デルタ18面体が存在しないことの証明
正3角形の面だけから構成される凸多面体をデルタ多面体といいます。
たとえば、デルタ4面体は正4面体、デルタ20面体は正20面体です。
以前の連載で、デルタ多面体としては
ａ．面の数が4枚から20枚までのものが存在すること、
ｂ．ただし面の数が18枚のものは存在しないこと
を述べました。
整凸多面体などについてもろもろ2 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
その際、ａの証明は載せたのですが（定理２１）、ｂの証明は難しいようだとか言って逃げてしまいました。
ところが、『線形代数と正多面体』を読むと、ｂの証明が載っており、大して難しくなかった(^^;ので、ここでご紹介します。
定理 ： デルタ18面体は存在しない。
証明の概略
デルタ18面体が存在すると仮定し、矛盾を導く。
デルタ18面体の頂点、稜、面の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆとする。
面はすべて正3角形なので、面の数Ｆと稜の数Ｅの関係は、
2Ｅ ＝ 3Ｆ
これにＦ＝18 を代入してＥについて解くと、
Ｅ ＝ 27
オイラーの多面体定理から
Ｖ －Ｅ ＋Ｆ ＝ 2
これにＦとＥの値を代入してＶについて解くと、
Ｖ ＝ 11
すなわち、デルタ18面体の頂点数は11個、稜の数は27本となる。
次に、頂点の内訳を求める。
3価の頂点数をＶ3、4価の頂点数をＶ4、5価の頂点数をＶ5とすると、整凸多面体（面がすべて正多角形からなる多面体）なので、
Ｖ3 ＋Ｖ4 ＋Ｖ5 ＝ Ｖ ＝ 11 ・・・ （１）
3Ｖ3 ＋4Ｖ4 ＋5Ｖ5 ＝ 2Ｅ ＝ 54 ・・・ （２）
（ある頂点がｎ価というのは、その頂点から出ている稜がｎ本あるという意味。同時に、その頂点に集まる面もｎ枚である。）
3価の頂点が1つ以上あると仮定する。
Ｖ3 ≧ 1
残りの頂点数の平均価数を求めると、
(54－3)／(11－1) ＝ 51／10 ＝ 5.1
価数が6以上の頂点は存在しないので、これは矛盾。
したがって、3価の頂点は存在しないことが分かった。
Ｖ3 ＝ 0
これを（１）、（２）式に代入して、
Ｖ4 ＋Ｖ5 ＝ Ｖ ＝ 11
4Ｖ4 ＋5Ｖ5 ＝ 2Ｅ ＝ 54
この連立方程式を解くと、
Ｖ4 ＝ 1，Ｖ5 ＝ 10
すなわち、4価の頂点数は1、5価の頂点数は10である。
最後に、以上で求めた値を使って多面体の構成を試み、矛盾を導く。
唯一の4価の頂点をとり、その下方に4枚の正3角形をつなぐ。
底に4辺形（必ずしも平面上にない）の穴が空く。
4辺形の4つの頂点はすべて5価なので、4辺形の各面に1枚ずつ、また別に各頂点に1枚ずつ正3角形が接する。
下方に再び4辺形（必ずしも平面上にない）の穴が空く。
この4辺形の4つの頂点はすべて5価で、すでに3枚の正3角形が集まっているので、残りは4辺形の各面に1枚ずつ正3角形が接する。
これら4枚の正3角形は1点に集まり、これで完結する。
これまでに出てきた頂点数は4価のものが2個、5価のものが8個、合計10個、また正3角形の面の数は16枚である。
これは双正4角錐反柱すなわちデルタ16面体であって、頂点を11個、面を18枚もつデルタ18面体ではない。
したがって、デルタ18面体は存在しない。
／／証明終り
要するに、実際に作ってみようとしたけど、やっぱりできないでしょ、ということですね。