前回の記事「サッカーボールとフラーレン」で
＞5角形と6角形のみから構成される多面体については、5角形の面の数は常に12個となり他の面はすべて6角形となることが数学的に証明されており、もちろん実際のフラーレンもそういう構造となっています。
(これはオイラーの定理を前提とすれば中学生でも理解できる証明なので、ご希望があれば掲載します。)
https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471780589.html
と書きましたが、ご希望がなくても掲載することにします(^_^
正5角形の内角は108°、正6角形の内角は120°です。
したがって、問題とする多面体の各辺の長さがほぼ一定であれば、一つの頂点に集まる面の数は3枚に限られ、一つの頂点に集まる辺の数もすべて3本となります。
フラーレンは炭素原子の単体ですからこの条件を満たしています。
以下では「面が5角形と6角形のみからなりかつ頂点がすべて3価である多面体」の5角形の面の数が必ず12枚となることを証明します。
途中まで多面体一般について成立する定理として証明を行い、最後にこの多面体独自の条件を入れることとします。
面の数をＦ、辺の数をＥ、頂点の数をＶで表すことにします。
(それぞれface、edge、vertexの頭文字です。)
3角形の面の数をＦ3、4角形の面の数をＦ4、一般にn角形の面の数をＦnで表します。
面の数Ｆはそれらの合計ですから、次の式が成り立ちます。
Ｆ ＝ Ｆ3 ＋Ｆ4 ＋Ｆ5 ＋Ｆ6 ＋Ｆ7 ＋･･･
3角形の面は3辺で囲まれており、4角形の面は4辺で囲まれており、一般にn角形の面はn本の辺で囲まれています。
一辺は2枚の多角形にはさまれていますから、辺の数ＥとＦ3等々の間に次の式が成り立ちます。
2Ｅ ＝ 3Ｆ3 ＋4Ｆ4 ＋5Ｆ5 ＋6Ｆ6 ＋7Ｆ7 ＋･･･
≧ 3(Ｆ3 ＋Ｆ4 ＋Ｆ5 ＋Ｆ6 ＋Ｆ7 ＋･･･) ＝ 3Ｆ
ゆえに
2Ｅ ≧ 3Ｆ
これを握手定理といいます。
なお、等号が成り立つのは、面がすべて3角形であるときです。
(こちらの握手定理は以下では使いません。)
ある頂点から出ている辺の数がn本のとき、その頂点をn価の頂点である、あるいはその頂点の価数はnであるということにします。
3価の頂点の数をＶ3、4価の頂点の数をＶ4、一般にn価の頂点の数をＶnで表します。
頂点の数Ｖはそれらの合計ですから、次の式が成り立ちます。
Ｖ ＝ Ｖ3 ＋Ｖ4 ＋Ｖ5 ＋Ｖ6 ＋Ｖ7 ＋･･･
n価の頂点からはn個の辺が出ていますが、1本の辺の両端には2個の頂点があります。
したがって、辺の数ＥとＶ3等々の間に次の式が成り立ちます。
2Ｅ ＝ 3Ｖ3 ＋4Ｖ4 ＋5Ｖ5 ＋6Ｖ6 ＋7Ｖ7 ＋･･･
≧ 3(Ｖ3 ＋Ｖ4 ＋Ｖ5 ＋Ｖ6 ＋Ｖ7 ＋･･･) ＝ 3Ｖ
ゆえに
2Ｅ ≧ 3Ｖ
これもまた握手定理といいます。
なお、等号が成り立つのは、頂点がすべて3価であるときです。
オイラーの定理 Ｆ －Ｅ ＋Ｖ ＝ 2 の両辺を3倍すると
3Ｆ －3Ｅ ＋3Ｖ ＝ 6
∴ 3Ｖ ＝ 3Ｅ －3Ｆ ＋6
この式を握手定理 2Ｅ ≧ 3Ｖ に代入すると、
2Ｅ ≧ 3Ｅ －3Ｆ ＋6
両辺を整理して
3Ｆ ≧ Ｅ ＋6
Ｅを移項して両辺を2倍すると
6Ｆ －2Ｅ ≧ 12
等号が成り立つのは、頂点がすべて3価であるときだということを思い出してください。
次の2つの式を左辺の両項に代入します。
6Ｆ ＝ 6Ｆ3 ＋6Ｆ4 ＋6Ｆ5 ＋6Ｆ6 ＋6Ｆ7 ＋･･･
2Ｅ ＝ 3Ｆ3 ＋4Ｆ4 ＋5Ｆ5 ＋6Ｆ6 ＋7Ｆ7 ＋･･･
すると、
6Ｆ －2Ｅ ＝ 3Ｆ3 ＋2Ｆ4 ＋Ｆ5 －Ｆ7 －･･･
≧ 12
∴ 3Ｆ3 ＋2Ｆ4 ＋Ｆ5 －Ｆ7 －･･･ ≧ 12
Ｆ6の項がきれいに消えていることにご注目ください。
ここで、「面が5角形と6角形のみからなりかつ頂点がすべて3価である」という条件を加えます。
面の条件から
Ｆ3 ＝ Ｆ4 ＝ Ｆ7 ＝ ･･･ ＝ 0
これを代入して
Ｆ5 ≧ 12
一方、頂点がすべて3価なので、等号が成り立ちます。したがって、
Ｆ5 ＝ 12
証明終わり。
多面体の連載など一覧：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12598605490.html
★ 数学の証明を載せるのは当ブログにそぐわないかもしれませんが、「ご希望があれば」とかいうのはもったいぶった気がした(^^;ので、出し惜しみしないことにしました。
なお、リサ･ランドールさんのピンク本は厚さを含め大変充実しているため、予想外の苦戦中です。
でも、理解できないということではないので、時間をかければ読了はできると思います。