半正タイル貼りのご紹介1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
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３．8種類の半正タイル貼りの解説（承前）
8種類の半正タイル貼りの解説を続けます。まず次のサイトの画像をご覧ください。
semiregular tesselation - Bing
掲載されている8種類のタイル貼りには名称が付いていませんが、左上が前回登場した3・6角形タイル貼りです。
他の7種類がどれに対応するのか、考えながら以下をお読みください。
（正タイル貼りに切頂を行ってできるもの）
切頂とは、正タイル貼り {p,q} の辺の頂点周りに新たな頂点をq個つくってそれらを結び、頂点の位置に新たに正ｑ角形をつくり、元の正ｐ角形を正2ｐ角形とする操作です。
できた半正タイル貼りは、[q,2p,2p] となります。
ただし、正3角形タイル貼り {3,6} を切頂すると正6角形タイル貼りになるので、新たにできるタイル貼りは2種類です。
・[3,12,12]：切頂6角形タイル貼り
1/3 ＋1/12 ＋1/12 ＝ 1/2．
正6角形タイル貼りに切頂を行って得られるタイル貼りです。
頂点は3価です。辺は、3-12 と 12-12 の2種類です。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
6－(6＋3)＋(2＋1) ＝ 0．
ただし、最初の 6 は頂点数、次の ( ) 内の 6 は 3-12 の辺、3は 12-12 の辺、その次の ( ) 内の 2 は正3角形の数、1 は正12角形の数です。以下、説明は省略します。
・[488]：切頂正方形タイル貼り
1/4 ＋1/8 ＋1/8 ＝ 1/2．
正方形タイル貼りに切頂を行ってできるタイル貼りです。
頂点は3価です。辺は、4-8 と 8-8 の2種類があります。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
4－(2＋4)＋(1＋1) ＝ 0．
（正タイル貼りに離面を行ってできるもの）
離面とは、{p,q} の各面を切り離して辺の隙間に正方形を挿入し、頂点の隙間に正ｑ角形を挿入する操作です。
もともとの正タイル貼りを {p,q} とすると、[p4q4] となります。
{p,q} と双対 {q,p} に離面を行った結果は、一致します。
また、正方形タイル貼り {4,4} に離面を行ったものは再び正方形タイル貼りとなるため、新たにできるのは1種類のみです。
・[3464]：斜方3・6角形タイル貼り
1/3 ＋1/4 ＋1/6 ＋1/4 ＝ 1．
3・6角形タイル貼りの頂点の位置に正方形を挿入し、正3角形と正6角形の向きを変えることによりできます。
正3角形も正6角形も、正方形で囲まれています。
正3角形どうし、正6角形どうしは辺でも頂点でも接することがありません。
正方形は正3角形2枚と正6角形2枚に交互に囲まれています。
頂点は4価です。辺は 3-4 と 4-6 の2種類です。
斜方立方8面体、斜方20・12面体と類似した性質をもつので「斜方」を付けましたが、平面なので実際は「斜方」になっていませんね(^^;
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
6－(6＋6)＋(2＋3＋1) ＝ 0．
（正タイル貼りに二重切りを行ってできるもの）
二重切りとは、正タイル貼りに中点切りを行った後、続けて切頂を行う操作です。
（ただし、辺の長さを揃える必要がある。）
もともとの正タイル貼りを {p,q} とすると、[4,2p,2q] となります。
{p,q} と双対 {q,p} に二重切りを行った結果は、一致します。
また、正方形タイル貼り {4,4} に二重切りを行ったものは切頂正方形タイル貼りとなるため、新たにできるのは1種類のみです。
・[4,6,12]： 切頂3・6角形タイル貼り
1/4 ＋1/6 ＋1/12 ＝ 1/2．
3・6角形タイル貼りにさらに切頂を行い、辺の長さを揃えることによりできます。
切頂立方8面体、切頂20・12面体と類似した性質をもちます。
頂点は3価です。辺は、4-6，4-12，6-12 の3種類あります。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
12－(6＋6＋6)＋(3＋2＋1) ＝ 0．
（正タイル貼りに捩(ねじ)り切りを行ってできるもの）
捩り切りとは、正タイル貼りの面を切り離してそれらの間に正3角形を挿入する操作です。
その際、正p角形の辺に正3角形が1枚、頂点に正3角形が2枚、接するようにします。
もともとの正タイル貼りを {p,3} とすると、[3333p] となります。
捩り切りは、もともとの頂点の位置に正3角形を挿入するため、頂点が3価の正タイル貼りつまり {6,3}＝[6,6,6] にのみ適用されます。
・[33336]：変形6角形タイル貼り（キラル）
1/3 ＋1/3 ＋1/3 ＋1/3 ＋1/6 ＝ 3/2．
変形立方体、変形12面体と類似した性質をもち、キラルです。つまり鏡映を行ったものは右手と左手のように重なりません。
それらと同様に、正3角形には正6角形に接するもの(3)と接しないもの(3’)の2種類あります。
頂点は5価です。辺は 3-3，3-3’，3-6 の3種類あります。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
6－(3＋6＋6)＋(6＋2＋1) ＝ 0．
（その他2種類）
残りの2つのタイル貼りについては、半正多面体に対応するものはありません。
・[33434]：3角形対・正方形タイル貼り
1/3 ＋1/3 ＋1/4 ＋1/3 ＋1/4 ＝ 3/2．
頂点は5価です。辺は、3-3 と 3-4 の2種類あります。
正3角形どうしは2枚ずつ辺でつながって、菱形となっています。
これに対し、正方形どうしは頂点でしかつながっておらず、正方形の周りは正3角形で囲まれています。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
4－(2＋8)＋(4＋2) ＝ 0．
[33434] は、実物を見ても少し分かりづらいのですが、次のような操作1)～3)により得られます。
1) 正方形タイル貼り {4, 4} を45°傾ける。
2) 正方形を1つおきに正3角形の対に置き換える。ただし、横の対と縦の対が交互に現れるものとする。
3) 残りの正方形は、正3角形に合わせて少し傾ける。
なお、[33434] は傾きによってはキラルのように錯覚されるという指摘もあります。
(Even the Expert can be Fooled. 専門家ですらもだまされる)
・[33344]：3角形列・正方形列タイル貼り
1/3 ＋1/3 ＋1/3 ＋1/4 ＋1/4 ＝ 3/2．
頂点は5価です。辺は、3-3，3-4，4-4 の3種類あります。
正3角形だけが並ぶ列と正方形だけが並ぶ列が交互に来るというのは、他の半正タイル貼りと比べて美しくないと感じます。
要素数の比は、次の拡大オイラーの公式をみたします。
2－(2＋2＋1)＋(2＋1) ＝ 0．
４．半正タイル貼りのまとめ
8種類の半正タイル貼りを表の形で整理します。
順番は、まず r の値で大きく分け、r が同じなら辞書式順序で並べます。
半正タイル貼りの名称
. 記号 名称
[3,12,12]：切頂6角形タイル貼り
[4,6,12] ： 切頂3・6角形タイル貼り
[488] ：切頂正方形タイル貼り
[3464] ：斜方3・6角形タイル貼り
[3636] ：準正タイル貼り、3・6角形タイル貼り、カゴメ文様
[33336] ：変形6角形タイル貼り
[33434] ：3角形対・正方形タイル貼り
[33344] ：3角形列・正方形列タイル貼り
名前を付けると数字だけより親しみが湧き、理解が深まるような気がするのですが、そう思うのは私だけかな？
半正タイル貼りの要素の性質
記号 頂点の価数 稜の種類 面の種類 要素数の比
[3,12,12] 3 2(3-12,12-12) 2 6：(6：3)：(2：1)
[488] 3 2(4-8,8-8) 2 4：(2：4)：(1：1)
[4,6,12] 3 3(4-8,4-12,6-12) 3 12：(6：6：6)：(3：2：1)
[3636] 4 1(3-6) 2 3：6：(2：1)
[3464] 4 2(3-4,4-6) 3 6：(6：6)：(2：3：1)
[33336] 5 3(3-3,3-3’,3-6) 2(3) 6：(3：6：6)：(6：2：1)
[33434] 5 2(3-3,3-4) 2 4：(2：8)：(4：2)
[33344] 5 3(3-3,3-4,4-4) 2 2：(2：2：1)：(2：1)
(注)１． [33336] で面の種類が「2(3)」となっているのは、3番目の3の性質が他の3つの3とは異なることを意味する。
２．要素数の比は、最初の ( ) 内が稜の内訳、次の ( ) 内が面の内訳を意味する。
表の項目のうち、頂点の価数と面の種類は記号からすぐ分かるのですが、稜の種類は画像を見る必要があります。
また、要素数の比を求めるのは、ものに依るものの、勘定する時間が結構掛かります。
最後に、準正タイル貼り(3・6角形タイル貼り)とその双対の配置行列を載せておきます。
配置行列については、次をご覧ください。
正多面体と正タイル貼りの配置行列 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
準正タイル貼り(3・6角形タイル貼り)の配置行列
[ 3 4 2|2 ]
[ 2 6 1|1 ]
[ 3|6 3|6 2|1 ]
関係式は次の通りです。(νiNij＝νjNji)
3×4＝2×6＝12，3×2＝3×2＝6，3×2＝6×1＝6，
6×1＝3×2＝6，6×1＝6×1＝6．
準正タイル貼りの双対は、菱形タイル貼りとなります。
ただし、双対タイル貼りとは、各面の中心（面心）を新たな頂点とし、隣接する頂点どうしを結んだものです。
菱形タイル貼りの菱形は、正3角形2枚を辺で貼り合わせたもので、頂角は60°と120°、対角線の長さの比は、1：√3 です。
菱形タイル貼りでは、辺は1種類、面も1種類ですが、頂点は3価と6価の2種類存在します。
辺は、3価の頂点と6価の頂点を結んでいます。
（なお、複数種類の菱形から構成されるタイル貼りであれば、他にも存在します。）
準正タイル貼りの双対(菱形タイル貼り)の配置行列
[ 2|1 3|6 3|6 ]
[ 1|1 6 2 ]
[ 2|2 4 3 ]
関係式は次の通りです。
2×3＝1×6＝6，1×6＝1×6＝6，
2×3＝2×3＝6，1×6＝2×3＝6，6×2＝4×3＝12．
これら以外の半正タイル貼りでは、配置行列に相当するものは複雑になり見にくいので、掲載しません。
多面体など幾何の連載一覧 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
★ 今日のロジバン 趣味1
mi nelci lo xadykelci’e 「ミ ネㇽﾟシ ロﾟ ㇰハドァケㇽﾟシヘ」
私はスポーツが好きです。
xadykelci’e ： (肉体的な)スポーツだ，x1は x2によって行われる <- xad+kel+ci’e, xad<- xadni, kel<- kelci, ci’e<- ciste
xadni ： 肉体だ，x1は x2の；x1は身体的。-xad-
kelci ： 遊ぶ，x1は x2(道具/方法)で。-kel-, -kei-
ciste ： 体系/システムだ，x1は x2(構造)をもち x3(構成要素の集合)からなる x4(性質ka)を示す；x1は共同で効果x4をもたらす(相乗効果)。-ci’e-
xadykelci’e というlujvoは、3つの語基からなりますが、xad(肉体的)＋kelci’e(ルールのあるゲーム) と考える方が分かりやすいです。
出典は、.cogas.さんの
味噌煮込みロジバン: .e'o ko pengau ko - 自己紹介してください (misonikomilojban.blogspot.com)