これは難問!!

 

それでは、文系最後の問題に行きましょう!

 

これは難しい!!

しかし、昨日解説した、第3問とは違う難しさです。

 

文系第3問のリンクはこちら↓

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第3問(存在領域、ベクトル)

 

第3問は、1手目の決め方と、ベクトルの領域図示の仕方が難しい問題。

教科書的な勉強では、届かない領域にあると解説しました。

 

一方でこの第4問は、教科書的な知識で最後まで到達します。

考え方もスタンダードだし、スラスラと手が進みます。

しかし、計算が難しい上に多い!

 

始めに言ってしまいますが、手書きの解答を今回も作ったんですけど、解答の流れは駿台の模範解答と同じになってしまいました。

細かい注意点や、コメントなどはたくさん書き込んでいるので、読んで下されば勉強になると思いますが、流れとしては駿台さんと全く同じ。

 

というのも、僕の限られた時間で試した結果、この解答の流れでしか現実的な解法がないのです。

文字の置き方、インテグラルの作り方、展開の仕方や因数分解の仕方まで、この手順通りにやらないと進めなくなってしまいそう。

かなり、計算の幅が狭くて限定されている問題です。

 

さらに、(1)の後半で4次方程式が登場するのですが、これを解くのが相当厳しい!

αとβの2文字が登場する4次方程式なのですが、αとβに対称性のようなものがあります。

厳密には対称性ではないのですが、、、、。

 

この式に到達するまでに、αとβで、エコヒイキしないようにインテグラルを作ったり、解と係数の関係を使ったり気を遣っていたのに、ここにきて4次方程式を解いて、崩すとは。

 

それに、因数定理を使う際の1解を見つけるのが、やや難しいような気がしますね。

そもそも答えに到達するまで、長すぎるし。

ということで、あれこれ文句を言いましたが、変な計算が登場しないからこそ、色々言いにくいものです。

 

解答の流れはスタンダード

では、解答の流れに行きますが、別に難しいところはありません。計算が複雑なだけです。

 

面積計算が必要なので、関数と関数の交点の座標が欲しい。

いうことで、2つの関数を連立して、交点を求めます。

xでくくれるので、x=0が解になるとして、残りの2次方程式が異なる2点を持てば良いわけです。

あぁ、普通。

 

2次方程式にaやbの文字が入ってるので、まさか解の公式で解くわけがないので、解と係数の関係を利用しようという発想になって、

2解をα、β(α<β)と置きます。

 

これでインテグラルが作れる。

インテグラルを作る際に、面積が5の方がS1、面積が32の方がS2とすると、

S1が0からαまでの積分、S2がαからβまでの積分です。

 

S1は積分区間に0が入ってるので計算が簡単ですが、S2は積分区間が両方とも文字(しかも、両方とも二次方程式の解)

これだと、その後の積分計算が面倒くさくなるので、0からβまでの積分を利用して、計算の工夫をします。

 

ただ、この辺りの積分の工夫は、やや難しいですね。

多くの受験生が、工夫せずにインテグラルを作って、たくさん登場する文字に困惑して撃沈したのではないでしょうか?

 

さて、インテグラルを作れたら、S1:S2=5:32から、等式が作れます。

あとは、等式からαとβの解を求めればOKと。

 

文章を書いていても、別に難しい流れはないんですよね~。

よく、ここまでシンプルな設定なのに、計算が面倒くさくて、解法までが限定された計算になる問題を作れたものだと思います。

 

(2)も面倒くさい

(1)で面倒な計算をくぐり抜けましたが、(2)もそれなりに面倒くさいです。

もう、このブログではお馴染みになりましたが、通過領域の問題です。

 

通過領域には3パターンの解法があります。

①解の配置(存在条件)

②包絡線

③ファクシミリ論法

 

②包絡線は、塾や予備校の先生が好きな話題なので、教科書から脱線して受験対策として教わることがあるかもしれませんね。

③ファクシミリ論法は、あまり聞かないかもしれませんが、一応あります。

 

が、東大文系を目指すなら、①の解法が出来るようになれば、十分だと思いますけどね。色々な解法を教えるのも良いんですが、定着するまでに通り過ぎてしまう場合もあるので。

 

ということで、僕の手書きの解答でも、①の解の配置で解いています。

二次の係数にxがあって、正と0と負の場合分けをするっていう、最後まで面倒な問題でした。

 

 

 

まとめ

いやー、駿台の4問、難しかったですねー。

終わった後だから言える話ですが、第1問、第2問で満点近く取って、第3問と第4問で部分点が何点かもらえたら、作戦的には勝ちでしょう。

40点~50点を上限に考えても良いのではないかと思います。

 

時間配分も、第3問と第4問はかなり時間がかかりますから、25分ずつの配分で考えていた人は、足元をすくわれたでしょう。

と、色々なトラップもありつつ、難しいラインナップでした。

 

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最難問。1手目をどうする!?

今日は、第三問です。これはやられましたね。

 

 

今回の東大駿台実戦、問題文の短さに、何かこだわりがあるのでしょうか?

これは毎回1問くらい出る「1手目に困る問題」ですね。

 

第1問の、割り算の余りの問題

第2問の、場合の数・確率の問題

は、どの分野で解くのか、迷わず行けると思うのですが、第三問はそもそもどの公式を使って良いかが分からない。


さあ、皆さんだったら、どの手を打ちますか??


実は2手のみ

と、言いつつ、実は2手しか選択肢がありません。
これ、河合のオープンの時にも散々言いましたが、存在領域は2種類しか解法がないからです。
①方程式の解の配置として解く
②ベクトルの存在領域として解く
 
詳しくは、河合の第一問、第三問の時の解説に書いてありますから、そちらをご覧ください。
リンクは↓

 

【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン文系第3問

 

ちなみに、今年の東大入試でも出ています。その解説も合わせてどうぞ。

2017年 東大文系数学 第2問の解説(ベクトル・領域図示・面積)

 

ま、恐らく、河合も駿台も、今年の入試を見て問題を作っているんでしょうね。存在領域の問題は、対策必須でしょう。

 

解の配置として解くと・・・?

河合のオープンは、解の配置として解く問題が出題されましたが、駿台ではどうでしょうか?

実は、解の配置として解くと、痛い目を見る問題でした。

の理由を説明しましょう。

 

この問題、方程式としてみ見た時に、真っ先に思い出すのは「対称性」

あらゆる数学の先生が、口角に泡を飛ばして重要だと絶叫するのが対称性ですが、この問題は罠かもしれませんね。

 

この問題、対称性を意識して、三角関数の公式を使おうと思うと、

2辺とも2乗して足すのがスタンダードな流れだと思うのですが、、、、ここに罠があります。

 

試しに、多くの人が間違ったであろう、誤答例を作ってみました。

 

 


辺々2乗して足すと、加法定理が使えて、「お☆・・・これは、上手く行きそうだ」と一瞬思ってしまいますね。

左辺を動かした時に、右辺が解を持てば良いから・・・と解の配置で解いてはいけません。

手書きの誤答例にも書きましたが、この式はxとaが好きな値を取れません。

xとaの関係式①があるため、xが動いたらaも動いてしまいます。

 

同様に、yも動けばbも動く。

だから、xとyを動かしたら、同時にaとbも動かして考えなければなりません。

ここが引っかかり易いミスでしょう。

マジメに教科書や問題集の勉強をして、素直に言われた通り解こうとすると間違える。

うーん、良い問題というべきか、性格の悪い問題というべきか・・・。

 

正解に辿り着くの解法はベクトルだった。

実は、丁寧に解の配置の問題として解いていっても解けます。それが、駿台の模範解答の別解に載っているんですが、ちょっと計算量が多すぎて、試験中に思いついて正しく計算出来るかというと、現実的ではありません。

ということで、解の配置ではなく、ベクトルで解くというのが、正解に辿り着く解法でした。

 

さっきから言ってるベクトルの存在領域の問題っていうのは、手持ちの4STEPで言うと、この問題に該当しますね。

ここに存在領域の図示が登場します。

 

 

ベクトルだと思って考えると、(cosx, sinx) というベクトルと、(cosy, siny)というベクトルの和が、(a, b)というベクトルになっていると見れます。

(と言っても、無理矢理ベクトルだと思って解かなければ気付けないでしょうが)
 
僕の手書きの解答では、
ベクトルxを(cosx, sinx)
ベクトルyを(cosy, siny)
ベクトルaを(a, b)
と定義して、ベクトルxの先っちょに、ベクトルyを書くようなイメージをして解いてます。
(駿台の模範解答には、ベクトルこそ出てこないまでも、概念は同じです)
 
教科書に例を見ないタイプ
ただ、ここで問題があります。
ベクトルの存在領域の問題は、ベクトルそのものは動きません。
上に貼り付けた4STEPの例題も、2本のベクトルは動かず、ベクトルの実数倍と、係数だけを見て解きます。
 
しかし、この駿台の問題はベクトルそのものが動きます。
ベクトルの成分が三角関数ですから、単位円上を動いてしまいます。
つまり、単位円を描くベクトルに、単位円を描くベクトルを足し合わせるという問題なのです。
 
こういうタイプの問題、教科書や基本問題集には登場しないんですよね。だから、教科書や問題集を一生懸命に勉強しても、延長線上にない問題だと思います。
 
考え方も、「予選決勝法」という考え方を使うんですが、これは普通関数の時に出てくるんですよね。
 
という事で、ベクトルの発想を得たり、予選決勝法の発想を得るのは、厳しいと言えるでしょう。僕は、こういう問題はあまり好きではありませんね。
 
2017年の東大入試では、ちゃんと教科書の内容に準拠した問題が出ていましたから、解けましたから、この問題には、うーん、、、という感じです。
 

円の上で円を描いてみた。

解答を進めてみましょう。


ベクトルxも、ベクトルyも、文字を変えただけで、同じ条件です。

調べてみると、xの範囲やyの範囲が、0からπまでです。

と言う事は、単位円の上半分という事ですね。

 

だから、単位円の上半分の色々な点から、単位円のの上半分を書きまくるのが、求める領域です。

駿台の模範解答では分かり辛かったと思うので、僕は実際にやってみました!

手書きの解答をご覧ください。

 

 

赤い点線の上に、コンパスの針を刺して、上半分の円を描きまくってみました。(結構、大変だった)。

すると、見事、大きな半円から、小さい半円を二つくり抜いた形になりましたね。

これが、求める領域です。

 

まとめ

ま、この問題は、一手目の着想も難しいですし、点数が取れなくても気にしなくて良いでしょう。

第一問と第二問で確実に点数を取って、第三問と第四問は部分点が少しとれたらOKというような作戦で良いと思います。

 

しかし、学ぶことは多いですね。

始めの2本の方程式からベクトルの発想に行きつくところや、ベクトルの和で存在領域を求めることなど、初めて学ぶことも多いと思いますから、しっかり復習して下さい。

 

 

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今日は、駿台の東大実践、文系第2問です。

 

 

ここいらで、趣旨説明

東大模試解説も、回数を重ねてきましたが、言い忘れていたので、一言。

(というか、僕の数学の問題解説は、ずっと同じスタンスなのですが)

 

このブログで僕が書いている数学の解説は、美しい解答や最短の解答は紹介していません。

受験生が教科書の内容を一つ一つ丁寧に抑えて行った時に、最も自然な発想で解く解答

を意識して書いています。
 つまり、スマートな解法よりも、努力の先に辿り着く解法を優先しているということです。

同じ受験数学の先生からしてみると、「そんな解法、面倒くさくてダメ」と言われてしまうような解法であったとしても、むしろ積極的に取り上げています。
皆さんご存知だと思いますが、数学には別解があります。最短ルートじゃない解法が、頻繁に存在します。
そして、ほとんどの授業や問題集は、最短で解ける解法ばかり紹介しているようです。
 
しかし、最短かどうかは、解いてみた結果分かるモノであって、試験会場に言ったら最短の解法が見つかるかどうかは、分かりません。

 

なので、僕のブログでは、教科書の解法になるべく準拠して、「愚直」に解くとしたら、こうなるというのを、意識しています。

 

愚直に図を描く

では、解説に入っていきましょう。

この問題、問題がシンプルかと思いきや、なんだかわかり辛い設定ですよね。

「鋭角三角形になる3点を含む4点」を選ぶ確率って、こんな問題を解いた事がある受験生は、いないのではないでしょうか?

 

正直言って、良くわからない。

だから、僕がこの問題を試験会場で見たなら、愚直に図を描き始めるでしょうね。

 

ということで、いつもは最後に貼り付けるのですが、今日は始めに手書きの解答をご覧ください。

(1)では、正6角形のうち4点を取って出来る図形が、3パターン

(2)では、正8角形のうち4点を取って出来る図形が、8パターン

全て載っています。

 

 

 

はっきり言って、これを全部書いて見つけていくのは、かなり面倒なんですが、書かないと分からないので、全て調べました。

駿台の解法は、これを日本語の文章で上手く説明し、短文で終わるようにまとめていますが、いきなりあの文章は書けないでしょう。

やはり、愚直に調べて、一つ一つ検討するのが良いと思います。

 

逆に、上のように、全てのパターンを網羅して書いてみたら、わかり易いと思うんですよね。

いかがでしょう?

 

確かに鋭角三角形になるパターンは少ない

手書きの解答では、全てのパターンを示した上で、鋭角三角形を青色で書き込んでおきました。

するとよく分かると思いますが、(1)では3パターンのうち1つ、(2)では8パターンのうち3つが、鋭角三角形を含みます。

意外と、厳しい条件なんですね。

 

これら一つ一つに対して、回転して同じになるパターンが存在するか確認して、場合の数を数えます。

正6角形なら最大6パターン、正8角形なら最大8パターンずつ存在しますね。

 

講評

ここまでくれば、計算して終わりです。
全事象が、正六角形なら6C4取り、正8角形なら8C4通りです。
計算してみると、正六角形なら40%で、正8角形なら45%くらいになります。

第一問の6の2017乗もそうでしたが、問題の設定がシンプルで、解法もシンプル。
だけど、一ひねり入っていて、教科書や問題集の基本問題のようにはいかない、というのが面白いし、勉強になる問題ですね。
 
この確率の問題も、パターンの探し方は、非常に良い訓練になると思います。
僕は今回、全てのパターンを図形で書いてみようと思い立ってやってみましたが、他にも自然な発想で解ける解法はあるはずです。
 
解けるかどうか、だけではなく、どうやったら自然な発想で解けるか
を意識して、日々勉強をしてみて下さい。
 
 

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