目次
０．はじめに
１．角錐とその切頂、方化
２．与えられた頂点数と面の数をもつ凸多面体の構成
３．補足：切頂系列と方化系列のイメージなど
０．はじめに
以前、次の定理をご紹介しました。
定理（凸多面体の存在条件） ： 頂点数V、面の数Fの凸多面体が存在するための必要十分条件は次の3つの式が成り立つこと。
V ≧ 4 ・・・ (1)
F ≧ 4 ・・・ (2)
V／2 ＋2 ≦ F ≦ 2V －4 ・・・ (3)
整凸多面体などについてもろもろ1：
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786365.html
（２．の定理１０です。）
ただ、これが凸多面体の存在のための必要条件であることは示しました（定理９）が、十分条件であることの証明は付けていませんでした。
最近、次の本を買ったところ、十分条件の証明があったので、私なりに咀嚼してご紹介します。
（記号法や説明の順など変更していますが、実質的には同じです。）
日々 孝之 著 『多角形と多面体 図形が織りなす不思議世界』 講談社 ブルーバックスB-2153 256頁 2020年10月発行 本体価格￥1,200(税込￥1,320)
（なお、この本自体の書評を書くかどうかは未定です。）
3つの条件が成り立つとき、それらをみたす凸多面体が1種類以上存在することを証明します。
方針は、
角錐に切頂あるいは方化という操作を続けて行うことにより、どのような多面体ができるかを示し、
次に、角錐と切頂あるいは方化の操作の回数を適当にとることにより、どんな頂点数と面の数の組合せに対しても、それをみたす多面体が存在することを示す、
というものです。
できた多面体の解説のために、多面体AとBが、頂点数、稜の数、面の数について同じで、それらのつながり方も同じであるとき、AとBは同相である、と表現することにします。
ただし、凸多面体と同相の多面体が必ずしも凸ではない、という点に注意が必要です。
凸であることは、作成の手順により保障されます。
１．角錐とその切頂、方化
ここから証明に入ります。
ｎ角錐を考えると、その頂点数V，稜の本数Ｅ、面の枚数Ｆは
Ｖ＝ｎ＋1，Ｅ＝2ｎ，Ｆ＝ｎ＋1
となります。
ただし、頂点は3価の頂点がｎ個、ｎ価の頂点が1個、面は3角形がｎ枚、ｎ角形が1枚です。
Ｖ3＝ｎ，Ｖn＝1， Ｆ3＝ｎ，Ｆn＝1， Ｖ＝Ｖ3＋Ｖn，Ｆ＝Ｆ3＋Ｆn．
ｎ角錐のＶ，Ｅ，Ｆをベクトルの形で
Ｐn0 ＝ (ｎ＋1，2ｎ，ｎ＋1)
と表します。
ただし、Ｐn0はｎ角錐から始まる系列の最初の多面体を意味します。
以下、混乱しない範囲で多面体とそのベクトル表示を同一視します。
次に、ｎ角錐Ｐn0に切頂と方化という2種類の操作を行います。
・切頂：3価の頂点付近を切り取る
切頂を1回行うと、その周辺の頂点数は1から3に増え、稜の数は3から6に増え、面の数は3から4に増えます。
新たにできた頂点の価数はいずれも3価です。
Ｐn0に1回切頂を行ってできる多面体の構成をＰnt1で表すと、
Ｐnt1 ＝ (ｎ＋3，2ｎ＋3，ｎ＋2)
Ｐnt1も、頂点は1個を除けばすべて3価の頂点です。
したがって、同様に切頂を行うことができ、できた多面体の構成をＰt2で表すと、
Ｐnt2 ＝ (ｎ＋5，2ｎ＋6，ｎ＋3)
この操作は無限に続けることができます。
ｎ角錐Ｐn0にｍ回切頂を行って得られる多面体をＰtmとすると、
Ｐntm ＝ (ｎ＋2ｍ＋1，2ｎ＋3ｍ，ｎ＋ｍ＋1)
・方化：3角形の面に3角錐を貼り付ける。ただし、結果が凸多面体となるよう3角錐の高さを調整する
方化を1回行うと、その周辺の頂点数は3から4に増え、稜の数は3から6に増え、面の数は1から3に増えます。
新たにできた面はいずれも3角形です。
Ｐn0に1回方化を行ってできる多面体の構成をＰnk1で表すと、
Ｐnk1 ＝ (ｎ＋2，2ｎ＋3，ｎ＋3)
Ｐnk1も、面は1枚を除けばすべて3角形です。
したがって、同様に方化を行うことができ、できた多面体の構成をＰk2で表すと、
Ｐnk2 ＝ (ｎ＋3，2ｎ＋6，ｎ＋5)
この操作は無限に続けることができます。
ｎ角錐Ｐn0にｍ回方化を行って得られる多面体をＰnkmとすると、
Ｐnkm ＝ (ｎ＋ｍ＋1，2ｎ＋3ｍ，ｎ＋2ｍ＋1)
切頂の ｔ はtruncateの頭文字、方化の ｋ はkisの頭文字をとっています。
なお、今回の証明の範囲では切頂と方化のどちらか1つの操作を繰り返すだけで、2種類の操作を組み合わせて行うことはありません。
最初のｎ角錐も、それにｍ回の切頂・方化を行って得られる多面体も、すべて凸多面体であるという点をご確認ください。
これまで便宜上、ＰtmやＰkmといった多面体が（同相を除き）いずれも1通りに決まるかのような説明を行ってきました。
確かに、最初にｎを定めれば、Ｐn0，Ｐnt1，Ｐnk1は（同相を除き）1通りに定まります。
しかし、Ｐnt2以降，またＰnk2以降は必ずしも1通りにはなりません。
というより、一般には1つのｍに対して複数のＰntm（Pnkm）が存在し、その数はｍが大きくなるほど多くなります。
これは、切頂の対象となる3価の頂点は一般的には複数存在し、また方化の対象となる3角形の面が一般的には複数存在するためです。
ただ、今回の証明に関する限り、Ｖ，Ｆ，ｎ，ｍにしか注目しないので、複数のＰtm（Pkm）間の違いは無視することとします。
２．与えられた頂点数と面の数をもつ凸多面体の構成
与えられた頂点数Ｖと面の数Ｆをもつ凸多面体を、１で挙げた操作により構成します。
やり方は、頂点数Ｖと面の数Ｆの大小関係により、3つの場合に分けられます。
ａ．頂点数と面の数が等しい場合(Ｖ＝Ｆ)
Ｖ＝Ｆの場合には角錐がそのまま求める凸多面体となります。
ｎ ＝ Ｖ－1 ＝ Ｆ－1
とおいて、ｎ角錐をつくると、それが求める多面体となります。
Ｐn0 ＝ (ｎ＋1，2ｎ，ｎ＋1) ＝ (Ｖ，Ｖ＋Ｆ－2，Ｆ)．
ここで、条件の(1)と(2)から、 ｎ＋1 ≧ 4
∴ ｎ ≧ 3
したがって、角錐であることが保証されます。
ｂ．頂点数が面の数より大きい場合(Ｖ＞Ｆ)
Ｖ＞Ｆの多面体は、角錐に切頂を行うことにより得られます。
ｎをｎ角錐の最大価数、ｍを切頂の回数とすると、
ｍ ＝ Ｖ－Ｆ，
ｎ ＝ Ｆ－ｍ－1 ＝ 2Ｆ－Ｖ－1
とおいて、ｎ角錐に対してｍ回切頂を行えばよい。
ここで、条件(3)の前半から、
2Ｆ－Ｖ－4 ≧ 0．
∴ ｎ ＝ 2Ｆ－Ｖ－1 ≧ 3
となるので、Ｐn0が角錐となることが保証されます。
したがって、(2Ｆ－Ｖ－1)角錐を(Ｖ－Ｆ)回切頂すると、求める多面体が得られます。
Ｐntm ＝ (ｎ＋2ｍ＋1，2ｎ＋3ｍ，ｎ＋ｍ＋1)
＝ (Ｖ，Ｖ＋Ｆ－2，Ｆ)．
ｃ．面の数が頂点数より大きい場合(Ｆ＞Ｖ)
Ｆ＞Ｖの多面体は、角錐に方化を行うことにより得られます。
ｎをｎ角錐の最大価数、ｍを方化の回数とすると、
ｍ ＝ Ｆ－Ｖ，
ｎ ＝ Ｖ－ｍ－1 ＝ 2Ｖ－Ｆ－1
とおいて、ｎ角錐に対してｍ回方化を行えばよい。
ここで、条件(3)の後半から、
2V－Ｆ－4 ≧ 0．
∴ ｎ ＝ 2Ｖ－Ｆ－1 ≧ 3
となるので、Ｐn0が角錐となることが保証されます。
すなわち、(2Ｖ－Ｆ－1)角錐を(Ｆ－Ｖ)回方化すると、求める多面体が得られます。
Ｐnkm ＝ (ｎ＋ｍ＋1，2ｎ＋3ｍ，ｎ＋2ｍ＋1)
＝ (Ｖ，Ｖ＋Ｆ－2，Ｆ) ．／／
ｂの例として、頂点Ｖが7個、面Ｆが6枚の多面体をつくってみます。
ｎ ＝ 2Ｆ－Ｖ－1 ＝ 4， ｍ ＝ Ｖ－Ｆ ＝ 1．
したがって、4角錐を1回切頂すればよい。
ただし、この多面体と同相である整凸多面体は存在しません。
ｃの例として、頂点Ｖが6個、面Ｆが8枚の多面体をつくってみます。
ｎ ＝ 2Ｖ－Ｆ－1 ＝ 3， ｍ ＝ Ｆ－Ｖ ＝ 2．
したがって、3角錐を2回方化すればよい。
3角錐を1回方化すると、双3角錐になります。
したがって、得られた多面体は双3角錐を1回方化したものと同相です。
ただし、この多面体と同相である整凸多面体は存在しません。
３．補足：切頂系列と方化系列のイメージなど
以上みてきたように、条件(1)～(3)をみたす頂点数Vと面の数Fをもつ凸多面体は必ず存在します。
しかし、証明で出てきた方法で作れる多面体は、必ずしも整凸多面体にはならず、馴染みのないものが多いです。
これは、条件(1)～(3)をみたすどんなに大きいＶとＦの組合せについても、存在を証明できなければならないというので、やむを得ないのでしょうね。
ｎ≧4のとき、切頂でできる系列は、切頂の対象とならないｎ価の頂点を除き、角を次々と切り取っていくため、どんどん丸っこくなります。
ただ、ｎ価の頂点はいつまでも残ります。
一方、ｎ≧4のとき、方化でできる系列は、方化の対象とならないｎ角形の面を除き、面の上により背の低い3角錐がどんどん重なって付いていきます。
こちらも、平らな面の中央を盛り上げるので、次第に丸っこくなります。
ただ、もともと一番広いｎ角形の面はいつまでも残ります。
多面体の連載など一覧：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12598605490.html