です。

このブログを愛読してくれている読者であれば、前回の記事(2000年の文系第3問)にも同じことが登場しているのがご理解いただけるでしょう。

 

確率漸化式の解法

では、気になる解法ですが、対称性と偶奇の性質を大いに利用します。

まず、先ほどの図のようにQ’の部屋を設定。

そして、P、Q、Q’の部屋にn秒後にいる確率をPn、Qn、Q’nと設定します。

すると、Pn、Qn、Q’nの遷移図が描けます。

 

そこで、2本の式を別に立てます。

1つ目は、先ほどからずっと言っている、Qの部屋とQ’nの部屋の対称性から立てられる

qn=q’n

 

2つ目は、確率の問題ならば必ず成り立つ式、全て足せば1です。

pn+qn+q’n=1

 

これらを連立して漸化式を解くと解けるという仕組みでした。

 

では、手書きの解答をどうぞ。

 

 

まとめ

 

くどいですが、この問題は、対称性、偶奇、確率漸化式という頻出パターンを全て押さえているという点で、東大数学に確率の黄金パターンに則った問題でした。

この問題をもとに、応用として明日以降の問題をご覧くださいませ。

 

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今日は2000年の東大文系数学第3問です。

 いつも通り、問題をどうぞ!  

 

今日、この問題を取り上げた意図は「練習問題」です。

ひねりもないし、複雑さもない。 ただただシンプルな問題です。こんなに簡単な確率漸化式が東大でも出題されてたのか、と目を疑うような問題。

 今後、読者の皆さんには東大の確率をマスターしてほしいのですが、先に簡単な問題を扱ってしまい、確率漸化式のポイントを押さえた上で今後の問題を見てほしいので、あえて古い問題を持ってきました。 

 

遷移図書いて終わり 

では、問題の解説に入りますが、四面体の4頂点にいる確率をそれぞれP1(n)~P4(n)と置き、遷移図を書きます。

 矢印が多くなりますが、対称性があるので、あまり気にしなくてOK。 

遷移図を漸化式に反映すると、やはり対称性のあるかたちになります。 

 

ここで、確率漸化式では頻出の式「全部足したら確率1」を利用してP1だけの式にすれば、あとは普通の漸化式が残って解くだけ。 

 

・遷移図が描きやすい 

・漸化式がシンプル 

・「確率足して1」の式が登場する 

 

などなど、練習問題として良い問題でした。 では、手書きの解答をどうぞ。  

ちなみに、P1、P2、P3、P4の四つの漸化式を立てずに、いきなりP1だけの漸化式を出しても解けます。

(その方が計算量が少ないので素晴らしい) 

 

次回以降は、もう少し難しい問題を扱います。

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2014年 東大文系数学第2問の解説
お待ちかね、東大過去問解説のコーナーです。
東大入試では、数学の重要度が非常に高いですから、最後に数学の解法を頭の中に整理して臨むのがおすすめです。
なるべくたくさんアップしていきますので、どうぞお楽しみに。
 
 
 
今日は2014年の確率の問題です。(文系第2問、理系第2問)
 
 
理系では最後にこの問題が追加されます。
 
理系の追加問題は、その直前で求めたPnの一般項に対して、シグマを取るだけの問題です。
ようするに正しく計算するだけの問題。(2)まで求められれば「もらい」です。
 
東大の個数の処理の問題傾向
 
問題の設定が珍しいですね。
 
操作(ⅰ)では、白玉を取り出したら、過去どんな状況であろうと、白玉a個、赤玉1個にリセットされます。
ということは、白玉を取り出し続けたら、永遠に何も状況が変わらず進むということ。
 
対して、操作(ⅱ)では、赤玉を取り出したら、その赤玉が袋から消滅するだけです。
 
さて、東大の確率についての基礎知識ですが、いくつか傾向があります。
・場合の数は(ほとんど)出ない。確率ばかり出る。
・知らない設定の問題が出やすい。
・漸化式や数列と絡みやすい。
・第1問には登場しない(どうでもよい)
 
上の3つはほとんど常識。東大受験したければ、絶対知っていてほしい問題です。
特に重要なのは二つ目。パット見で理系出来る設定はほとんど出ず、いつも知らない設定が登場します。
 
つまり東大の確率の問題は、情報の整理が難しいのです。逆に、情報の整理が上手く行けば高得点が取れる可能性が高いわけです。
そういう観点でこの問題を分析した結果、僕は「リセット型」の問題と言っています。
操作(ⅰ)は無条件に白玉a個、赤玉1個にリセットされますが、こういう設定の問題が他にも出題されています。
具体的には、2007年の確率の問題。解説は今後アップするので、お楽しみに。
見比べて、法則を探しましょう。
 
問1 場合分けして、計算
p1とp2を求めよということですが、これはもうお馴染み。
丁寧に問題の設定を読み込み、場合分けをして計算するだけです。それほど難しくないでしょう。
 
問2 確率漸化式
問2はPnを求めよということで、これももうお馴染み。
 
確率が数列のようにあらわされていて、一般項を求めよと言われたら、まず「確率漸化式」を疑うのが定石。東大入試では、よくあります。
 
確率漸化式では「遷移図」を書くのがオススメです。遷移図というのは、こういう図のこと。
n回目と、n+1回目の時で、どのように確率の推移をしているかを図にしたものです。
 
この時、立て方が2通りあります。
図の赤い線で立てる場合と、青い線で立てる場合です。
今回は、青い線で立てる方が、線が1本だけで済むので簡単なのですが、別に赤い線で立てても構いません(結果が同じになります)
 
 
これを立てたら、数列でよく見る漸化式の問題(が、分数の文字式になり面倒になったもの)になります。
計算が面倒なだけで、別に設定は簡単。特性方程式を解いて、いつも通り計算すれば、完了です。
 
(3)も計算だけ
理系のみですが、(3)が残ってます。
しかし、先ほど言った通り計算するだけ。
その計算も、等比数列の和の計算が登場するだけ。よく見ると不定形も登場せずストレートに和も極限も計算出来ます。簡単♪
ちなみに、2016年の最後にも、理系だけ計算が追加されていますが、別に難しくありませんでした。

リンク:2016年の確率の解説

 
では手書きの解答です。
 
これは、文系にしても理系にしても簡単めな問題です。
20点を取れるのも大切ですが、いかに短時間で解けるかまで狙う問題かもしれません。
 
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東大の確率の入試解説を連続アップ中!

昨日の告知に続き、まずは2017年東大文系数学の第3問と、理系第2問です。 

まずは、問題を。 

文系第3問は・・・

      

そんでもって、理系第2問は

    

見比べると分かりますが、文系の(2)と、理系の(1)が同じ問題ですね。 

文系では、もっと簡単な・・・というか死ぬほど簡単な(1)が追加されていて、 理系ではちょっと手間がかかる(2)が追加されているという感じ。 まずは、文系の方から片づけてしまいましょう。

 

問題の設定を読んで下さい。 

点Pが始めは原点にあります。 そして、点Pは、上下左右に当確率で移動します。つまり、上下左右のどこに動くのも1/4の確率です。 

場合の数・確率の問題では、複雑な設定の問題が出題されることがありますが、今年は非常にシンプルですね。わかり易い。  

 

設定を理解したら、次は問題文を読むと・・・ (1)は、恐らく数学を勉強したことがない方や、長らく数学から離れている人でも解けるのでは??と思います。   

t-s=-1とか、分かり辛く書いてありますが、言い換えるとy-x=-1の直線上に乗っかれば良いという事です。 

ということは、右に動くか、下に動けば良い話。 

さて、問題です。 上下左右に当確率で点が動くとき、右に動く確率と、下に動く確率を足したらいくつでしょう? 

もちろん答えは、1/4+1/4=1/2です。  これ、センター試験でも(1)に出るくらいの簡単な問題です。東大入試で、これで良いのでしょうか?簡単すぎて、思わず問題文を何度も読み直してしまいましたが、そういう受験生も多かったのでは?   

 

では、(2)。 

(1)が誘導になってるんだろうな、とは思うでしょうが (あまりにも簡単ですし、t-s=-1なんていう、意味不明な式が登場するし) 気付いた解いても、誘導に乗るのは少し難しいかもしれませんね。   

調べるとわかるんですが、 右か下に動くと、y-xの値が1減って、 左か上に動くと、y-xの値が1増えます。   

上下左右に動くと考えると、4択なのですが、右下をセット、左上をセットにすると2択になります。

(東大確率では、このように複数の状態をまとめて一つにすることが、非常によくあります。)

 

あとは、右下のセットと、左上のセットが、それぞれ何回出れば良いかを反復試行で考えれば良いという問題ですね。   

 

では、手書きの解答をどうぞ。  

    

※左側が、文系第3問、右側が理系第2問です。   

 

 

見慣れない設定かもしれませんが、別に複雑でもなければ、場合分けが難しいわけでもない。計算も簡単という事で、これも取りたい問題ですね。     

 

では、続きまして、理系の(2)。 今度は、原点にある確率を求めよ、とのことです。   

この問題、計算は複雑になるんですが、むしろ、さっきのy=x上よりも、考え方は簡単かもしれません。 何せ、最後に原点にいるということは、左と右が同じ回数出て、上と下が同じ回数出れば良いわけです。   

という事で、今度は左と右をセットに考えて、上と下をセットにすれば良いのです。 

で、左右セットと、上下セットの出る回数が足して3になれば、合計6回移動したことになりますから、(左右や上下をセットにすると、移動2回分がセットなので) (3,0)、(2,1)、(1,2)、(0,3)の4通りが考えらます。   

 

さらに対称性から、(3,0)と(0,3)は、全く同じ確率に、(2,1)、と(1,2)も同じ確率になるのも分かるので、結局計算としては、2つだけすれば良くなります。   

ここまで考えられれば、もう解けるでしょう。 

 

では、さきほどと同じものですが、もう一度手書きの解答を載せておきます。

    

 

文系にしても、理系にしても、この問題なら、それほど難しくないと思って良いと思います。 

上手に説明したら、(計算の部分は出来ないまでも)中学生でも理解できるかも。