目次
１．半正タイル貼りとは？
２．半正タイル貼りの条件と種類
３．8種類の半正タイル貼りの解説
４．半正タイル貼りのまとめ
１．半正タイル貼りとは？
半正タイル貼りについては、以前半正多面体のついでに簡単に触れたことがありますが、ちゃんと取り上げていなかったので、今回丁寧に解説することにします。
タイル貼り(tessellation, tiling)あるいは平面充填形とは、平面（2次元空間）を図形で隙間なくまた重なることなく埋め尽くしたものです。
正タイル貼り(regular tessellation)とは、正多角形1種類によるタイル貼りのことです。
プラトンのタイル貼りという別名もあります。
正タイル貼りでは、頂点図形がすべて合同（1種類）となります。
ただし、頂点図形とは、稜あるいは辺の長さがすべて等しい図形において1つの頂点の周りの稜(辺)の中点を結んでできる図形のことです。
次のwikiの記事の上の方に正3角形タイル貼り、正方形タイル貼り、正6角形タイル貼りが載っています。クリックすると拡大します。
正p角形の面が1つの頂点にｑ枚集まってできる正タイル貼り(あるいは正多面体)を {p,q} で表します。
これをシュレーフリ記号といいます。
ここで、{p} は面の形(正p角形)、{q} が頂点図形(正ｑ角形)を表します。
正タイル貼りと正多面体をそのシュレーフリ記号とともに列挙しておきます。
正タイル貼り(3種類)：
{3,6} 正3角形タイル貼り
{4,4} 正方形タイル貼り
{6,3} 正6角形タイル貼り
正多面体(5種類)：
{3,3} 正4面体
{3,4} 正8面体
{4,3} 立方体
{3,5} 正20面体
{5,3} 正12面体
半正タイル貼り(semi-regular tessellation)とは、正多角形2種類以上によるタイル貼りで頂点図形が合同（1種類）であるもののことです。
アルキメデスのタイル貼りという別名もあります。
さて、正多面体や正タイル貼りでは、シュレーフリ記号 {p,q} が活躍しました。
しかし、複数種類の面がある場合にはシュレーフリ記号は使えません。
そこで、半正多面体と半正タイル貼りに共通して使える記号を導入することにします。
1つの頂点をつくっている正多角形の辺の数を ｐ1，ｐ2，・・・，ｐr とします。
ここで ｒ は頂点の価数で、頂点周りには全部でr枚の面が集まることを意味します。
r は正多面体 {p,q} のときのｑと同じ役割を果たしますが、複数の正多角形を使用するため別の記号にしておきます。
頂点図形は1種類ですから、次のように頂点周りに集まる正多角形の辺の数を順に並べたものは頂点の形状を特定し、したがって半正タイル貼りを特定します。
[ｐ1ｐ2…ｐr]
ここで、ｐ1ｐ2…ｐr の順序は意味をもちます。
しかしたとえば、[ｐ1ｐ2…ｐr] と [ｐ2…ｐrｐ1] は始まりが異なるだけで同じ頂点周りを意味します。
そこで、できるだけ小さい数字を先にすることとします。
また、右回りと左回りは頂点により逆になってもよいものとします。
なお、[ ] 内の数字・文字は原則として続けて書きますが、2桁の数字が含まれるときなどは混乱を避けるためコンマ「,」で区切ることにします。
この記号を使うと、正タイル貼りと正多面体は次のように表されます。
{3,6}＝[333333]，{4,4}＝[4444]，{6,3}＝[666]．
{3,3}＝[333]，{3,4}＝[3333]，{4,3}＝[444]，{3,5}＝[33333]，{5,3}＝[555]．
また、半正多面体13種類は次のようになります。
半正多面体のご紹介1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
半正多面体のご紹介2 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
[3434] 立方8面体，[3535] 20・12面体，
[366] 切頂4面体，[388] 切頂立方体，[466] 切頂8面体，
[3,10.10] 切頂12面体，[566] 切頂20面体，
[3444] 斜方立方8面体，[3454] 斜方20・12面体，
[468] 切頂立方8面体，[4,6,10] 切頂20・12面体，
[33334] 変形立方体，[33335] 変形12面体
２．半正タイル貼りの条件と種類
整数の組合せ [ｐ1ｐ2…ｐr] が半正タイル貼りを構成する条件は、次のａ～ｄの4つです。
ａ．ｐ1≧3，ｐ2≧3，・・・，ｐr≧3．
これは各面が正多角形からなることを意味する。
ｂ．ｐ1＝ｐ2＝・・・＝ｐr ではないこと。
これは正タイル貼りではないことを意味する。
ｃ．1つの頂点をつくっている正多角形の内角の和が2π（＝360°）に等しいこと。
式で書けば、
(1－2/ｐ1)π ＋(1－2/ｐ2)π ＋・・・ ＋(1－2/ｐr)π ＝ 2π
∴ 1/ｐ1 ＋1/ｐ2 ＋・・・ ＋1/ｐr ＝ ｒ/2 －1 ・・・(1)
（半正多面体の場合は(1)式の等号＝が不等号＞となる。）
ｄ．ｒ＝3 のとき、ｐi (1≦ｉ≦3)のすべてが偶数か、または番号をうまく付け替えると ｐ1 が奇数、ｐ2＝ｐ3 で偶数である。
ｒ＝4 のとき、番号をうまく付け替えると、ｐ1＝3、かつ ｐ2＝ｐ4 が成り立つ。
条件ｄの意味は、正奇数角形の周りに相異なる辺数の正多角形が来ると、それらを交互に並べても最後に同一の正多角形が並んでしまいうまくいかないので、周りにすべて同じ辺数の正多角形が来るようにするためです。
以下、(1)式をみたす正の整数解を、rの値ごとに求めます。
次の画像を横で眺めながらお読みください。
semiregular tesselation - Bing
・ｒ＝3 のとき
1/ｐ1 ＋1/ｐ2 ＋1/ｐ3 ＝ 3/2 －1 ＝ 1/2．
条件をみたす解は、
[3,12,12]，[4,6,12]，[488]
の3種類です。
・ｒ＝4 のとき
1/ｐ1 ＋1/ｐ2 ＋1/ｐ3 ＋1/ｐ4 ＝ 4/2 －1 ＝ 1．
同じく解は、[3366]，[3446] です。
正3角形の周りで可能な正多角形の形を考慮すると、ｐi の順序も含めた正しい組合せは、
[3636]，[3464]
の2種類です。
・ｒ＝5 のとき
1/ｐ1 ＋1/ｐ2 ＋1/ｐ3 ＋1/ｐ4 ＋1/ｐ5 ＝ 5/2 －1 ＝ 3/2．
同じく解は、 [33336]，[33344] です。
正3角形の周りで可能な正多角形の配置を考慮すると、ｐi の順序も含めた正しい組合せは、
[33336]，[33344]，[33434]
の3種類となります。
このうち、[33336] は、変形立方体 [33334]、変形12面体 [33335] と同じくキラル、つまり左右の別があります。
[33344] は他と比べ明らかに対称性が劣るように思いますが、そうしたものを排除するという議論はないようです。
・ｒ≧6 のとき
条件ａ，ｂ，ｃ，ｄをみたす整数解はありません。
以上から、半正タイル貼りは、ｒ＝3 の3種類、ｒ＝4 の2種類、ｒ＝5 の3種類の合計8種類であることが証明されました。
３．8種類の半正タイル貼りの解説
以下、8種類の半正タイル貼りそれぞれについて解説を行います。
数字を羅列した記号だけで日本語の名称がないのは寂しいので、私の独断で半正多面体にならった名称を付けておきます。
名称は他所では通用しないので、ご注意ください。
また、n-m は正n角形の面と正m角形の面に挟まれた辺を表します。
解説の最初に(1)式を載せ、最後に拡大オイラーの公式 ν0－ν1＋ν2＝0 を載せます。
（ν0：ν1：ν2 は、頂点数：稜の数：面の数の比率）
（正タイル貼りに中点切りを行ってできるもの）
中点切りとは、正タイル貼り {p,q} の辺の中点に新たな頂点をとり、隣接するそれらを結ぶ操作です。
中点切りでできる半正タイル貼りは、[pqpq] となります。
{p,q} と双対 {q,p} から中点切りでできる半正タイル貼りは、一致します。
また、正方形タイル貼り {4,4} に中点切りを行ったものは再び正方形タイル貼りとなるため、新たにできるのは1種類のみです。
・[3636]：準正タイル貼り、3・6角形タイル貼り、カゴメ文様
1/3 ＋1/6 ＋1/3 ＋1/6 ＝ 1．
正3角形タイル貼りあるいは正6角形タイル貼りの隣り合う辺の中点どうしを結んでできます。
頂点は４価です。辺は1種類で、3-6 です。
複数の正多角形からなりかつ辺が1種類のタイル貼りを、準正タイル貼りといいます。
準正タイル貼りはこの1種類しか存在しないので、固有名詞として使えます。
（準正タイル貼りは半正タイル貼りに含まれるという関係です。）
正3角形どうし、正6角形どうしは、頂点で接することはあっても、辺で接することはありません。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
3－6＋(2＋1) ＝ 0．
ただし、最初の3は頂点数、次の6は辺の数、( ) 内の2は正3角形の数、1は正6角形の数です。
[3636] は、日本の伝統的な文様の一つで、「カゴメ文様」という名前が付いています。
籠目文様について～日本の伝統文様その6～ - いわの美術のお役立ち情報 (iwano.biz)
薄く削いだ竹などを60°ずつ傾けて編むと、この文様になります。
カゴメは「籠目」です。
わらべ歌やトマト加工品メーカーが思い浮かびますね。
わらべ歌「かごめかごめ」については、妄想逞しい解釈のサイトも多い中で、次が信頼できると思います。
かごめかごめ 原曲の歌詞 意味と解釈 (worldfolksong.com)
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半正タイル貼りのご紹介2 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
多面体など幾何の連載一覧 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
★ 明日・明後日は竜王戦七番勝負第4局が京都府の福知山城天守閣で行われます。これまで藤井竜王の2勝1敗なので、今回勝てば竜王防衛はほぼ確実だと思います。
また、明晩は皆既月食があります。当地は天気が期待できそうです。
★ 今日のロジバン
いずれも 「私は24歳です。」 という意味の文です。直訳を後ろに載せています。
mi nanca li revo 私は24年間だ
mi se mivyselna’a li revo 私は24歳です。
mi jmive ze’a revo nanca 私は24年間生きている。
mi pruce revo nanca 私は24年という入力の過程だ = 私は24年を経た
mi lifri revo nanca 私は24年を経験する
nanca ： x1は x2(数) 年間、x3(基準)で継続する；x1は年次
mivyselna’a ： 年齢(年表示)だ，n2(数字)は j1(生き物)の j2(標準) n3 <- miv+sel+na’a, miv<-jmive
jmive ： 生きている，x1は x2(観点/基準)において；x1は生物/生体/有機体 。-miv-, -ji’e-
ze’a ： 中程度の時間。間制詞(時間･間隔･中)ZEhA類
pruce ： 過程/プロセスだ，x1は x2(入力)・x3(出力)・x4(段階)の。-ruc-, -ru’e-
lifri ： 経験する，x1(者/事)は x2(事)を；x1は x2に 見舞われる；x2は経験的/実験上/実証可能だ。-lif-, -fri-
5つの文があり、うち2番目の文が年齢というlujvoを含みますが、複雑なので他の言い方の方が良さそうです。
ze’a は中程度の時間間隔を示すとされますが、ze’i が長時間、ze’u が短時間を示すのに対し、長短のニュアンス無しで表現したいときに使うと考えればよいと思います。
出典は、.cogas.さんの
味噌煮込みロジバン: .e'o ko pengau ko - 自己紹介してください (misonikomilojban.blogspot.com)