秋の河合オープン文系第3問

駿台の東大模試も終わりましたね。

皆さん出来はいかがでしたでしょうか?

残っている、河合文系第3問の解説を書いていきましょう。

 

 

解く前に情報を読み取れるだけ読み取ろう!

まず問題文を一読して、1文字も解かずに読み取れるものを読み取りしょう。

 

サイコロを何回も振るということは、反復試行の問題ですね。

また、「初めて、〇〇する確率」ということで、いわゆる優勝決定法の問題です。

反復試行では極めて定番。

例えば、こんなのが例題です。

 

 

さらに、(1)から(3)まで、似ている問題が続きます。

(1)は3の倍数、(2)は6の倍数、(3)は12の倍数ということで、徐々に条件が複雑になっているのも、お分かりかと思います。

 

ということは、明らかな誘導問題。

ま、いつも書いてますが、数学は全ての問題が誘導問題だと思って解いて良いですから、珍しくもなんともないんですけどね。

と何度書いても、誘導だと後で気付いてしまう人が出るので、何度も書いているわけなんですが。

 

さらに、もう一つ突っ込むと、この問題は積が3の倍数(や6の倍数、12の倍数)になるかどうかが問題になっています。

「積が3の倍数になる」というのは、「少なくとも3の倍数が出るかどうか」を調べる問題ということ。

「少なくとも」は、狭く言うと余事象を使うという目印で、広く言うとベン図を使う目印です。

 

と、そんな事を考えながら、もう少し丁寧に問題の設定を読み取っていきましょう。

 

(1)は、教科書例題レベル

(1)から見ていきましょう。

問題の設定としてはサイコロを何度も振って、n回目に初めて3の倍数になる確率です。

ということは、n-1回目までは、一度も3の倍数が出ず、n回目に3か6が出ると言うこと。

これは、カンタン!

教科書の例題レベルですね。優勝決定法の典型問題です。

これは、取らないとダメなレベルでしょう。

 

優勝決定法はベン図の問題!

では(2)。

今度は、n回目に初めて6の倍数になる確率と言うことなんですが、これは一気に複雑になりました。

というのは、3の倍数に比べて、場合分けが増えるからです。

 

ポイントは、素数なのか合成数なのかです。

一応説明しておくと、素数というのは1とそれ自身以外に約数を持たない数で、合成数とは素数以外の数です。

 

3は素数ですから、ベン図を描いた時に(3の倍数)と(3の倍数でない)という領域しか出ません。

しかし、6は6=2×3ですから合成数。

つまり、(6の倍数)=(2の倍数)かつ(3の倍数)となります。

 

さらに、優勝決定法は、実はベン図の問題と相性が良いです。

n-1回目までと、n回目が否定の関係になります。

 

今回の問題で言えば、n-1回目までは(6の倍数でない)状態が続きますが、n回目で(6の倍数)になります。

ということは、n-1回目までは

(6の倍数)=(2の倍数)かつ(3の倍数)

を否定して、(ド・モルガンの定理)

(6の倍数でない)=(2の倍数でない)または(3の倍数でない)

として、考えなければなりません。

 

 

場合の数・確率の問題では、排反(重複がない)に場合分けをしなければなりませんから、

 

場合①:2の倍数だが、3の倍数でない

場合②:3の倍数だが、2の倍数ではない

場合③:2の倍数でも3の倍数でもない

 

の3通りに場合分けをするということです。

 

反復試行の最大・最小問題

次に、少し脱線して、反復試行の最大・最小問題に少し触れます。

 

反復試行と言えば、(コンビネーション)×(確率のn乗)×(確率のn乗)の形を想像すると思いますが、最大・最小問題と絡むと、途端に解法が変わります。

 

教科書的には発展内容の扱いになっていて、模試や入試では難問扱いになることもあるのですが、恐らく皆さん解いた事があるはず。

 

こういうタイプの問題です。

 

確率の問題には、くじ引き型とサイコロ型というのがあります。

サイコロ型というのは反復試行や独立試行と呼ばれるもの。

くじ引き型は、試行を行うたびに分母が小さくなってしまうタイプのものです。

比較するために、くじ引き型の画像も貼っておきます。

 

(順番としては、くじ引き型から見てもらうとわかり易いかもしれません)

 

というように、くじ引き型とサイコロ型では、最大最小問題の解き方が全く違います。

 

そして、今回の問題では、要所要所に、サイコロ型の最大最小問題の解法が登場しますので、参考にして下さい。

 

(3)の場合分けの考え方

 

では、(3)ですが、求めるのは条件付き確率。

条件付き確率を求める場合は、集合の名前の定義と、確率の定義式を必ず書きましょう。

 

 

 

すると、求める確率は、分母が(n回目で初めて6の倍数になる確率)、分子が(n回目で初めて6の倍数になり、かる、n回目で初めて12の倍数になる確率)となります。

※河合塾の回答では、この辺りが厳密に書いていなかったように思います。

 

分母は(2)と全く同じなので、そのまま使いまわすとして(笑)

分子はどうかというと、初めて6の倍数になって、しかも12の倍数にもなるということですよね。

ということは、先ほど使った3つ場合分けをもっと細かくすれば良いのです。

 

先ほどは

場合①:2の倍数だが、3の倍数でない

場合②:3の倍数だが、2の倍数ではない

場合③:2の倍数でも3の倍数でもない

 

と分けましたが、

場合①:2の倍数だが、3の倍数でない

をもっと細かく分けて、

場合①A:2の素因数が1つだけあり、3の倍数ではない。(2の倍数だけど、4の倍数ではなく、3の倍数ではない)

場合①B:2の素因数が2以上あり、3の倍数ではない。(4の倍数で、3の倍数ではない

とし、

 

場合②:3の倍数だが、2の倍数ではない

は、そのまま使えます。よって、

場合②:3の倍数だが、2の倍数ではない

と、文字は同じで、色だけ緑に変えておきましょう。

 

場合③:2の倍数でも3の倍数でもない

に関しては、最後のn回目でどんなサイコロの目が出ても、絶対に12の倍数にならないので、無視することになります。

 

ということで、上に示した緑色の3つの場合について、それぞれ検討すればOK。

あとは、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

 

それにしても、計算が面倒ですねぇ。

こんな複雑な計算、当てられる人なんか、ほとんどいないでしょうに。

場合分けも面倒ですし、難しい問題に分類されるでしょう。

 

(1)は絶対解けなきゃだめだけど、(2)から部分点の問題に変わります。

半分取れたら、中々な問題になるのでは?と予想しますが、いかが?

 

 

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2017秋の河合オープン第2問

今日は、先週末の河合オープン第2問に行きましょう。

問題はこちら。

 

差が付く問題でしょう。

まず、初手から分岐しますね。

 

円に連動する軌跡の問題は、解法を2パターン押さえよう

 

なんだかゴチャゴチャ言ってますが、分類としては、シンプルな軌跡の問題。

もう少し詳しく分けると、動点Pに対して、点Qが動く問題ですね。

 

思い出したいのは、この基本問題。

(数Ⅱの軌跡の問題)

 

この問題を、とても複雑にしたタイプですね。

但し、この問題には別解もあります。というか、その別解の方が良いかもしれません。

それが、三角関数を使う解法

 

教科書の目次では、軌跡の後に三角関数が登場するので、三角関数を用いた解法は載っていませんが、

受験数学では非常に有名な解法です。

便利だし、使いやすいし、計算量も減るしと、メリットも多い解法なので、是非覚えて下さい。

 

このように解きます。

 

媒介変数(パラメータ)が一つで済みますし、次数も1次のままで済む。

座標平面上に円が登場したら、すぐに反応出来るようにしたいところです。

 

さてそれを利用して、Pの座標を(cosθ、sinθ)と置きましょう。

すると、直線BPを求めて、点Qを求めて・・・

と、しばらく止まらず筆が進みます。

 

外心の求め方は、垂直二等分線
次に問題になるのは、外接円の中心の求め方。

頻出というほどではないにしろ、まあまあ問われるテーマの問題です。

 

解法は主に2つ。

教科書的にも、両方扱われます。

 

まずは、中1の作図からの発展。

「外接円の中心=垂直二等分線の交点」という事実を利用した解法です。

 

垂直二等分線は、これまた数Ⅱの図形と方程式に登場します。

テーマとしては、「線対称」として登場するかもしれませんね。

 

実は、線対称と垂直二等分線は、全く同じ図形の主役が違うだけです。

線対称の軸は、垂直二等分線そのものですからね。

だから、線対称と垂直二等分線は、頭の中で同じ引き出しに入れておくべきものです。

 

座標平面上での解法は、

①2点の中点が、②直交するという条件を立てます。超基本事項なので、必ず押さえましょう。

 

もう一つは、2点からの距離が等しい軌跡

垂直二等分線の求め方は、もう一つあります。

それは、「垂直二等分線が、2点からの距離が等しい点の集合」だという事実を利用するものです。

今回で言うと、点Rが、点Aと点Pの垂直二等分線上にありますから、AR=PRという条件や、同じようにAR=QRなどと立てられます。

 

ちなみに、AR=PR=QRという条件は、それぞれ半径になっているため、当たり前ですね。

ARやPRやQRが半径だからという理由で立式しても、問題ありません。

 

最後の関門は、軌跡の場所の限定

点Rの座標を求める計算が多少面倒なのですが、出来ない範囲ではありません。

それは頑張るとして、最後の関門は奇跡の場所の限定です。

 

東大レベルの入試で、軌跡の問題が出るとしたら、まず間違いなく、求めた図形の式全体が答えになることはないでしょう。

媒介変数の不等式が登場し、一部が削除されます。

 

基本問題で言うと、こういうタイプ。

夏の東大オープンでも、軌跡の問題が出ていて、同じことを書きました。

【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン文系第一問(解の配置、軌跡、面積)

 

では、それを踏まえて、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

 

 

初手の発想も工夫が必要で、計算量もやや多い。

ということで、受験生の点数は低そうですね。

 

ちなみに、点Qの座標をtとおいて解く方法が、河合塾の別解に載っていました。

これに関して、少し補足をしようと思います。

 

実は、この置換、三角関数に関係があります。

次の画像をご覧ください。

 

左側が、一般的な置換の方法。

t=tanθ/2と置いて、cosやsin、tanを表します。

これを、くるっと移動させて利用したのが、今回の問題です。(右半分)

ご興味ある方は、ご覧くださいませ。

 

 

ずっとこのブログで書き続けていますが、問題文から読み取れる基本情報を整理することや、教科書レベルの基本問題を頭の中で検索することが非常に大切です。

今からでも遅くありませんから、発想に頼らない数学の解法を学んでください。

 

 

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お待たせしました!!

夏に大好評だった、東大模試解説シリーズです。

夏に比べて、かなり忙しくなってしまい、中々ブログの更新が出来なくなってしまったのですが、期待して下さっている方がたくさんいらっしゃるので、なるべく時間をとって書いていこうと思います。

毎日更新出来るか分かりませんが、どうぞご了承下さい。

 

先週末の河合の東大模試、文系第一問

それでは、一昨日終わったばかりの、河合塾の東大模試、文系第一問です。

問題の原本が手に入らなかったので手書きですが、一語一句同じに写してあります。

 

 

変わった問題ですね。

10進法ではなくて、2進法の問題。

さらに、1が2回だけ登場するという縛り。試験会場の誰もが見た事ない問題でしょう。

もちろん僕も初見です。

 

但し、問題の誘導のされ方は丁寧。

(1)は10番目の数列を求めよってことですから、1から順に試すがセオリー。

具体的な数字で試すのは、法則を見つけるのに鉄板の方法です。

 

(2)がa2018の桁数で、(3)がa2018までの3の倍数を数える問題。

直接関係なさそうでも、どこかで使うんだろうなというのを頭に入れながら解きましょう。

 

「あ~、この問題って誘導だったんだ~」と気付いてはいけません。

数学の問題は全て誘導ですからね。

どういう誘導か気付くためにも、(1)を解き始める前に(2)や(3)まで目を通すようにクセを付けましょう。

 

(1)規則性を探す

では(1)を解きます。

上に書いた通り、具体的な数字で試すのは、規則性を探るためです。

「解けた!やった~」と言っているようでは不十分。

試験当日では解ける事が大切ですが、自宅で訓練中の時には解けるかどうかよりも規則が探せるかどうかの方が大切です。

 

今回は、始めから10個を試せという問題ですが、10個試せば規則が見つけられるでしょう、というメッセージと捉えて良いでしょう。

実際やってみると、キレイな規則が見つかります。

 

↓先ほどと同じ画像。

 

(2)で桁数に注目しろと言われているので、桁数で区切って見ます。

すると、2桁は1つ、3桁は2つ、4桁は3つ、5桁は4つずつ数列が並ぶのが分かりますね。

また、2進法の1が、右か左にズレていきながら大きくなるのも見て取れます。

この規則が見つかれば、(2)までは解けそうな目途が立ちます。

 

どんな群数列でも必ず解ける方法

河合の解答解説ではメインの扱いではありませんでしたが、恐らく郡数列だと見て解くのが分かりやすいのではないでしょうか?

先ほど見たように、桁数によって数列の数が増えていきますからね。

 

数学では特に、自分が得意なフィールドに持ち込むのがコツです。

文章題のままでは解けませんが、数式にした瞬間に手が進む。

無理数のままでは話しが進みませんが、背理法で有理数にした瞬間に筆が進む。

などなど、自分が解ける方法に持ち込めば解けるようになります。

 

ということで、まずは郡数列の解法を復習しましょう。

郡数列は、ほとんど全員が嫌い。

計算が面倒だし、ややこしいし、あまり面白くない。嫌われてますねー。

私もあまり好きではないのですが、解くのは非常に得意。実は、全く同じ解法で、どんな郡数列でも対応できるってご存知でしょうか?

 

私は郡数列をこう教えています。

 

第n群の様子を調べるのは普通。

その中でも、5つ調べるのがオススメ。

 

①第n群の項数

②第n群の初項の値

③第n群の末項の値

④第n群の初項の順番

⑤第n群の末項の順番

今回のブログの記事は、全て①~⑤の分類と、色分けも統一して手書きの解答を作っているのでご参考に。

 

図を見れば解き方が分かるかもしれませんが、簡単に書いておきます。

まずは①第n群の項数を調べて下さい。

僕の経験上、第n群の項数を調べるのが難しい問題は、かなり希です。ほとんど見た事がありません。

 

次に、①の和を取って下さい。(1からnまで)

すると、第n群の末項が、左から数えて何番目かが分かります。つまり⑤第n群の末項の順番です。

これは、必ず成り立ちます。

これで「え~っと、末項に注目すると、階差数列になってるから・・・」などと、余計なことを考える必要もない。

機械的に郡数列がテキパキ解けるようになりますね。

 

さらに、次は④第n群の初項の順番を調べましょう。

これは、第n-1群の末項の次と考えましょう。つまり、⑤のnをn-1に変えて、最後に+1をすれば良いですね。

 

ちなみに②と③は問題の設定によってどうにでも変わってしまうので、その場に応じてアドリブをするしかありません。

が、④と⑤を調べることでほとんど決着がつく問題が多いので、やはり困る事はかなり少なくできます。

 

(2)を群数列で解こう

ここまで調べたら、もう(2)も解けたも同然。

④<2018<⑤を満たすnを調べれば良いのですが、厳密に不等式を解かなくてもOK。

およその数でnを調べて下さい。

では、手書きの解答です。

 

 

(3)合同式を使って、設定をシンプルにしよう

では最後。(3)です。

まず注目するのは、問題文に登場する「3の倍数」という日本語。

 

3の倍数と言われたら、考える事は3つです。

・n=3k、3k+1、3k+2と場合分けをする。(剰余類)

・合同式

・二項定理

 

この中で、最も使いやすいのは合同式。

これも苦手にする人が多いのですが、使いこなせると非常に便利。

そういえば、夏の駿台の東大模試でも登場しましたね。

リンクを貼っておくので、良かったらご覧ください。

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第1問

 

2は3で割った余りが-1。

ということは、-1のn乗が登場するので、偶奇に分ける問題だと分かります。

ただ、今回簡単なのは64群まで調べればよいのが楽ですね。

具体的に書き出しても、あまり大変ではありません。

 

また、a2018があるのは第64群。

ということは、第63群までは規則的に調べて、第64群だけは一つずつ調べます。

 

あとは、下の手書きの解答をご覧ください。理解出来ると思います。

 

 

細かいところを調べると時間がかかりますが、これは点数を取りに行っても良い難易度でしょう。

少なくとも(2)までは取りたい所ですね。

 

全く知らない問題が出てきても、セオリーに従って解くことが大切です。

・最初に問題文を最後まで読むこと

・(2)で使う事を念頭において、(1)の規則を探す。

・3の倍数ならば、剰余類、合同式、二項定理と武器を整理しておく。

などなど。

 

分からないなりに、出来る事はたくさんあります。

 

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