コクセター『幾何学入門 上･下』の内容紹介第7弾です。
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第9章「複素数」第7節「共形変換」から。
複素数ｚは、2つの実数を用いて ｚ＝ｘ＋ｙｉ という形に表されます。
実数部分ｘを横軸、虚数部分ｙを縦軸にとって平面上に表示したものが、「複素平面」です。
複素変数ｚに一定の複素数ｂを加える変換
ｚ' ＝ ｚ ＋ｂ
は複素平面上の併進であり、ｚに一定の複素数をかける変換
ｚ' ＝ ａｚ
は 0 を中心とする回転拡大です。
後者はａが実数であれば拡大となり、ａの絶対値が1であれば回転となります。
一般の正格相似変換は、一般１次変換
ｚ' ＝ ａｚ ＋ｂ
となります。
ここでａの絶対値が 1 であれば(｜ａ｜＝1 )、正格等長変換となります。
ｘ軸に関する鏡映は共役複素数をとる変換
＿
ｚ' ＝ ｚ ＝ ｘ －ｙｉ
となります。
一般の変格相似変換は、共役複素数の一般１次変換
＿
ｚ' ＝ ａｚ＋ｂ
となります。
ａの絶対値が 1 であれば、変格等長変換となります。
0 を中心とする半径ｋの円(｜ｚ｜＝ｋ )に関する反転は、
＿
ｚ' ＝ ｋ^2／ｚ
となり、ａを中心とする半径ｋの円(｜ｚ－ａ｜＝ｋ )に関する反転は、
＿ ＿
ｚ’ ＝ ａ＋ｋ^2／(ｚ －ａ)
となります。
正格または変格の任意の円円変換は、１次分数変換
ｚ' ＝ (ａｚ＋ｂ)／(ｃｚ＋ｄ)
または ＿ ＿
ｚ' ＝ (ａｚ＋ｂ)／(ｃｚ＋ｄ)
で表されます(ただし ａｄ－ｂｃ≠0 )。
ここで相似変換であるかないかで、ｃは 0 か 1 の値をとれます。
逆に、1次分数変換はすべて円円変換となります。
さらに、変換が円円変換であることと等角変換であることも同値です。
------------------- 続 く -------------------