コクセター『幾何学入門 上･下』の内容紹介第3弾です。
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空間の場合も、併進、回転、鏡映は平面のときと同様に基本的な変換ですが、次元が増えたことによる変更があります。
空間においては回転の中心は直線であり、これを「軸」と呼びます。
鏡映は平面について行われ、これを「鏡映面」と呼びます。
次に、基本的変換の組合せは併進鏡映以外にもう二種類あります。
「回転併進」(screw displacement)とは、回転とその軸に沿った併進との積です(p.194)。
「回転鏡映」(rotatory reflection)とは、鏡映とその面に直交する軸に関する回転の積です(p.194)。
また、平面の場合の半回転に対応する対合は中心対称変換です。
「中心対称変換」とは、１点を中心として各点を対称的な点に写す変換で、回転鏡映の一種です(鏡映×半回転)。
すべての等長変換は、高々4つの鏡映の積として表すことができます(平面では3つでした)。
例によって表の形にまとめておきます。
ユークリッド空間(3次元)の等長変換
不動点 例(ｘ, ｙ, ｚ) 鏡映の数
恒等変換 正格 全空間 (ｘ, ｙ, ｚ) 0
併進 正格 なし (ｘ, ｙ, ｚ＋1) 2
回転 正格 直線 (－ｙ, ｘ, ｚ) 2
回転併進 正格 なし (－ｙ, ｘ, ｚ＋1) 4
鏡映 変格 平面 (ｘ, ｙ, －ｚ) 1
併進鏡映 変格 なし (－ｘ, ｙ, ｚ＋1) 3
回転鏡映 変格 1点 (－ｙ, ｘ, －ｚ) 3
(中心対称変換 変格 １点 (－ｘ，－ｙ，－ｚ) 3 )
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