このブログでは、多面体など幾何に関する連載を数多く掲載しています。
これまでの多面体シリーズの連載について一覧にしてみました。
先にURLを示し、次に簡単な内容紹介を載せています。
１．URLの一覧
ア 連載もの
URLの後ろの（ ）内は連載回数です。
(1) 正多面体のご紹介1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786136.html （2回）
(2) 半正多面体のご紹介1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786164.html （2回）
(3) ジョンソン立体の解説1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786185.html （3回）
(4) 整凸多面体などについてもろもろ1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786365.html （3回）
(5) 正多面体と基本単体1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786453.html （3回）
(6) 正多面体と群1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786546.html （4回）
(7) 菱形多面体のご紹介1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471789310.html （2回）
(8) 平行多面体のご紹介1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471789373.html （3回）
(9) ニアミス立体のご紹介1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471789591.html （4回）
(10) カタラン立体のご紹介1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12597050075.html (2回)
(11) 多面体のコンウェイ記号と行列表示1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12599917604.html (2回)
(12) 最密充填構造について1：
最密充填構造について1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) (4回)
(13) 多様体入門の入門1：
多様体入門の入門1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) (5回)
(14) 3次元ブロック積みとその配置行列など1
3次元ブロック積みとその配置行列など1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) (3回)
(15) ねじれ正無限面体：
ねじれ正無限面体1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) (2回)
(16) 半正タイル貼りのご紹介：
半正タイル貼りのご紹介1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) (2回)
(17) 準正多面体の連続量：
準正多面体の連続量1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) (2回)
イ 単発もの・番外編
(A) サッカーボールとフラーレン： https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471780589.html
(B) フラーレンの5角形の面は必ず12枚：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471780605.html
(C) オイラーの多面体定理の証明：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786272.html
（D） オイラーの多面体定理の証明2：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786568.html
(E) デルタ18面体の不存在証明：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786640.html
(F) デカルトの不足角定理の証明：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471789910.html
(G) ジョンソン立体の新和名の提案：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471790316.html
(H) 反台塔：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12593334102.html
( I ) 凧形と4角形の復習など：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12596574228.html
(J) 凸多面体の存在条件：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12642049097.html
(K) ガスハイドレートの多面体構造 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
(L) 正多面体と正タイル貼りの配置行列 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
(M) 4次元正多胞体と正ブロック積みの配置行列 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
(N) 5角6角Th対称74面体 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
ウ 番外編
(α) 4次元多胞体とタイリング：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471780521.html
(β) 3次元球面の作り方と性質：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471780537.html
(γ) 4次元多胞体について1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471780575.html
(δ) 高次元の不思議 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
エ Coxeter『幾何学入門』シリーズ
これは私のオリジナル記事ではなく書評なのですが、幾何学関係の連載なのでここに含めます。
書評本体 Coxeter『幾何学入門 上・下』 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第1回 平面ユークリッド幾何学の等長変換 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第2回 無限「1次元」対称変換群 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第3回 空間ユークリッド幾何学の等長変換 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第4回 平面ユークリッド幾何学の相似変換 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第5回 空間ユークリッド幾何学の相似変換 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第6回 反転幾何学 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第7回 複素数と共形変換 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第8回 射影平面 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第9回 複数の幾何学 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第10回 双曲幾何学 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第11回 地図とオイラー数 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
第12回 4色問題とヒーウッドの定理 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
２．簡単な内容紹介
面や頂点の数を数えて比べるだけのものもあれば、ちゃんとした難しい(^^;数学をしているものもあって、レベルはさまざまです。
ア 連載もの
(1) 正多面体のご紹介 （全2回）
無数にある多面体のうち、最も規則性の高いものが正多面体です。
正多面体とは、すべての面が１種類の正多角形からなり頂点周りが合同な凸多面体のことで、全部で5種類あります。
正ｎ角形の面が1つの頂点にｍ枚ずつ集まってできる正多面体は、シュレーフリ記号により｛n，m｝ と表されます。
(2) 半正多面体のご紹介 （全2回）
正多面体に次いで規則性が高い多面体が、半正多面体です。
半正多面体は正多面体から5種類の操作によりつくられ、立体としての対称性は元の正多面体と同じです。
半正多面体は複数種類の正多角形の面からなり、かつ頂点周りが合同で、全部で13種類あります。
うち2種類はキラル、つまり鏡像が右手と左手のように重ならないため、それらを区別して勘定すると全部で15種類となります。
半正多面体は頂点周りがすべて合同なので、頂点を構成する面が何角形かという数字を並べたもので記号表示します。
たとえば、切頂4面体の頂点は、正3角形、正6角形、正6角形からなるので〔366〕です。
半正多面体のうち2種類（〔3434〕，〔3535〕）は特に対称性が高いため、準正多面体と呼ばれ、別扱いする場合があります。
なお、半正多面体の前に、正角柱と反正角柱についても簡単に触れています。
(3) ジョンソン立体の解説 （全3回）
ジョンソン立体とは、整凸多面体（正多角形の面だけからなる凸多面体）のうち、正多面体（5種類）、半正多面体（13種類）、正角柱（無限系列）、反正角柱（無限系列）以外のものをいいます。
ジョンソン立体は全部で92種類あり、Jと数字(1～92)の組合せで指定します。
うち、J44～J48はキラルなので、鏡像を区別すると、ジョンソン立体は全部で97種類になります。
この多面体シリーズは、もともとはジョンソン立体を知って、こんなに面白い多面体があるのかと思い、基本となる正多面体から順に解説していくことにしたものです。
米ウィスコンシン大学地球科学のスティーブン・ダッチ教授のサイトを引用しているのですが、そのサイトが削除されてしまったため書き直す必要があるものの、手が付いていません。
（訳は付けてあるので、理解には差し支えないと思います。）
(4) 整凸多面体などについてもろもろ （全3回）
これまでの連載で整凸多面体は一通り取り上げたので、それらに共通する性質、定理などを整理しました。
なお、最も重要なオイラーの多面体定理とデカルトの不足角定理、またデルタ18面体の不存在などについては、証明は別途掲載しています。
また、星形正多面体、一様多面体など整凸多面体以外の各種多面体（もどき）についても、簡単にご紹介しています。
(5) 正多面体と基本単体 （全3回）
正多面体のもつ諸量のうち、体積、表面積などの連続量については、(1)～(4)の連載では触れていません。
ここでは、多面体を、多数の同じ形をした4面体の部品「基本単体」に分割して、多面体のさまざまな連続量を統一的に求めます。（本格的な数学、というか実数計算です。）
最後に、得られた数値により、5つの正多面体の大小比較と丸いかとがって（角ばって）いるかの比較を行います。
半正多面体などについても同様の計算を行いたいのですが、私の実力では難しくて、ようやく準正多面体の計算を (17) に載せました。順次取り上げていければ、と思っています。
(6) 正多面体と群 （全4回）
図形の対称性は、群によって表すことができます。
まず、各多面体について、その対称性を表す群を紹介します。
その後、3次回転群（無限群）の有限部分群が、巡回群（無限系列）、2面体群（無限系列）、4面体群、8面体群、20面体群の5種類であることを証明します。
さらにそれを利用して、3次直交群（無限群）の有限部分群14種類の分類を行います。
後半は、連載全体の中でも一番数学的で難しい箇所です。
(7) 菱形多面体のご紹介 （全2回）
菱形多面体とは、菱形の面から構成される多面体です。
準正多面体の双対は、２種類とも菱形多面体です。
取り上げている菱形多面体は6種類で、一般的な菱形6面体が2種類、それ以外に黄金菱形からなるものが3種類（12面体、20面体、30面体）、白銀菱形からなるものが1種類（12面体）です。
うち、菱形12面体は２種類あるので、準正多面体の双対（白銀菱形からなる）でない方（黄金菱形からなる）は後ろに「（第２種）」と付けることになっています。
(8) 平行多面体のご紹介 （全3回）
正多面体の美しさは回転や鏡映に関する対称性（点群）に基づくものですが、それとは全く別の対称性をもつ多面体として、平行多面体というものがあります。
平行多面体とは、平行移動により空間を埋め尽くす（空間充填）ことができる多面体です。
平行多面体には5つの系列があります。
各系列の最も対称性の高いもののうち初登場なのは、正6角形でない6角形の面を含む「長菱形12面体」です。
平行多面体の前に、より広い概念である空間充填多面体やゾーン多面体にも触れています。
また、それらの2次元版にも触れています。
(9) ニアミス立体のご紹介 （全4回）
ニアミス立体とは、ほとんど正多角形の面から構成される多面体のことです。
いわばジョンソン立体になり損ねた立体です。
英文wikiをはじめネット上のさまざまなサイトに載っている立体を、私が集めて番号を振り一つずつ解説を付けました。
「ほとんど正多角形」なので、厳密な定義は存在しないため、今後もいくらでも増える可能性があります。
(10) カタラン立体のご紹介 （全2回）
カタラン立体とは、半正多面体の双対のことです。
ある多面体の双対とは、頂点を面に、面を頂点に置き換えてできる多面体のことです。
半正多面体が１３種類あるので、カタラン立体も１３種類、キラルの鏡像を区別するといずれも１５種類となります。
カタラン立体のうち、準正多面体の双対である菱形多面体2種類については、すでに(7)で取り上げました。
カタラン立体の面は正多角形ではなく、2等辺3角形、凧形（4角形）、楯形（5角形）など見慣れない形が多いです。 なお、凧形については、イ I で解説しています。
(11) 多面体のコンウェイ記号と行列表示 （全2回）
元となる多面体からさまざまな操作でできる多面体を記述する記号が「コンウェイ記号」です。
たとえば、立方8面体の双対である菱形12面体は、daCという記号で表されます。
Cは立方体、aは中点切りという操作、dは双対をとるという操作を表します。
さらに、多面体を頂点、稜、面の数からなるベクトルとみなすと、コンウェイ記号の操作はベクトルに作用する3行3列の行列とみなすことができます。
(12) 最密充填構造について （全4回）
結晶構造のなかで最も重要で興味深いのが、面心立方格子構造と六方最密充填構造という2つの最密充填構造です。
それらに単純立方格子構造と体心立方格子構造を加えた4種類の結晶構造について、隣接点距離、充填率、ボロノイ図形などを比較するとともに、格子点とボロノイ点の座標を示します。
また、ケプラー予想と菱形台形12面体の紹介を行います。
(13) 多様体入門の入門 (全5回)
幾何学の対象である「図形」という概念を一般化したものが「多様体」です。
多面体よりもずっと抽象度の高いトポロジーの概念で、多面体シリーズからははみ出しています。
まず多様体の定義を示し、その後で小さな次元における例、特に3次元球面 S3、3次元トーラス T3＝S1×S1×S1、S1×S2 という3種類の3次元多様体について解説します。
なお、このブログで扱っている凸多面体は、すべて2次元球面 S2 と同相です。
(14) 3次元ブロック積みとその配置行列など (全3回)
イ L，Mの続編です。
単独あるいは2種類の正多面体、半正多面体、菱形多面体から構成されるブロック積みは全部で8種類あります。（2種類以下に限定しないと、もっと増えます。）
それらについて、まずその胞の配置行列の検討をしてから、ブロック積みの4×4配置行列を見ていきます。
(15) ねじれ正無限面体 (全2回)
正多面体や正タイル貼りと類似した性質をもちながら、無数の頂点、稜、面をもち空間全体に広がる図形がねじれ正無限面体で、3種類あります。
いずれも、このブログで扱う3次元までの図形のなかでは、最も分かりづらいものです。
ねじれ正無限面体は、ブロック積みから特定の面を抜き取ることにより作られます。
3×3配置行列を使って、ねじれ正無限面体の解説を行います。
(16) 半正タイル貼りのご紹介 (全2回)
ア(2)で少しだけ触れた半正タイル貼りについて、あらためて取り上げます。
半正タイル貼りが8種類存在することを示し、その後で1つずつ丁寧に解説しています。
頂点構成記号では次の通り。ただし、命名は自己流(^^;
[3636] 準正タイル貼り、3・6角形タイル貼り、カゴメ文様
[488] 切頂正方形タイル貼り、 [3,12,12] 切頂6角形タイル貼り
[4,6,12] 切頂3・6角形タイル貼り、 [3464] 斜方3・6角形タイル貼り
[33336] 変形6角形タイル貼り、 [33434] 3角形対・正方形タイル貼り
[33344] 3角形列・正方形列タイル貼り
(17) 準正多面体の連続量 (全2回)
正多面体の連続量、すなわち体積、表面積、二面角などについては、(5)で求めました。
準正多面体2種類についても、同様に連続量を求めます。
ほとんど、二重の√や逆三角関数の計算に関するメモのようになっています。
長年の宿題を少しずつこなしていく、といったところですか。
イ 単発もの
(A) サッカーボールとフラーレン
サッカーボールの表面の模様でよく見かけるのは、正5角形12枚と正6角形20枚からなるものです。
これは、数学的には切頂20面体〔566〕と呼ばれます。
また、化学で出てくる炭素の単体フラーレンについても解説しています。
フラーレンC60は、切頂20面体です。
(B)～(F)は、(4)「整凸多面体などについてもろもろ」で省略した証明を、別途証明しています。
(B) フラーレンの5角形の面は必ず12枚
表題の命題を証明しています。（A）の続編です。
(C) オイラーの多面体定理の証明
(D） オイラーの多面体定理の証明2
数学の定理の中でも美しさで有名なオイラーの多面体定理「頂点の数－稜の数＋面の数＝2」の証明を、複数載せています。
(E) デルタ18面体の不存在証明
正3角形の面だけからなる多面体をデルタ多面体と呼び、デルタ4面体(正4面体)からデルタ20面体(正20面体)までありますが、デルタ18面体だけは存在しません。
その証明です。
(F) デカルトの不足角定理の証明
多面体のある頂点を囲む内角の和を2π＝360°から引いたものを、不足角といいます。
「凸多面体の不足角の和は、4π＝720°である。」というデカルトの不足角定理を証明しています。
(G) ジョンソン立体の新和名の提案
ジョンソン立体の第3グループJ84～J92について、現行の名称がしっくり来ないので、以前から考えてきた新たな名称を提案しています。
ブログに載せただけなので、まあ、世の中で受け入れられることはないでしょうが(^_^
(H) 反台塔
ジョンソン立体に正台塔J3～J5というのがあります。
それらの側面の正方形をすべて3角形2枚に置き換えたものが、反台塔です。
ただし、整凸多面体ではありません。
( I ) 凧形と4角形の復習など
カタラン立体の一部は、凧形（たこがた）という特別な4角形の面から構成されています。
この凧は西洋のカイト(kite)です。
凧形の性質と、他の4角形との関係を解説しています。
凧形だけからなる凧形双角錐という立体（反角柱の双対）も紹介しています。
(J) 凸多面体の存在条件
凸多面体の存在のための十分条件について証明します。
適当な角錐に対して切頂あるいは方化という操作を繰り返し行うことにより、条件をみたすどんな頂点数と面の数をもつ凸多面体でも、構成することができます。
(K) ガスハイドレートの多面体構造
ガスハイドレートを構成するカゴ状構造5種類がどのような多面体であるかについて、解説します。
5種類はいずれも5角形を含み、うち1つは正12面体ですが、他の4種類(12面体、14面体、16面体、20面体)は初出で、興味深いです。
(L) 正多面体と正タイル貼りの配置行列
正多面体の頂点、稜、面という要素に関する数値を3×3行列の形で整理したものが配置行列です。
5種類の正多面体と正ブロック積みの配置行列を紹介しています。
(M) 4次元正多胞体と正ブロック積みの配置行列
Lの続編です。
4次元正多胞体6種類と正ブロック積み1種類について、その配置行列を紹介します。
4次元では、要素は頂点、稜、面に加えて胞が増えるため、配置行列は4×4行列となります。
(N) 5角6角Th対称74面体
Th という珍しい対称性をもつニアミス立体を取り上げて、その要素（頂点、稜、面）の数を数え挙げるとともに、対称性の解説を行います。
ウ 番外編
いずれも、4次元図形を取り上げています。
(α) 4次元多胞体とタイリング
2次元の多角形、3次元の多面体に相当する4次元以上の図形が多胞体です。
3次元球面の正12面体による充填形である「正120胞体」の解説をしています。
いきなり読んでも分かりづらいので、(β)と(γ)を先に読む方がいいと思います。
（この手の記事を書き始めた最初なので、うまい説明ができていません。）
(β) 3次元球面の作り方と性質
1次元球面とは円周、2次元球面は普通の球面ですが、3次元球面は4次元図形です。
3次元球面の作り方と性質について、イメージの湧くような説明をしています。
(γ) 4次元多胞体について （全2回）
2次元の正多角形が無数にあり、3次元の正多面体が5種類あるのに対して、4次元の正多胞体は6種類あります。
6種類を概観するとともに、比較的簡単な最初の4種類についてイメージの湧くような説明をしています。
5次元以上の正多胞体についても、最後にごく簡単に触れています。
(δ) 高次元の不思議
4次元以上の高次元では、2次元や3次元では想像もつかないこともあり得ます。
その一例を挙げてみました。
エ Coxeter『幾何学入門』シリーズ
書評本体 現代のユークリッドと絶賛されたCoxeterの名著『幾何学入門 上・下』（文庫本）の紹介です。
内容の個別的部分は以下に切り分けています。
第1回 平面ユークリッド幾何学の等長変換
等長変換は、合同変換と言っても同じです。
第2回 無限「1次元」対称変換群
全部で7種類あります。別の本で見た帯群という名称の方がカッコいいですね。
第3回 空間ユークリッド幾何学の等長変換
第4回 平面ユークリッド幾何学の相似変換
第5回 空間ユークリッド幾何学の相似変換
これらは表題の通り、次のような表に整理できます。
等長変換 相似変換
平面ユークリッド幾何学 第1回 第4回
空間ユークリッド幾何学 第3回 第5回
第6回 反転幾何学
ユークリッド幾何学の変換のうち鏡映をより広げたもの。
反転円に関する鏡映と、無限遠点が加わります。
第7回 複素数と共形変換
複素数の演算は、複素平面における変換になります。
第8回 射影平面
ユークリッド平面に無限遠直線（の半分）を付け加えたもの。
球面の向かい合う2点(対極点)を同一視したものと等しくなります。
第9回 複数の幾何学
ユークリッド幾何学の補足と、順序の幾何学、アフィン幾何学、射影幾何学、絶対幾何学のごく簡単なご紹介。
第10回 双曲幾何学
ユークリッド幾何学とは別の幾何学。ユークリッド幾何学を超える概念が登場し、また常識が通用しないなどいろいろ面白いです。
第11回 地図とオイラー数
トポロジーの話題で、各曲面に関するオイラー（標）数のご紹介です。
第12回 4色問題とヒーウッドの定理
前回からの続きで、オイラー数と塗分けに必要な色数の関係に関するヒーウッドの定理をご紹介しています。
★ 多面体シリーズも増えたので、全体を見渡せるようにしたかったのと、これまでの連載のURLを並べるだけでかさばるのを何とかしたかったので、この記事を書きました。
今後も多面体シリーズの記事が増えるたびに、この記事に追加していきます。
★★ 2020/7/31 番外編を追加。