目次
１．基本単体とは？
２．正多角形とその基本単体
３．正多面体の基本単体
４．補助的な点Ｐ1、Ｐ2 と双対正多面体の導入
５．基本単体の稜と角の値
６．正多面体の連続量
７．正多面体ごとの連続量の計算結果
ａ．正4面体
ｂ．立方体
ｃ．正8面体
ｄ．正12面体
ｅ．正20面体
８．5つの正多面体の比較
ａ．大小比較
ｂ．丸いか尖って（角ばって）いるか
１．基本単体とは？
多面体シリーズの第5弾です。
多面体シリーズについては、次をご覧ください。
多面体の連載など一覧：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12598605490.html
正多面体については最初の連載で取り上げましたが、その際、体積、表面積、二面角などの連続量には一切触れませんでした。
しかし、これらの値が分からないと、正多面体をマスターしたとは到底いえません。
個々の正多面体ごとにそれぞれのやり方で求めることもできないわけではありませんが、立方体の体積を求めるのは簡単でも正12面体や正20面体だと困難です。
実は、多面体の連続量を統一的に求める素晴らしい方法があるのです。
それが今回ご紹介する基本単体を使う方法です。
その考え方は、正多面体をそのまま扱うのは大変なので、多数の簡単な「部品」に分解して調べてみよう、というものです。
「部品」は何十も（100を超えるものも）ありますが、すべて同じ形をしています。
この「部品」を基本単体（きほんたんたい）といいます。
単体とはその次元でもっとも単純な図形のことで、2次元であれば3角形、3次元であれば4面体（3角錐）、・・・のことです。
ただし、その構成要素となる線や面などがすべて「真直ぐ」（直線、平面、・・・）で、曲線、曲面、・・・は含まれないことにご注意ください。
後でみるように、基本単体は、単体のうちでも特に扱いやすい性質をもっています。
というわけで、今回は三角関数や多重ルートが出てくる本格的な数学です（とは言っても高校レベルだけど）。
数学があまり得意でない方は適当に読み飛ばして、全体の流れとポイントだけつかんでください。
また、誤りを発見された方は、例によってご指摘いただけるとありがたいです。
ここで、以前ご紹介したシュレーフリ記号について復習しておきます。
正ｐ角形は、記号 {ｐ} で表わされます。
また、各面が正ｐ角形からなり1つの頂点に面がｑ枚ずつ集まっている正多面体は、記号 {ｐ，ｑ} で表わされます。
正多面体の構成要素である頂点、稜、面の数 V，E，F はｐとｑで表わすことができます（ｐとｑの関数）が、詳しくは連載「正多面体のご紹介」をご覧ください。
記号として、△は3角形、∠は角を意味します。
２．正多角形とその基本単体
正多面体を扱う前に、その２次元版でずっと簡単な正多角形（regular polygon、レギュラー・ポリゴン）をみておきましょう。
正多面体の面は正多角形ですから、正多面体を扱うための準備作業としても必要です。
正多角形の辺(side)の数を ｐ 本とすれば、その頂点(vertex)の数も ｐ 個です。
正多角形で重要な連続量としては、次のようなものがあります。
・外接円の半径（正多角形の中心から頂点までの距離）
・内接円の半径（正多角形の中心から辺の中点までの距離）
・面積
・内角の大きさ
・中心から一辺を見込む角の大きさ
・「高さ」（偶数角形ではある辺と向かい合う辺の中点どうしの距離、奇数角形ではある辺の中点と向かい合う頂点の距離）
・もっとも長い対角線の長さ
これらが求めるべき量のリストとなります。
長さと面積については単位が必要ですが、ここでは辺の長さを 1 とします。
正多角形（正ｐ角形）の中心（1個）と、各頂点（ ｐ 個）、各辺の中点（ ｐ 個）とを結ぶと、3角形が多数できます。
これらを正多角形の「基本単体」と呼びます。
基本単体のうち1つをとって、各頂点に次のように名前を付けます。
・正多角形（2次元図形）の中心をＯ2
・正多角形の辺（1次元図形）の中点をＯ1
・正多角形の頂点（0次元図形）をＯ0
つまりＯｎ は、正多角形の構成要素であるｎ次元図形の中心の点となっています。
角Ｏ0Ｏ1Ｏ2 は直角（π／2＝90°）なので、△Ｏ0Ｏ1Ｏ2 は直角3角形です。
∠Ｏ0Ｏ1Ｏ2 ＝ π／2
つまり、正多角形の基本単体は直角3角形です。
また、その斜辺はＯ0Ｏ2 です。
辺1本につき基本単体が2つずつあり、辺の数は ｐ 本ですから、正 ｐ 角形は基本単体 2ｐ 個からできているといえます。
基本単体は 2ｐ 個すべて合同な直角3角形です。
ただし、2ｐ 個のうち ｐ 個は時計回りにＯ0Ｏ1Ｏ2 の順、残りの ｐ 個は同じくＯ0Ｏ2Ｏ1 の順となっており、両者は平面上の回転と平行移動によっては重ならず、互いに鏡像の関係にあります。
正多角形ごとの基本単体の具体的な数は次のようになります。
. 正多角形の種類 基本単体の数
正3角形 6個
正方形 8個
正5角形 10個
正6角形 12個
・・・ ・・・
正ｐ角形 2ｐ個
それでは基本単体の連続量を求めましょう。
基本単体の直角でない角の大きさは、
∠Ｏ0Ｏ2Ｏ1 ＝ π／ｐ
∠Ｏ1Ｏ0Ｏ2 ＝ π／2 －∠Ｏ0Ｏ2Ｏ1
＝ π／2 －π／ｐ
となります。
基本単体の3辺の長さは、Ｏ0Ｏ1 が正ｐ面体の１辺の半分なので、
Ｏ0Ｏ1 ＝ 1／2
これと、∠Ｏ0Ｏ2Ｏ1 ＝ π／ｐ を使って、他の辺の長さを求めます。
cos(π／ｐ) ＝ Ｏ1Ｏ2／Ｏ0Ｏ2
sin(π／ｐ) ＝ Ｏ0Ｏ1／Ｏ0Ｏ2
Ｏ0Ｏ2 ＝ Ｏ0Ｏ1／sin(π／ｐ))
＝ 1／2 sin(π／ｐ)
Ｏ1Ｏ2 ＝ Ｏ0Ｏ1 ／ (sin(π／ｐ)／cos(π／ｐ))
＝ cos(π／ｐ) ／ 2 sin(π／ｐ)
＝ 1 ／ 2tan(π／ｐ)
基本単体の面積は、Ｏ0Ｏ1・Ｏ1Ｏ2／2なので、
Ｏ0Ｏ1・Ｏ1Ｏ2／2 ＝ (1／2) ・ (cos(π／ｐ)／2 sin(π／ｐ)) ／2
＝ cos(π／ｐ) ／ 8 sin(π／ｐ)
これらの式を使って計算した結果をまとめておきます。
表1 正多角形の基本単体の諸量
. 正多角形 {ｐ} Ｏ0Ｏ1 Ｏ0Ｏ2 Ｏ1Ｏ2 面積 .
正3角形 {3} 1／2＝0.5 √3／3 √3／6 √3／24
≒ 0.577 ≒ 0.289 ≒ 0.0722
正方形 {4} 1／2＝0.5 √2／2 1／2＝0.5 1／8
≒ 0.707 ＝ 0.125
正5角形 {5} 1／2＝0.5 √10√(5＋√5)／10 √2(5＋√5)3/2／160
≒ 0.851 √2(5＋√5)3/2／40 ≒ 0.172
≒ 0.688
正6角形 {6} 1／2＝0.5 1 √3／2 √3／8
≒ 0.866 ≒ 0.217
この結果を使って、正多角形の連続量を求めます。
正ｐ角形の外接円の半径は、Ｏ0Ｏ2 ＝ 1／2 sin(π／ｐ)。
同じく内接円の半径は、Ｏ1Ｏ2 ＝ cos(π／ｐ)／2 sin(π／ｐ) です。
正 ｐ 角形の面積は、基本単体の面積の 2ｐ 倍なので、ｐ ・cos(π／ｐ)／4 sin(π／ｐ) となります。
正 ｐ 角形の内角は、∠Ｏ1Ｏ0Ｏ2 の2倍ですから、2∠Ｏ1Ｏ0Ｏ2 ＝ π－2π／ｐ となります。
「高さ」*は、偶数角形では 2Ｏ1Ｏ2 ＝ cos(π／ｐ)／sin(π／ｐ)、奇数角形では Ｏ0Ｏ2＋Ｏ1Ｏ2 ＝ (1＋cos(π／ｐ)) ／2 sin(π／ｐ) です。
もっとも長い対角線の長さ*は、偶数角形では 2Ｏ0Ｏ2 ＝ 1／sin(π／ｐ)、奇数角形では√(1／4＋(Ｏ0Ｏ2＋Ｏ1Ｏ2)2) ＝ (√2／2)√(1＋cos(π／p)／)／sin(π／p))
*印を付けた2つの数値は、以下では省略します。
具体的な正多角形の値を求めてみましょう。
ｐ＝3つまり正3角形では、内角はπ－2π／ｐ＝π／3
外接円の半径Ｏ0Ｏ2は、√3／3 ≒ 0.577
内接円の半径Ｏ1Ｏ2は、√3／6 ≒ 0.289
面積は、3・cos(π／3)／4 sin(π／3) ＝ 3・(1／2)／(4・√3／2)
＝ √3／4 ≒ 0.433
同様に、正方形などについても計算した結果を表の形でまとめておきます。
表2 正多角形の諸量 （辺の長さを 1 とする）
. 正多角形 内角の大きさ 外接円の半径 内接円の半径 面積
正3角形{3} π／3＝60° √3／3 √3／6 √3／4
≒ 0.577 ≒ 0289 ≒0.433
正方形 {4} π／2＝90° √2／2 1／2＝ 0. 5 1
≒ 0.707
正5角形{5} 3π／5＝108° √10√(5＋√5)／10 √2(5＋√5)3/2／16
≒ 0.851 √2(5＋√5)3/2／40 ≒ 1.720
≒ 0.688
正6角形{6} 2π／3＝120° 1 √3／2 3√3／2
≒ 0.866 ≒ 2.598
・・・
正ｐ角形{ｐ} π－2π／ｐ 1／2 sin(π／ｐ) ｐ・cos(π／ｐ)／4 sin(π／ｐ)
cos(π／ｐ)／2 sin(π／ｐ)
３．正多面体の基本単体
それではいよいよ正多面体の基本単体の説明に移りましょう。
正多面体の表面の一部に着目して、隣接する頂点、稜の中点、面の中心を1つずつとり、それら同士、またそれらと正多面体の中心を結ぶと、4面体（3角錐）が1つできます。
この4面体を正多面体の「基本単体」といいます。
1つの正多面体には基本単体が全部でいくつ含まれているのでしょうか？
その数をＢとすると、1つの面につき2ｐ個、面がＦ枚あるのですから、Ｂ＝2ｐＦ個となりますが、これは次のようにも表わせます。
Ｂ ＝ 4Ｅ ＝ 2ｐＦ ＝ 2ｑＶ
各正多面体の基本単体の数は次の通りです。
双対正多面体の基本単体の数が等しいことが分かります。
表3 正多面体の基本単体の数
{ｐ，ｑ} Ｅ Ｆ Ｖ Ｂ
正4面体 {3, 3} 6 4 4 24
立方体 {4, 3} 12 6 8 48
正8面体 {3, 4} 12 8 6 48
正12面体 {5, 3} 30 12 20 120
正20面体 {3, 5} 30 20 12 120
基本単体の数Ｂを ｐ と ｑ で表わすと次の式になります。
Ｂ ＝ 4Ｅ ＝ 4／(1／ｐ＋1／ｑ－1／2)
表4 ｐとｑで表わした基本単体の数Ｂ
ｐ∖ｑ 3 4 5
3 24 48 120
4 48 － －
5 120 － －
さて、基本単体のうち1つをとって、その4つの頂点に次のように名前を付けます。
・正多面体の頂点（0次元図形）は、Ｏ0
・正多面体の稜（1次元図形）の中点は、Ｏ1
・正多面体の面である正多角形（2次元図形）の中心は、Ｏ2
・正多面体（3次元図形）の中心は、Ｏ3
つまり、Ｏnは正多面体の構成要素であるｎ次元図形の中心の点を意味しています。
次に基本単体がどのような性質の4面体なのかを調べましょう。
この4面体の各面は3角形ですが、角度を調べてみると、
・△Ｏ0Ｏ1Ｏ2が正多角形の基本単体なので、
∠Ｏ0Ｏ1Ｏ2 ＝ π／2 （＝90°）
・稜の中点Ｏ1は、中心Ｏ3から稜に下ろした垂線の足なので、
∠Ｏ0Ｏ1Ｏ3 ＝ π／2
・正多角形の中心Ｏ2 は、正多面体の中心Ｏ3から△Ｏ0Ｏ1Ｏ2 に下ろした垂線の足なので、
∠Ｏ0Ｏ2Ｏ3 ＝ ∠Ｏ1Ｏ2Ｏ3 ＝ π／2
一般に、ｌ、ｍ、ｎ が 0 ≦ ｌ ＜ ｍ ＜ ｎ ≦ 3 をみたす自然数であるとき、
∠ＯlＯmＯn ＝ π／2
が成り立ちます。
覚えやすいですね(^_^
以下、「△ＡＢＣは直角3角形」と書いた場合には、∠ＡＢＣ＝π／2＝90°であることを意味します。
次に、△Ｏ0Ｏ1Ｏ2では
∠Ｏ0Ｏ2Ｏ1 ＝ π／ｐ
となっています。
以上から、基本単体Ｏ0Ｏ1Ｏ2Ｏ3を構成する4枚の3角形△Ｏ0Ｏ1Ｏ2、△Ｏ0Ｏ1Ｏ3、△Ｏ0Ｏ2Ｏ3、△Ｏ1Ｏ2Ｏ3 は、いずれも直角3角形です。
つまり、基本単体は4つの面とも直角3角形からなります。
また、基本単体を構成する直角3角形の直角4つのうち、2つはＯ1、残りの2つはＯ2に集まっています。
このような４面体を直角４面体といいます。
正多面体の基本単体は直角4面体です。
4Ｅ個の基本単体はすべて合同ですが、これらは2Ｅ個ずつ2つのグループに分けられます。
それぞれのグループ内では平行移動と回転により重ね合わせることができますが、グループ間では鏡映を使わないと重なりません。
つまり、両グループは右手と左手の関係となっています。
もう少し基本単体全体のイメージが湧くように解説すると、
正多面体の表面に位置する直角3角形Ｏ0Ｏ1Ｏ2 を底面とすると、直角でない頂点Ｏ2 の真上に残りの頂点Ｏ3があります。
別の見方では、直角3角形Ｏ1Ｏ2Ｏ3 を底面とすると、直角でない頂点Ｏ1 の真上に残りの頂点Ｏ0 があります。
基本単体はもともと正多面体から切り出したことを考えれば、上下逆転させて正多面体の表面に当たる△Ｏ0Ｏ1Ｏ2 を上に、その内部にあるＯ3を下にして、Ｏ2Ｏ3 が垂直になるようにイメージするのがよいでしょう。
Ｏ3 を一端とする稜の長さは、Ｏ0Ｏ3 ＞ Ｏ1Ｏ3 ＞ Ｏ2Ｏ3という順になっています。
----------------------－ 続 く -------------------
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