てんそるの物理学学習日記 -5ページ目

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27Dec
- 高校物理でお悩みの方へ送るヒント(2)
  前回の書き方があまりにもアレだったのか、評価は低かったようなのでいくらか丁寧に書いてみたいと思います。ニュートンの運動方程式を１つの力しかかかっていない場合のものと考えるとだいたい困るのですね。具体的には、複数の力がかかっている時にどう競合するか？という問題が起こるわけです。残念ながら、運動方程式のFはそれを込みで考えなくてはならない。つまり、全部の力をベクトル的に足し算して考えなきゃならんのです。ということを桑子研さんだったか、高校やさしくわかりやすい物理基礎/文英堂￥1,188Amazon.co.jpだったか、どこかの本で見ると、打ち消していった最後の残り物について、maだなどと表現していたりするケースもあります。まあ、作用反作用則を、「打ち消しの法則」(注意:一般的に打ち消すという表現がさすものとこれは異なる)とでも考えれば、その最後の打ち消しにこの加速度を入れてあげることを要請できてある意味ではそういう、力とは必ず打ち消されるべき、というような思想をある程度認めることができるのですが、その場合は力の座標不変性を認めて慣性力という力を導く必要があるわけで、それで静的な系に移行して作用反作用則を構成する必要があってえらい難しいことになるわけで、まあ、本質は難しくなってしまう気がするのですが、そういうのをいろいろ知りつつそれらの論理的な立場の入れ替えができるようになるまで理解するというのができるといいのですが、まあ、「とりあえず」は１つのやり方に従って、とりあえず問題を解いていくというのが多分普通の手法ですが、ここで間違えた時に。(1)模範解答を見る(理解する)(2)模範解答と自分の解答の共通性と異なる点を見るというのはやはり大事になってくる。そして、特に異なる点について(3)参考書並びに教科書でどう考えるのかを調べるという感じか。中学校までと違って同じようなものに使う式が複数個あったりして、理解が浅くても意味を分かっていなくてもとりあえず式の立て方がほぼ一通りに収まるようなことがなくなってくる。逆に言えば、中学校までなら点数を取れる程度の状況でも高校では「分かっていない」「理解していない」と言われる状況であることは少なくない。もっとも勉強とは覚えることではない。最低限として、目の前の先生がしている程度の授業ができるようになるまで本来は理解することが必要だろうか。という、そんな意識を持ってみると穴だらけになるだろう。もっとも、私にそれができているか？いえ、まったく。
18Dec
- 年賀状
  今年も残りわずか。2016年は申年ということで、一応は「物理」の人間、年賀状も、12年に一回ながら、物理屋としての色を出せないかと思って、頑張ってます。ヒントは高校の最初の物理の最初(?)の定量計算「自由落下」と3番目(?)の定量計算のお題「斜方投射」との複合応用問題(なので一番最初にやるときは「応用問題」扱いなんですね...)もうお分かりでしょうか？「モンキーハンティング」をなんとか掛け合わせて年賀状を作れないかなと。「2016年(猿)は銃声を聞くと驚いて手を離す。この時、音速と驚く速さは十分速いものとする。銃は弾を放つ直前、2016年の方に向いていた。2016年は見事に捕まり、無事明けました。」という物語。ここで１つ問題がある。重力で玉が落ちる影響を気にしなくていいのだろうか、という問題。それについて、「まったくその影響は存在しない」というのが、このモンキーハンティングを解くとわかる。モンキーハンティングの問題自体は至極単純な話で、「どの物体も同じ加速度を受けていれば、結局はその加速度を考えない結果に一致する。」というお話ですね。それはもう少し一般化すれば、「慣性系では等速直線運動する(その結果猿に弾が当たる)」という現象について「物理は座標に依存しない」という原理を組み合わせた帰結です。(まあ、重力は、「座標の取り方を変えることでどの場合も打ち消せる」という一般相対論的な原理が入ってしまってはいますが)それが「座標に依存しない」という物理の原理として自明であってほしい帰結を具体的に確認するべく、わざわざ面倒な「加速度系の座標で」計算して確認しましょう、というものなわけです。そんな面倒なことをしても、意味が見出せないと「わ、当たった」で終わるか、それならまだいい方で、「あーなんかあったわ、そんな難しい話」となってしまうわけですね。一般相対論と違って、重力は座標変換で「大局的に」つまり、「どのような点で観測される重力も同時に」打ち消せるということを含んでいるので、一般相対論を思えば、すごい簡単だし、同じ慣性系に乗っかるので自明になってくれる。一般相対論(ほど立派な理論を考えなくてもいいですが)では、猿にとって重力を打ち消す座標を取っても、それは「猿の周りのみ」重力がないのであって、他の点では重力の効果が現れるので、モンキーハンティングはうまくいきません。しかし、実際のところ、猿というスケールで考えればまったく問題ないのです。
17Dec
- 理科教育
  自然科学、あるいは小中高校では「理科」を見ると大概「物理」「化学」「生物」「天文」「地学」...などと分類されている。理科教育では天文と地学は「地学」に分類されている。私はどうも、ある程度学習して何かしら「肝」を掴むとその瞬間に何のことはなしに色々と扱えるようになるが、それまでは全く何もできない能なし、という極端さが昔から激しいようで。まあ、何かしらの「原理」の存在を信じてやまない上に、盲信する癖があるようです。かなり色々な害悪を被ってきましたがそれ以外のやり方も知らないし、まあ、仕方ないですね。キモをなんとなくつかめていた「物理」は高校時代もそこそこ点数がよかったが、「化学」はもう全くと言っていいほど点数が取れず、とある予備校模試で物理の偏差値と化学の偏差値の差を「51.2」開かせて、教官から「同じ理科の時間だからって、苦手科目捨てて受験とかしたらあかんで」などと言われたりする始末でしたが、化学は本当にできないまま受験期を迎えたために「地学」で受験に挑むことになったのです。まあ、1年目は落ちましたけど、急造の割にはいい点数を取れたので、2年目もう一度化学で挑戦しようと思ってもやっぱり見通しが立たないまま迎えた夏に地学での受験に切り替えて、結果、合格できたのも懐かしいです。実際のところ、高校化学で越えられなかった壁は大学で熱力学、統計力学、量子力学あたりを学ぶ中で見通しがついてきて、今の方が多分当時よりいい点取れると思います。剛体の回転運動が通常の運動方程式と別個に記述される高校の力学も気持ち悪いものでしたが、高校化学の諸々の気持ち悪さも大学で学んだ結果を見てようやくにしてある程度解消できたといいますか、まあ、そういうところがないと、身につかないのです。大学に入ってからの環境の変化や、得られた経験はそれ以前と比べて随分と異質で、例えば小中高校の理科の教師の研修会なんかにも参加するような事とかもあって、そこで聞いた話では「地学は理科から物理、化学、生物を引き抜いた残りだ」などという表現を聞いたりもしました。それゆえ、見通しの悪い、履修者の少ない科目、というようなことを聞いたような気もします。私にとってはそんな地学の方が受験の時には「テキトーにやっても点数のくる科目」というありがたい地位を持っていてくれて、おかげで大学受験を成功させられたわけですが。ただ、それは文科省謹製「理科」のお話ではないか、と。私の中では「自然科学-化学-生物-...」が「物理」ではないか、と思うのです。原子物理学という分野がありますが、この中で「エキゾチック原子」なんてものを見れば、とりあえず存在する粒子を使ったらどうなるんだ？という感じがありますが、それは対象を粒子ではなく、「元素」にすれば通常「化学」というジャンルになるでしょう。原子物理や原子核物理の部分のいくらかは、物理としての特性を持っていないわけではないが、ある種「化学」に近いにおいを感じるし、物性物理などはもろに化学と対象に被りがあるような気がしています。まあ、私の専門からは遠いので何も知りませんが。そうなった時、物理とは何か、となると、自然科学から化学、生物、...を引き去った残り物、というような性質が強いのではないか、と思ったりします。ただし、化学屋の人から見るとそうではない気がします。というのも、原子のダイナミクスそのものや、化学変化のダイナミクスそのものを扱う普遍的なベース理論を作ってるのが、物理で、というような見え方をするのではないか、と。つまり、その立ち位置はある程度明確化されているように見られているのではないか、と。それは引き算の「残り物」のスタンスではない。それはおそらく生物屋にもある程度、思ってもらえるかもしれない。すると、この差異は何が起こしているのか、という疑問もわいてくるのです。大学の先輩の方が、このような話をしていたことがあります「人間なのか人間言語なのか、それは点でしか物事を認識しないな」すなわち、「物理」「化学」「生物」...という単語はそれぞれある種の「点」のように認識される。しかし、実際は、面状、立体状に、広がりを持っている。その広がりの中で、それらの点は曖昧な境界を持っている。小学校の理科は1科目。中学校では一応「一分野、二分野」という分離がある。高校では4科目に分割される。小中学校くらいではおそらく、「自然のお話」なのだろう。点を与えて分割する意味すら限られている。高校では一応、分割可能な切れ目があからさまになるくらいには内容を持つ。しかし、それは古くからの主要なものをややもすると古いままに、つながる間を埋めることなくパッケージ化してしまったものに過ぎなくて、実際はその間が連続していたり、わざわざ異なる分野名や学問名をつけていたりしている、という実態がある。教育のパッケージそのものを変えることの発想は全く足りていなくて、単にある程度決まった範囲で内容の入れ替えや追加もしくは削除、しかこの数十年できていないのではないか、という議論も度々聞いてきた。大学制度ができてから、現在に至るまでにはかなりの時間を経ていて、多くの分野で色々な変化が起きている。たまたま東京大学という、未だに教養重視の制度がとられている大学に入って、その制度を取っている理由として、より新しい、より先端に近い知識を得てからでないと専門を選べないだろう、というようなことを聞いたことがある。高校の「専門」教育が実態とかけ離れてきて、以前であれば「専門の前段階」というにふさわしかったとしても、今ではさらにその前段階にまで落ちているのではないか、という指摘である。とはいえ、どうあがいたところで、高校の理科教育を最後に、物理など学ばない、というか、下手したら、「物理」を学ぶことなしに大学生になって、社会へと出て行く人は少なくないのが現実。しかし、幼い子供が親に尋ねる質問において物理あるいは数学の本質に関わる質問は、殊の外多い。もちろん、そのまま物理の知識をぶっ放せ、とは思わないけれど、そこでいかにわからぬことをわからぬといい、それでもできる限りの答えを用意し、それができる限り正しいものであれるか、を思えば、基礎物理は本当の意味で「教養」だと思う。理科教育とは果たしてどうあるべきなのか？答えのない問題だが、なんとなくでも意識してもらいたい
16Dec
- 高校物理でお悩みの方へ贈るヒント(1)
  機械的にやればいい。ただし、問題を解くときに、無理に答えを出すのはやめろ。問題を解くときに必要な要素、例えば、力や速度とか、そういうパラメータを問題中にメモして、それらの間に成り立つ関係などでわからないものをメモして、一個ずつ原理的にしらみ潰ししていけばいいのだが、潰せない関係が出てきた時、教科書やノートや参考書を開け。以上
15Dec
- 粗視化と微視化が同じ
  水にせよ、空気にせよ、その存在は連続的で、なめらかだというか、そのある種の領域を占領しているのであって、まさか粒があって粒の間が空洞、とでもいうような描像を初めて見た時から想像する人はそんなにいないだろう。実際、水などは例えばコップに分けて入れても、それぞれを別個に物理的性質を考えられるように、物理でも、仮想的に空間上でマスを考えて、その全てのマスで各々温度や速度などの物理量を考える考え方を採用し、このマス目をとても小さくして「連続関数」という性質のいい関数で考えるようにするやり方が存在している。しかし、現実は原子分子モデルであり、気体などで見ればほとんどのところはその原子やら分子がない、スカスカ、ということを学校で習う。この２つはどうつながるのだろうか。物事を考える時、細かい事情まで丁寧に組み込んだ方が、より正しく計算できるだろう、というのは正しい発想だろう。物理理論で考える時はもちろん細かいところの世界をちゃんと組み入れた理論を構築する方が、正しいと考えられる。ところが、細かい事情を見すぎると欲しい結果を得るための計算が不可能になってしまう。そのために、水や空気などを考える時、原子スケールまで細かく見るのは避けることが多い。原子論が指すのは、「コップに分けて入れて」も、性質が同じであるというのがどこまでも繰り返しできるわけではないことを言っているのだが、ある程度まで細かくできてしまえば、もうそれはどこまでも細かく見ているのと扱いとして同じにしていいだろう、という数学を楽にする便法で、ある程度の限度を「無限小」と読み替えることを考える。これよりも細かく考えると、「原子」の性質が、つまり、「粒」の性質が露骨に出てくるから、それより細かく見るのはやめておいて、その限界を「無限小」と読み替える、という操作になる。もちろん近似だが、目に見るよりはるかに小さなところまで細かくできるのだし、誤差よりちいさく切れるなら、どこまでもできるだろう、というのは物理としてはよくやる便法である。この操作、「粗視化」という。粗視化は「流体力学」や「弾性体力学」と呼ばれる分野の基本的な発想である。いずれにせよ、「粗視化」によって本来つぶつぶがあらわに出てくるはずの世界で「連続関数」を使うことが許される、というものだ。しかし、原子を扱うとどうも本当の点ではないことがわかる。そして、素粒子を考える時も、完全な点で考えること自体は悪くはないのだが、そういう素粒子がタダで存在しているわけではなく、時空点を変数に持つ関数である「場」を背景に持っていて、この連続関数である「場」は現象を見ると「粒子」として現れる、という現象を見ているのだ、と。微視化して作った理論はやっぱり最後は連続関数なのだ、という。かたや近似で遠目に見た時、かたや、どこまでも細かく見た時のピクチャーがどちらも連続関数という技法で扱われる。どちらへ移っても、時空点を変数に持つ関数に強い意味が見出される。関数の種類は全く違うが、面白い構図だと思う。
14Dec
- 縦書き物理(スケール比較の技術)
  ふと、縦書き物理を思い出した。縦書き物理というのは、数式等を使わずに物理を紹介する一般向け啓蒙書のことだが、それは本質を伝えきれないが、ある程度持っておいて損はない教養である。縦書き物理でよく話題になるのは相対論と量子論、というのはもうずっとお決まりパターンなのだが、やっぱりその二つは難しいからそれを伝えようとする。と、いうのも通説だと思うけれど、それはいくらか間違いである。というよりかは、相対論と量子論を語るのは、「現時点において物理学で最も正しい大前提となる知識であるから」である。少なくとも「ニュートン理論を含めたあらゆる理論のうちで最良の理論が相対論と量子論」ということである。ちょっとだけ書いてみようか、と。一般に、物理が扱う対象と、それに対応して使うべき理論を述べる。まず、「相対論的」と「非相対論的」という区分がある。前者の方が計算が複雑になることが多いため、できれば非相対論的理論を使って計算したいが、世の中で本当に正しいのは「相対論的」な理論である。従って、非相対論的理論を使っていいかどうか、という目安があると、効率よく、どちらで計算するべきかがわかる。もう一方の尺度で「量子論」と「古典論」がある。こちらも正しいのは量子論なのだが、量子論は欲しい結果を得るためにいくらか複雑な処置を施す必要がある。故に、古典論を使えるといい。もちろん、ある種の目安を持って、古典論を使っても妥当な結果が得られるかを比較できるので、古典論を使っていいかどうかの目安を知っておくといいわけだ。ところで相対論というと通常はそれを前提とした古典理論を指し、従って、その修正を云々、と書かれるが、相対論というものは「時空の幾何的扱い方」すなわち、「ユークリッド幾何学」の拡張と思っておいてほしい。古い理論ではそれをニュートン力学の修正のための前提として使い、相対論的力学というものが構築される。その相対論的力学ではエネルギーと運動量が修正され、E^2=m^2c^4+p^2c^2という関係が導かれる。例の「E=mc^2」はこのうちの最初の項を平方根をとったものだ。ここでmは質量、cは光速度、pは運動量である。ただし、運動量はmvではない。pの定義はややこしいが、速度をvとしてv=∂E/∂pとなるように、pを定義しておく。ニュートンの理論というのはm^2c4>>p^2c^2の時に正しい理論となる。だからこそ、前の項を抜き取ってきて、わざわざスローガンのようにしてしまったのだ。従って、「相対論らしさ」が出てくるには、逆にp^2c^2がm^2c^4に近づいたときである。これを特徴付けるために、√(p^2c^2/m^2c^4)=p/mcをκと表すことにしよう。κが1に比べて十分小さいとニュートン理論で近似してもいいし、1や、それよりも大きな値になってきたときには相対論を使ってあげないといけない。一方の量子論は、位置と運動量など、同時に値を確定できないパラメータが存在しているということを教えてくれる。この時、その「不確定」な幅について位置と運動量であれば、△x△p>hというのが量子論の指し示すところである。不等式なのはなぜか。つまるところ、「最大限、位置も運動量も確定させようと頑張るとしても」△xと△pの積をプランク定数hより小さくすることはできないよ、ということである。それは最終的には、△x△p=h程度で見積もられる範囲で、測定する量と対になる物理量が、本質的に「バラツキ得る」という意味も持っている。つまり、単なる測定技術の限界を示しているだけでなく、世の本質がわざわざこの数値をばらつかせてくれる、と思ってくれればいい。それゆえに、どうあがいても、この範囲ではばらついてしまうわけだ。その最大限どの数値を実測したのかよ？と思うかもしれないが、そういうわけではない。ある種の理論的操作の帰結として、そう解釈するべきパラメータの決定方法が決まり、その結果に過ぎない。その内実が気になるんだよ！と思う人は例えば量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために (新物理学ライブラリ)/サイエンス社￥2,160Amazon.co.jpあたりの教科書を手に取れ、という話だ。さて、実際の物理の世界では△xや△pはけたたましく大きい。普通の定規で長さを測ったら1mmより小さい範囲に目盛りがないわけだから、せいぜい0.1mmの精度で測れればいい方だ。故に、小学校以来はかってきた長さは本当は誤差つきの値で、我々はその誤差をちゃんとx±△xなどとメモしておかないといけないのだ。もっとも、△の評価なんてどうするんだよと思うだろう。量子論の場合のその評価の意味合いは「同じ状態を測定した時に取った値のバラツキ（標準偏差)程度」とでも思ってくれればいい。実際、量子論の基礎でも読んでくれれば、それがわかるだろう。hは10^-34である。つまり、0.00...と0を34個並べてようやく１けた目を見ることができる。とても小さい値だ。故に、我々の通常の測定技術ではh/(△x△p)<<1となる。よって、今h/(△x△p)=μとでも置いておけば、μが十分小さい時は量子論くさい、と思っておけばいい。この二つを使ってあげると、よく見る現象で「非相対論近似」あるいは「古典論」を許してもらえるか否かが判定できる。１.原子を考える時は古典論ではダメだが、非相対論で良い原子というものは10^-15mくらいの大きさの「原子核」の周り、半径が10^-10mくらいのところに電子がある。そして原子核は電子に比べて極めて重く、従って運動しているのは電子で、現象に反映されるのは電子の運動状態である。従って、電子について考えればいい。まず、半径が10^-10mのところに「電子がある」と述べた。ここでラザフォードモデルみたいなものを知っている人だともっとちゃんとした「つぶ」があると思っているのだろうが、そうではない。量子論では、「大体その範囲で収まっている」に過ぎない。それをちゃんと示すにはシュレディンガー方程式を立ててエネルギー固有状態を調べなくてはいけないが、通常原子を見るときはその「エネルギー状態」を気にするので、それが不確定になるような、位置を決定させることはしない。あれ、運動量と位置が不確定だったのでは？と思うかもしれないが、それは「明確な不確定性が決まるのが」その二つなのであって、エネルギーとの間だって、不確定だ。従って、電子の位置の不確定性は10^-10mである。それが原点周りにあるのである。そう見てあげないことには、原子が「基底状態」か「励起状態」かを見てあげられず、つまり、位置を無理やり決めたために、変な原子になってしまうかもしれないのだ。ということは△pはというと...いや、よくよく考えて欲しい。今置かれている状況は電子が原子の中心の半径△x=10^-10mの範囲に収まっている、というもので、つまり、中心に止め置かれている。ということは、古典的な意味を思えば、pの期待値はつまり速度の期待値のようなものは0に成るだろうさ。ということはだ、相対論の時を思い出そう。mc^2とpcを比較しろ、と言っているのだ。しかし、pは期待値は0、だが、△p程度までの間ではぶれるから、その程度までちゃんと見てあげて、全体的に「相対論的でなくても大丈夫？」と考えてあげないと、時々か、あるいは、ほとんどの場合に相対論的に考えないといけない可能性が出てしまう。だから目安として(△p)cをmc^2と比較する。こんなことをしたのはhやcの値が使いにくいからだ。物理屋は嫌なのでhcという掛け算を2πx197MeVfmと覚えている。(2πがあるのは本来hではなくhバーを使うからなのだが、タイプできない都合である。)そしてMeVだのfmだの、変な単位が出てきた、と思っているだろう。MeVとはエネルギーの単位だ。電子の質量にc^2をかけると電子質量に対応するエネルギーが出てくるが、これは511KeVである。fmは10^-15mの事である。故にだ、量子論の結論的には、△pc=hc/△x=2πx1.97 KeVである。これが511keVに対してこれは十分に小さい。よって、相対論はいらない。もっとも、ここでいうのは「運動」に関するもので、他の特性で相対論由来のものが実はあるのだが、そういうものは「付け足して」考えればいい。あ、で運動量を出すためにμ=1を使っちゃった。実際、運動量のバラツキが質量511keVに対して10keVにも及ぶ運動量があり、これは速度的には光速度の1/50にも及ぶバラツキである。こんなスピードを測定できないと思うなよ、というわけだ。もっといい精度を目指せるよ、というわけだ。まあまあ、それ以上の精度にすると位置の精度が悪くなるから控えてくれ。そう、それゆえ、量子論は必要なのだ。２.原子核を考えるには相対論が必要だ。原子核の場合は、原子核のサイズがfmスケールであるから、原子核の構造を知るにはより小さなスケールで測定できなくてはならない。ゆえに、1fmの誤差ではちょっと足りない。もう少し頑張って、0.1fmくらいにしよう。そうすると、(△p)c=1970MeVである。陽子質量に対応するエネルギーは937MeVなので、そう、普通に大体同じ桁なのだ。よって、原子核を判断するには相対論が必要だし、量子論はそれがなければ話にならない状況になってくる。３.SFものの宇宙船を考えるには量子論は必要ないが、相対論は必要だ。エネルギー運動量で比較するのは難しいが、速度を光速度と比較すれば実は良い。きわめていい加減だが、ニュートン理論での運動量p=mvを使えば、mc^2とpc=mvcを比較しているのだから、cとvがどうか、を見ればいいというのは見当がつくだろう。v/cをβと表すことが多い。物理屋はβが1から十分小さい時はニュートン理論を使っていいが、そうでない時は相対論を使う基準としてよく使う。さて、量子論を使う必要はあるだろうか。正直に言おう。ない。なぜなら、宇宙船の1/10000のオーダーで見積もるとして、宇宙船と人間が大体同じスケールだったとしても、△xは0.1mm。△pを10^-30(kg・m/s)で見積もれるというが、どうあがいても無理です。質量をそんな精度よく測ることがまず無理で、せいぜい5桁。それだけで確実にアウトなのだ。しかもそれは宇宙船に人が乗り込んでるかどうかなどを一切考えていない。人が乗り込んだら質量が普通にパーセントの割合で変わるだろうし、それで動作が変わるようではまともな宇宙船とは言えない。我々は設計者に文句を言わねばならない。よって、SFものの宇宙船は量子論を考える必要はない(というか、ないようにしないと宇宙船としてまともに動作しない。)さてとまあ、こういうスケール比較技術はそこそこ普通の人たち向けに書かれているわけです。そして、スケール比較技術を教えたおかげで「じゃあ相対論だね」「じゃあ量子論だね」と言って、それを道具にしたお話の始まり始まり、となるのですが、スケール比較は「相対論の結果」ならびに「量子論の結果」を引用してきたものに過ぎない。つまり、「相対論」ならびに「量子論」という読み物の端切れの結果を引っ張ってきたに過ぎない。もちろん、本質を突いているからやたらと持ってくるのだが、縦書き物理は常に、「結果」を引用して、その解釈を教えてくれるだけで、その内容は教えてくれない。スケール比較技術を知ったら、次に扱いたい問題のスケールを確認する。それがどうも相対論くさそうだったら、相対論を勉強しなくてはいけないのだし、量子論くさかったら量子論を勉強しないといけない。なぜか。実験値の精度が悪かった古い理論ではy=axとなっていたとしても、それを精密に測定し、それによって理論の修正が求められたとしよう。その結果として例えばy=ax(1+e^(-kx))となっていたとする。このように何かしら変化が加わることは少なくない。全く異なる関数がそのズレを表現する場合であっても、これから述べることは共通なので続けてみてほしい。実は、今自分たちが「スケール比較」で考えていた値というのは「kx」あるいは1/kxだ。このe^-kxは新しい理論で初めて導入された「ズレ」部分だが、それが有効なのはkxがせいぜい1までの範囲で、それよりも大きくなるとほとんど0になって、測定誤差に隠されてしまう。xには長さや質量、運動量などが入るが、eの指数の上に乗るには無次元でなくてはならない。どういうことかというと、単位の取り方によってはいけないということだ。それゆえ、次元を潰す定数が必要なのである。量子論はその定数をhというものとして現れてくる、その現れ方は測定値の誤差の形である、という理論で、相対論はその定数をcという形で現れてくるもので、これは光速度だ、という理論だ。ニュートン以前の理論は、スケールとして取るべき基本定数が自然依存なものではなかった。つまり、そのようなものを見出すことができなかったのだ。それゆえ、テキトーもとい、人間中心主義的に作ることができた。しかし、その限界が現れたのが量子論や相対論なのである。もっとも、我々は実はもっとはるか昔にある意味で「限界」を見つけて、それに対応する「理論」を作ったことがある。通常我々はそれを「数学」と呼んでしまうが、「幾何学」はれっきとした、この「空間」の性質である。三角形の長さの取り方が三辺共自由とはいかない、という。まあ、「直線で構成されている」という前提あってだが。ただ、直線という制限を加えてなお、自由であってもいいかもしれないが、それが許されていないのだ。そういう「限界」を大昔に見つけていたのだ。ある意味で私は物理だと思う。いや、それは極論かもしれない。まあ、確かに幾何学は数学なのだが、それで得られる数値を我々が実際の場面で「使う」のは物理の世界だ。それを実測したり、それを誰かに伝えたり、それを元に誰かが何を意味しているかを解釈することは。ただ、あまりに日常すぎて、その部分をいちいち「物理」と言わないだけだ。ニュートンはそれゆえに、素朴な「長さ」についてその「幾何学」の知識を最大限に活用した。だが、限界に行き着いた。新しい限界を。それを相対性理論と言ったり、量子論という。それらは今まで無制限に自由だと思っていたものをスケールの取り方と関係する定数cとhという２つを伴って、ある種制限を教えてくれている。量子論と相対論はある意味で、より一般的な物理の形式やより一般的な幾何学に過ぎない。三平方の定理がことごとく常識であるのと同じように、ローレンツ変換は(cdt)^2-(dl)^2=一定なのである。それを知らなくて済むところは教えないが、必要なところでは教えることになる。物事を考える上で相対論が必要そうになったら、縦書きを離れて相対論の教科書を、また、量子論が必要そうなら、量子論の教科書を手に取ることが良いかもしれない。技術的に欲しいものを色々と書いてくれている本は力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)/筑摩書房￥1,620Amazon.co.jpが整然としているでしょうか。
13Dec
- 分野ごとの論理構造
  論理構造が複雑なものの学習はいかにか難しい。それが明確に見えないまま展開されることが多いので熱力学と電磁気学についてはそれを記述する。・熱力学１平衡状態が存在し、それは必要十分なパラメータで区別できる。２熱力学法則の存在を示した上で、(ここでバラツキが存在するが多分最大流派は)3エネルギーの出入りを表すdU=TdS-pdV+μdN...式について考える。(i)エネルギーは保存するはずである。ゆえにうまいパラメータ(ここに「温度」を入れてはいけない！)を用意してそれが「平衡状態」を一意に記述していれば、U(s)みたいな関数でエネルギーを記述できるはずで、どう状態を変化させようとも、一周戻ってきたらエネルギーの変化がゼロになっているはずだ。→そのうまい変数をS(エントロピー)と呼んで定義しておこう。→そうするとU(s)を全微分したらdU=TdS-pdV+μdN...になってて微係数は物理量と対応がつくじゃん。それに、全微分なんだから可積分条件持ってるからある関係が成立するね(マクスウェルの関係式)(ii)エントロピーを定義して熱力学第二法則を見てみると「エントロピー」が「取りうる最大値を取る」ぞ。じゃあ、熱力学第二法則は「エントロピー最大原理」と読み替えましょう→でもエントロピーって勝手においたもので使い勝手悪くない？→ってか、変数に温度が使えないとかゴミだろ４使いやすい変数を持った熱力学関数を構築しよう⭐︎ルジャンドル変換使うと微係数の意味を保てて、かつ最大値(エントロピーをそのままではなく逆関数を使ってエネルギーからルジャンドル変換するから「最小値」だが)条件を生かせるよ⭐︎ただルジャンドル変換できるものであるからには「凸関数」じゃないといけないけど、最大最小性を極大極小を探す式から出せるし、そうおいても大丈夫だろ(注：相転移現象が絡むとき統計力学と合わせて考えるときなど、問題がないわけではない。という流れによって構築される完成版の熱力学である。よって１状態を表すパラメータの組み合わせがあり、それに対応する熱力学関数が存在する２熱力学関数はエネルギー保存則と対応して示量変数の微係数から「力」を、熱力学第二法則と対応して、到達される平衡状態は到達可能な状態の中でその関数の値が最大もしくは最小を示すような性質として対応する。ゆえに、ゴールは「状態と、対応する関数があって、その性質を見れば対応する平衡状態やどの平衡状態が選ばれるかなどを調べられる」というもの。熱力学はわりかし多くのことを教えてくれるとはいえ、使い方とか見通し自体はそこまで悪くはないだろうと思う。清水先生の教科書はあえてこのゴールから逆順に観測される法則を説明したり、使い方を示している。熱力学の基礎/東京大学出版会￥4,104Amazon.co.jp・電磁気学１通常の物質と類似し、すなわち移動や時間経過による「消失」や「生成」のない(厳密には「連続の方程式を満たした」)と仮定される「電荷」「電流」の存在を認める。２電荷電流に対してニュートン的な力がかかっている時にその性質から「電場」と呼ばれるものと「磁場」というものを与えると「ローレンツ力」という形でその力を解釈できる(またそうすることで電場や磁場を定義できる)３電場や磁場と電荷、電流の間には現象的には「電磁誘導」あるいは「電流磁場」などというような形で現れる相関がある。これらは数学的には電磁場の幾何構造として認識され、幾何構造を扱うために「面積分」と「線積分」の二つでそれぞれ「電場」と「磁場」を見た時の法則として、つまり総計4つの法則を取り上げる。４ところが3の法則は積分の方法が場と電荷電流で違うため、数学の定理で変形すると「微分型マクスウェル方程式」が得られる。→ここで一番最初の電磁気学の授業はほぼ終わる。従って「現象的に確認される電磁場と電荷電流の間には微分型マクスウェル方程式なる関係性がある」が一番最初の授業の結論となってしまう...もちろんそこで終わったら終わりであって...まあ、そのあとの続け方はいろいろあります。そう。普遍的に使える道具が「マクスウェル方程式」ということまで揃えておいて、あとは出口戦略で専門化。たとえば→時間変化のない仮定を置いて適当に計算するとマクスウェル方程式からよく知られる関係性が出てくる→回路素子の内部で起こっているようなことを計算することでたとえばコンデンサやコイルといった素子の性質を示すことができる。また回路を全体としてマクスウェル方程式の成立するべきものと見たり、回路上の一点について連続の方程式を考えたりすることでキルヒホッフ則などを得られる→エレクトロニクスの前提知識を得ることができる→真空を仮定すると微分の性質から場について二階の線形微分方程式を得られて、それは「電磁波の真空の伝搬」を示す→空間領域で分割して誘電率や透磁率などをいじってもうまい境界条件が示されるので、物質が異なるところの境界で起こることも境界条件等を調べるとわかる→光学的な議論も電磁気学から理解できる→実はフーリエ表示を使ったりするとうまい具合に微分演算子の処理ができて微分方程式を解けることがよくある(もちろん演算子の形によっては解けない。)→極座標を使って境界条件を表したいような場合などを扱うために微分演算子を極座標表示に対応した形式にするとそれをうまく扱う(対角化する)関数が必要になってきて、そういう特殊関数の扱いが実は結構必要になる→マクスウェル方程式ならびにそこから導かれる連続の方程式や波動方程式が「どの慣性系から見ても成立する」(共変)ものであると考えるとガリレイ座標変換は正しい座標変換を表していない(ローレンツ変換は正しい座標変換となる)→力学と電磁気のいずれかの修正要求→相対性理論によって解決→実験的に相対論が勝利→一般的な電荷や電流を与えてマクスウェル方程式を解くと電荷や電流が電磁場に引き起こす擾乱を記述する。すなわち、「電磁波の発生」を記述する。→もちろん光学的にも重要だし、電磁波を活用するあらゆる分野につながる→電磁場をポテンシャルで記述することでポテンシャルが実はローレンツ変換などの性質を見た時に本質的にきいてくることがわかる。→電磁場は反対称テンソルを使うとローレンツテンソルとして記述される。「ローレンツテンソル」という扱いだと判明することでローレンツ変換が明らかとなる。→マクスウェル方程式を見ると電磁テンソル自身が作用積分に寄与している。この時、作用積分の変数を「場」すなわち「ポテンシャル」に取ることになる。→ポテンシャルはゲージ不変性を持っている。→量子力学と組み合わせることで「位相回転」と対応が付いていることがわかり、場の量子論においては、「局所的に」この位相回転不変性を場に与えることで電磁ポテンシャルが必然的に現れることがわかる。この類の場を「ゲージ場」と言う。→電磁テンソル自身の作用への寄与が自由な「光子」のラグランジアンと解釈できる。すなわち、「光子」を定義することができる。そして場の量子論の計算において光子が通常の物質と相関する場合を計算する一連の扱い方を「量子電磁力学」という。→位相回転のやり方を変えることでさらに異なる「非可換ゲージ場」が定義される。そのうちワインバーグサラム理論、QCDは現実と対応がある。などとまあ、電磁気学は発展するわけです。しかしまあそういう発展をしたのもやはり電磁的なものが日常を占める多くの現象と関連しているからで、それに対応する「出口」が多いのです。出口が多い分だけ、「ムダ」も大きい。全部ではないが、多くの出口への道筋を書いてくれているのがジャクソンだろうか。電磁気学 (上) (物理学叢書 (90))/吉岡書店￥10,260Amazon.co.jpジャクソン電磁気学〈下〉 (物理学叢書)/吉岡書店￥9,720Amazon.co.jp
12Dec
- ふと思った疑問
  古典力学を扱っている場合においては「状態空間」は測定によって得られた「数値一覧」と言えばよかったわけで、しかもそれは都合、どんな理論でも位置と速度と時間というお決まりだったわけで、それらが満たす関係式を最大限一般的に説明できればいい、という理屈だったのだが、量子論では状態は「ヒルベルト空間中の要素」である。しかし、量子と名のつくものは実のところ「量子論を適用した」というだけで、後の細かい公理の置き方は異なる。細かい公理の置き方が異なるために、いろいろとバリエーションがある。そしてそのバリエーションはやはり古典論と対応があって、古典論で得意とする部門で得意というか、うまく説明を与えるものである。しかし、実はそのバリエーションのために、ヒルベルト空間の完全系の取り方が違ってくる。一番最初に量子力学を習うときには「位置は状態の完全系を張る」ということを宣言されるが、あっという間に「スピン状態は軌道状態とテンソル積を取る」と言われてしまい、つまり「スピンを考えるときには、軌道(位置)だけで全部を考え尽くすことはできず、スピン状態を独立に考えて、最後にスピン統計定理に基づいて両者の積を取る」という話が湧いてくる。何を言いたいのかというと、「状態」が何者なのか、という問題である。量子力学で考えるべき「状態」の選び方にはある程度の任意性が与えられていて、それと関わる理論の都合に応じた範囲で妥当な理論を構築できるということになるのだが、しかし、多くの場合、そこにある現実は一つである、と思うし、量子力学の指す「状態ベクトル」は我々の観測対象を指すはずで、その都合、おそらくば完全な理論では一意に「状態」が定義されてもいいのではないか、という公理を私は置きたくなる。しかし、それを置ける段階には今の所はないし、しかもその固有状態の扱いが理論体系によってかたや意味を持ってかたや意味を持たなくなるような例と思われることがある。具体的にはニュートン理論を最大限取り込んだ非相対論的量子力学では「位置」の固有状態は意味を持つが、相対論的な場の量子論では位置固有状態で相対論的粒子を表現することができない。では、非相対論的量子力学における位置固有状態は何者なのか。古典論ではニュートン理論を相対論からの極限操作で見ることが容易だが、量子力学におけるヒルベルト空間での「状態」は何を表しているのだろうか、と。場の量子論での演算子が位置や時間を変数に持っているためにデルタ関数のようなものを考えることで「位置」固有状態を張れるのかもしれないが...何かしらの連続性を見ていないあまりにどうも非相対論的量子力学と相対論的場の量子論が異なる固有状態を張っているのが気持ち悪いなあと。物性理論の方の場の量子論でも勉強しようかしら
11Dec
- 「原子の安定性」問題
  中学生でも原子が「原子核」と「電子」からなっていて、原子核の周りを電子が回っている、というようなことは授業で学ぶのではないかと思うし、高校では「ドブロイ波条件」を使って、軌道の量子化を見る。実は原子は原子核の周りに電子が回っていると考えたモデルは最初は比較的否定的に見られていた。理由のうちおそらく最大のものが、古典電磁気学における「制動放射」との結びつきで、「加速度を有する(＝等速直線運動でない。電子の軌道は円なので直線ではなく、加速度を有する）運動をする場合、光を放ってエネルギーを失う」ということが知られている。そのメカニズムを扱うには比較的高度に電磁気学を知らないといけない都合、おそらくお話で聞いたことはあるけれど、それがなぜかは説明できない、という状況が続くと思う。ただし、いずれにせよ、電子が回っているとエネルギーを放射して失ってしまうのでそのうち電子がどこまでも原子核に近づいて、壊れてしまうのではないか、というような話がある。量子力学でこの「不安定性」問題は「解決された」と言われる。しかし、大学で化学系を含めて、原子の周りの電子の軌道計算をしたことがある人であれば、その正体が単純にクーロン引力で電子を原子核が引きつけるモデルと同じ運動方程式を意味するシュレディンガー方程式を解いているとわかるだろう。ここで一つ疑問を持ちうる。制動放射の扱いをしていないのに解決されているのか、と。答えは、解決されている。なぜ解決されているのか、というのは制動放射が修正されたというわけではない。現に「励起状態から」は電子はエネルギーを失って、放射する現象を日常的に観測する。すなわち、基底状態の安定性さえ理解できればそれでいいのだが、実はそれは大した話ではない。ちゃんと説明しよう。制動放射は加速度運動をしている荷電粒子からエネルギーを奪っていく。これは高エネルギー状態(励起状態)から低エネルギー状態への「遷移」を引き起こす。原子核-電子系を考える時、つまり、原子核と電子をシュレディンガー方程式を解くことで波動関数を得ることができるが、量子力学ではエネルギーを確定させる「固有状態」を導出しておけば、「いかなる」、用意されたハミルトニアンを満たす(つまり運動方程式を満たす)状態も、その線形結合で表示できるという立場を取っている。で、古典的な描図でエネルギーを失って、いつか原子核に電子が落ち込む、というのは、「電子が原子核に近いほどエネルギーが低い」というように、「低エネルギー状態を目指すために」引き起こされる現象である。この「低エネルギー状態を目指す」というよく使われるスローガンがなぜ正しいのか、という理屈こそが、今回であれば「制動放射」である。日常的なものでは「摩擦」など、さまざまあるが、この例では、制動放射がその「摩擦」のような役割をしている。この知識を合わせて考えれば、量子力学的に実現される、最もエネルギーの低い状態が、制動放射によって実現されるという結論を得ることができる。それはシュレディンガー方程式を解くと(球面調和関数とか特殊関数が出てこないと書き表せないが)、その最低エネルギー状態は「電子が原子核に落ちた状態」ではなく、通常1s軌道と呼ばれる「状態」だった。つまり、量子力学によって解決された理由は「制動放射が実現する、最低エネルギー状態それそのものが崩壊したものではなく原子の体裁を持った状態だった」ということが原因である。なぜ量子力学ではその1s状態が最低エネルギー状態になったのか。よく引き合いに出されるのは「位置と運動量の不確定性」である。つまるところ、電子が原子核に近い可能性が高くなればなるほど、電子の位置が「確定」に近い状態になる。実際、不確定性が大体、原子の大きさくらいになるというか、ある意味でそれを持って「原子の大きさ」を決めることしかできないのが実情なので、原子の位置が確定すると運動量の不確定性が大きくなって、運動量がある程度大きい確率が増えると、それは原子を拡大させようとすることになり、この釣り合いがエネルギーを確定させる、というもの。まあ、それはおそらくば正しい。制動放射が起こる数式は加速度を参照しているのであって、エネルギー状態を参照しているのではないのでは、という議論ももちろん、ありうる。しかし、そのような状況であれば、電子は近くの光子を吸収してエネルギー的に釣り合うことが求められる。となれば、正味で、放射がない、ということになってくる。いずれにせよ、「放射が見られない」理屈はここまでで見ただけでは確かに説明しきれないのだが、シュレディンガー方程式が教えてくれるのは単純な原子核-電子状態の中に、あからさまに原子が崩壊する解がない、というものだ。もし崩壊するのであれば、クーロン引力が原子を形作る運動方程式そのものが本質的でない必要がある。ところが、制動放射はそれを否定しているわけではない。むしろ、クーロン引力のために、エネルギー減衰が軌道半径を小さくする。
08Dec
- 物理学習の順序(2)
  物理学が共通の言語としてきた数学という枠組みについても、学習が必要で、これの学習やその数学がどういうものなのか、ということもちゃんと扱わないと本当は物理の学習の順序は語れないだろう。さて、その中で物理の学習順序の話をしよう。歴史的には古いものは人間感覚的であるというか、人間社会人間言語に応じて作られている。新しいものほど、専門概念が出てくるが、それ自体の本来の意味はちゃんと学習しないとわからないようになっている。それはいろいろな理由があるが、基礎論という意味では、子供なら気にしても大人では気にしないような「馴れ」あるいは理由を問うても出てこないがなぜかうまくいく「公理」を新しいものほど非直感的というか、少なくとも人間の生きてきたところの「馴れ」からは遠くなるようにできている。というか「言い換え」「改変」を重ねているからだ。新しい着眼点を加えたり、それらをフォーカスしながら、歴史はそれを作ってきた。つまるところ、歴史の古いものほどわかりやすい気がするのだが、その理由は、生きる上で作ってきた技術に素直だからだ、という辺りだろう。と私は思う。量子論はその辺り全く直感的ではないかもしれない。しかし、そういう新しい理論が前提とした問題提起を理解しておいたほうが、本当の意味で古いフォーマリズムを理解できるだろうし、そういうフォーマリズムの学習だったら本当はどの形式からやっても大した差はないのではないか、と。少なくとも、問題提起をしなければ人間というのは「自明」と考えるが、問題提起をされると途端に「非自明」と思う生き物らしい。非自明でも正しいことを論理的に導ければいいが、そうでない場合我々はそれを公理としておかざるをえない時もある。量子論はその点、全くもって公理としてかなりいろいろ置いてあることを明示的に学習できる。だから、実は量子論からやってもいいのではないか、とも思う。もちろん、歴史に沿った学習をしないと専門化は上の学年で、なる一般的な形式には対応できないのだが、専門化というのは基礎論の上にある技術的な、応用をやるという場合には限らない。現に、量子論は古典論がなくてもいい。というか、逆の立場だ。量子論の極限から古典が出てくる。運動方程式とかそういう古典の枠組みを捨て去れなければシュレディンガー方程式はわからないし場の量子論はわからない。古典極限を知っておけば、量子論を組み立てるときに参照できるベースにはなる。とはいえ、モチベーションが生まれないというのもわからないでもない。いや、身近な形で引き出せないと私自身モチベーションにならないのだ。宙に浮いた議論に感じるとその瞬間に意味を失う。だが、量子論の具体的なフォーマリズムを学ばなくてもいいじゃないか。つまり、ヒルベルト空間で状態を張るなんてことは最初から知らなくてもいい。だが、状態を測定した時に、測定はその状態に影響を与えない、というのは自明ではないだろうということを伝えてもいいのではないか。そうするとある種のyes-noチャートみたいなものを作ることができる。yes-noチャートは理論の位置するべき「公理」をリストアップしてくれるだろう。そして、測定とか状態とかいう、非常に一般的だが、身近な対象にも共通するべき概念を扱っておくことで、古典理論の公理もある程度教えてくれうる。yes-noチャートを作っておいて、現象を観測して、理論の位置付けを見ておく、というのはストーリー作りには使いやすいのではないだろうか。「順序」というテーマで書き出した割に順序はどうでもいい、というのが結論となってしまったが、yes-noチャートを作れ、というのが私のポイントとなってくる。そしてそれは量子論程度に進んだ理論が明確化してきた(ある種哲学的レベルに食い込んだ)公理群を見返せばできてくる、という話である。完
06Dec
- 物理学習の順序(1)
  高校物理はだいたい大学以降の物理の一部応用より、古典より、小規模版とでも思っておけばいいとして必要かどうかはともかく。どちらでもいいです。大学で物理関連のカリキュラム、自分の履修したものを思い出せば1年夏：力学、熱力学1年冬：電磁気学、基礎物理学実験2年冬：解析力学、量子力学I、物理数学I,II、電磁気学I、物理実験学、物理学演習I,II3年夏：電磁気学II、量子力学II、統計力学I、物理学実験I、物理学演習III,IV、流体力学、現代物理実験学I3年冬：電磁気学III、量子力学III、統計力学II、物理学実験II、物理学ゼミナール、物理学演習V,VI、物理数学III、現代物理実験学II、固体物理学I、生物物理学4年夏：一般相対論、場の量子論I、サブアトミック物理学、統計力学特論、プラズマ物理学、特別実験4年冬：場の量子論II、素粒子物理学、理論演習とまあ、学科に入ってからのは特にIとかIIとかいう学科内の任意性が効いた名前が付いていて何やってるのかわかりにくいでしょうが、1年夏の力学ニュートン力学の枠組みを微積分によってまとめておいて、ニュートン力学の枠内で基本的な物理概念をとりあえず揃えておいて、ある程度計算できるようにしておけばいいって程のもの。熱力学熱力学関数を導入し、それが持つべき性質を基本的な熱力学法則を公理にして要請しておき、その要請によってもたされた性質から具体的に物質の性質などを熱力学関数から引き出す技術がある、という程のもの。1年冬の電磁気学電場、磁場、電荷電流の存在をとりあえず認めるというか、その持つ性質を認めた上で、マクスウェル方程式を比較的容易に示されるか法則あるいはおけそうな公理から導いて、微分型マクスウェル方程式を導出しつつ、それを作るために使ってきた程度の数学とその練習解析力学ラグランジュ形式、ハミルトン形式の導入や、それを用いた議論、技術的な手法など量子力学I状態概念とボルンの確率解釈、波動関数の導入、シュレディンガー方程式の初等的な計算物理数学I主に複素解析物理数学II主に特殊関数電磁気学I特殊相対性理論を扱えるようにした上で、1年冬の電磁気学に出てくるような基本法則を使って電磁場とそのローレンツ変換を現象的に見て電場のローレンツ変換から磁場が現れるといったことや、回路の取り扱いなどを見る。物理実験学実験にまつわるテーマとして単位、誤差評価、冷却法などを扱う。以降の「実験学」系の講義も基本は同じ。もちろんそれぞれの中身でどこを重点的に扱うかは、異なる。電磁気学II物質内部の電磁気学や、マクスウェル方程式の様々な条件での求解。ただし、この段階ではソース項すなわち電荷や電流、特に電流タームを考えず、従って、電磁波の放射現象はあまり扱わない。量子力学II角運動量の扱いや、電磁場を場の量子論の枠組みを導入する前段階で扱うところなどを主にやっていた気がする。統計力学I等重率の原理を置いてミクロカノニカル分布、そこから熱浴を置くことでカノニカル分布など分布を扱う議論と、分布から熱力学関数を導く議論(ということはここで理論モデルから1年夏の熱力学に戻って現実的な物理的特徴を引き出せるよね...という話)を主にしていた。物理学実験I毎週ほぼ違う様々な実験をしていた流体力学連続体特有の事情による初歩的な概念からやはり流体特有の「運動方程式」などを導きつつ、電磁気学等で使う数学の結果を元に結局は例えば「速度ポテンシャル」などを使って完全流体(粘性のない流体)は議論できるということから、実在流体の議論も一部で進めた。電磁気学III例えば電荷が加速度的に運動すると放射するように、マクスウェル方程式にソースタームを加えて放射の議論を行った。もちろんここでは相対論に基づいた議論をしないとただしい「加速」などが扱えない(ということは普通に「放射」の現象を扱うにも相対論あるいはそれに相当する枠組みがなければいけないわけで反相対論がいかにゴミ屑か、ということですね)量子力学III散乱理論、多粒子系の扱い(並びにそれを実現する上で重要な第二量子化)の扱いなど統計力学II相転移、臨界現象などの統計力学や、線形応答理論など非平衡へ拡張した議論物理学実験II原子核散乱、磁気共鳴、相転移、パルス技術(ミュー粒子の崩壊観測)物理数学III群論、微分形式などまあ、後のものは人によって履修形態が違いそうだし、とりあえずここで切り上げるとして、カリキュラムはだいたい「歴史」に沿った順序で出来上がっています。それが合理的かどうかはともかくとして。実験がより細かったり、より大きな枠組みについて議論をするのは相当に大変で、理論はある程度限られた限界のところで「公理」をおきます。その中で、成功したものはどんどんと応用されていく都合、その後公理の置き方を大いに変更した形式が出てきて、こちらの方が合理的だからといって、必ずしも、それを優先的に扱うカリキュラムにはなっていないというのが実情でしょうか。その点でランダウはかなり革新的だったのでしょう。ランダウの力学と場の古典論は最小作用原理から始まっていますから。しかし、その後の編はまだ研究途上ということもあって、最小作用原理のより高級版とでも言える経路積分形式から、というわけでもないのです。その意味で、ランダウのテキストの抜本的な変更を時代はそろそろ作ってもいいのではないだろうか。もっとも、それだけ広範囲を教科書かけるだけ理解することがより難しくなってきてはいるのでしょうが。さて、学習者がどう勉強するべきか、というのは人によって違うでしょうが、私の場合、ある程度ストーリーというか、そういうものができてきた時、そして、そのストーリーとより個別の勉強するテーマが結びついた時、モチベーションを感じるので、ある程度ストーリーを作ってあげるというのが大事だな、と思いまして、とは言っても、もう上に書いたカリキュラム自体がある程度はストーリー仕立てなのですが、そこら辺をもうちょっと次の記事で紹介したいと思います。
02Dec
- 場の量子論と作用積分と経路積分
  ようやく場の量子論と経路積分法のストーリーが見えてきた、と言いますか、それでいくらか記事を書きます。量子力学では古典力学と違って、「状態」というものが明確に定義されます。古典力学ではいうなれば、物理量の「一覧」をリストアップすることでそれを「状態」といえばいいので状態を明確に定義しなくてもいいのです。一方で量子力学ではそう言った物理量を得るには実際に存在する系に対して何かしら手を加えなくてはならない。具体的には「測定」しなくてはならないが、その測定は系に何らの影響を与えないように見えるものであっても、影響を与えてしまうようなケースがあります。量子論では測定という操作を行う前の状態と後の状態をどんな理想的な測定であろうと、区別して考えることを前提とする。すなわち、そのために、測定ならびにそれ以外の一般的なものを含めた「操作」と測定対象である「状態」を明記しておく必要があります。それゆえ、「状態」という概念が出てくるのですが、状態というものは適当な量子力学の教科書でも当たればわかるように、うまい基底をとって「波動関数」にするとボルンの確率解釈に当てはめることができるような形態で情報を有しているのです。場の量子論では一般に状態に対して「操作」するもの(演算子という)が場になっている、すなわち、位置や時間の関数になっていて、位置や時間によって現れ方が一般には異なるような形式をとるのです。そのため、場の演算子を構成し、状態に作用させ、その状態と異なる状態との相関を見るのが「場の量子論」ということになってきます。もちろん、相関を見るときには「ボルンの確率解釈」が効いてくるので例えば「確率密度」のような形で情報を得ることになり、それは古典的に「散乱理論」として考えていたものと対応がつくこともあって散乱と名打って論理展開されますが、要は「状態の相関」すなわち、状態の持っている情報を引き出すのがこのあたりの議論です。ただし注意しなくてはならないのは、古典力学では「状態」という概念自体が明確な形で存在していないため、そこに「確率解釈」というようなものは存在しないため、後ろで述べるような議論のうち、与えられたパラメータの微小変化のもたらす影響のようなものから議論を作っていくことになります。従って、同じように「散乱」と言いますが、方や素朴な状態(すなわち力学変数の一覧)から次に述べる「力学」の結果を参照して、初期条件をずらした場合の結果の相違を見比べる程のものですが、方や量子力学では本質的な「状態」から得られる情報を引き出しているという違いが出てきます。英語の名称が本質を描くという保証はどこにもないわけですが、力学はDynamics(時間発展)であるのに対して、量子力学がQuantum Mechanicsが当てられることが多いあたりやはりそこで何をするか、というのが見えてくる気がします。要は、状態からどういう情報を引き出せるか、というテーマを含めるとMechanicsを名乗る、ということです。で、「力学」すなわちdynamicsというのは、古典の場合はパラメータ一覧表が、量子の場合は抽象的な「状態」が古い力学では「時間発展して変化すると」どうなるか、というテーマを、相対論的な議論を踏まえると、「異なる時空間上の点にどう影響するか」、を議論することになってきます。素朴な「時間発展するとどうなる」というのは「異なる時空間上の点にどう影響するか」という議論の中に包含されます。それを考えるには古典論を量子論で使うような表現に置き換えて仕舞えばわかります。まず、古典的な状態というのは量子力学でも得ることができるどの物理的なパラメータを持ってきても局在している、すなわち、どんな変数でも一意に値が決まり、ボルンの確率解釈で言うなれば、その決まった値のところだけ確率が１になっていて、他は全部0と言い換えることができます。時空間上の異なる点、との相関を考えるというのは「時間方向を選んでその方向に動かした別の点」との相関を考えることを含みます。しかし時間を動かした、というのは「時間発展」を表すわけです。ここで状態から得られる確率が1となる空間上の位置は変化する可能性があります。その変化を予言するのが時間発展の理論の持つべき性質になります。ということは、時空間上の異なる点との相関が著しく、観測的に「一意」に見える経路を辿ればいわゆる「古典経路」すなわち、古典的な「時間発展」を追尾していることになってきます。量子論ではその相関が空間的あるいは時間的に広がりを持ってくるのです。したがって、「異なる時空間上の相関」などと表現することになってしまいます。ただし、だとしてもある程度スケールを荒っぽく見ると古典的な議論と結果が一致してくるわけです。ところで実際にたどる古典経路以外の経路についても何かしら値を評価し、そのうちある種の性質を持った値を「古典経路」として選び抜くというものは「最小作用原理」と呼ばれる古典力学の手法です。すなわち、例えば宇宙空間でものを投げればそれは「等速直線運動をする」というのはニュートン以来の法則ですが、それは自明のものではないとして、例えば「等加速度運動する」「単振動する」というような別の運動状態を含めた中である種の条件を満たすものが「等速直線運動」であって、それが選ばれる、というような形で運動状態を選び出すのが「最小作用原理」と呼ばれるものの荒っぽい説明です。最小作用原理とは物体の置かれた環境を「ラグランジアン」という関数で与え、その与えられたラグランジアンに対して、作用積分というものを運動の仕方ごとに評価させると、「なぜかしら」作用積分の値が最小となるところを実際に運動する、という「原理」です。この最小作用原理は量子力学では経路積分法という方法によって正当化されます。すなわち、荒っぽくいえば実際の経路では無相関、つまり、物体の実際に選ぶ運動状態ではたどり着くことにない時空間上の点との相関関係は「ほぼゼロ」と評価し、逆に古典的にたどると推定される経路には「ほぼ１」と評価してくれる、それが作用積分の値が最小でない時には「ほぼゼロ」で、最小の場合には「ほぼ１」となってくれれば、いいわけです。ボルンの確率解釈がある以上、異なる時空間上の点(より一般化すれば異なる時空間上の異なる状態）とも確率を評価することができるはずだ。だがしかし、評価したい相関を見る時に二つの状態が選んでいる時空間の点が異なっている場合にどうするか、を考える時、ボルンの確率解釈は素朴にはやはり「同一時空間上で」適用されるべきと考えると、なんとかして時空間上を動かす技術が必要で、それが「経路積分」になります。答えを荒っぽく言えば作用積分の値は経路によって異なりますが、それをSとかいた時にexp(iS)を二つの状態の積にかけて全経路で積分をとると二つの選んだ時空間上の点の間を運ぶことができる、というのが経路積分で、経路の変化によってSの値が著しく変化すると細かい説明をすると面倒なので答えだけ言えば積分の結果が0になり、あまり変化しないとexp(iS)の定数値になるので定数値の積分は積分の外に出せば良くなるので、値が直接出てきます。ただし量子力学ではexp(iS)は「位相の任意性」と言い、1と考えていいような事例が大半です。つまるところ、古典力学では「原理」に過ぎず、さらに最小値(という名称は間違いで、さっき述べたように、「あまり変化しない」つまり「停留値」)さえ見ておけばそれで十分だった最小作用原理は作用積分が経路積分法では異なる時空間上に状態を運ぶときの相関を評価する因子として作用積分を取っておくということで、確率を評価すると原理としていたものが自明になるのが経路積分法のやり方になってきます。経路積分法が異なる時空間上に運ぶということから、場の量子論でも異なる時空間上に生成した「状態」同士がどう相関するかを評価するときには経路積分を使うことができる。さて、ここで述べてきたように、量子力学の世界では状態が非自明になる影響で「状態とその相関から直接的に情報を引き抜いて欲しいものを考える」という技術自体がそれとして意味を持つ議論されるべき対象になってくるため、状態周りの議論というのが大きな重みを持つ一方で、これは古典でも言えることだがその状態の異なる時空間上の点との相関を評価するすなわち「異なる時空間上の点への波及効果を評価する」という古くから力学の本論だった部分の二つが学ぶ対象として柱になってくる。前者は先に述べたように「散乱」「S行列」と言ったあたりのことで学ぶことになり、後者は経路積分、あるいは経路積分で評価される「ラグランジアン」あるいはさらに場の演算子(それはラグランジアンの「変数」となることもある)とつながってくる。
25Nov
- 迷列車で行こうシリーズ
  YouTube等で「迷列車で行こう」を調べると様々な編集者が様々な動画を作って見える。残念ながら理系のものは電流計に限られている気がするが、鉄道とは総合科学分野、ではないか。例えば、カーブにおける「カント」と「曲線通過速度」に関しては力と加速度に対する理解が求められる。それは数学、物理の知識が求められるし、カーブも最初から円のようなカーブにしてしまうと都合が悪く、実際には緩和曲線といってカーブに入っていくまでの「カーブ」がある。ここには加速度の変化と乗り心地の関係がある。鉄道ファンなら誰でも単語レベルでは・VVVF制御・チョッパ制御・界磁添加励磁制御・抵抗制御あたりの単語を聞いたことがあるはずだが、そういった制御装置がいくつもある理由はある種の技術発展の過渡期をこのオイルショック後の数十年が迎えていたからなのだが、その技術の詳細で動画を作ってもいいだろう。ちょうどJR東日本が40系気動車の置き換えを電気式気動車で進めようとしているが、なぜ今「電気式」なのか、とか、そういうあたりもちゃんとやると結構面白いだろう。JR東海がリニアモーターカーを作っているが、この「超電導リニア」がなぜ超伝導現象を利用しているのか、とか、超伝導は何か、とか、超伝導に関する研究はまさに物性物理のテーマである(従って私の専門ではない)。リニアモーターという意味ではドアエンジンも近年はリニアモーター式ドアエンジンが普及しつつあるが、なぜ最近のドアエンジンがリニアモーター式なのか、とか、その辺りもファンとしては興味があるのではないだろうか。なら作れ、といわれて作れる人でもないので誰か作らないのかな、などと思っていますが...そういう高度なことに興味のある人は動画作ってる暇人じゃないか。
24Nov
- 初歩の物理教育への提言
  小中学校教育の都合、高校程度の物理や数学の論理的な構造の大きな対象物を扱うのはやはり難易度は決して低くないだろう。それが生徒の多くの方が高校で物理に対して「難しい」と思わせる原因の一つとなっているのは間違いない。さて、残念なのは、そういう「難しい」というイメージを沸きつつもなんとか一年や二年高校で物理を取り組んでも全く最先端物理の見通しも立たないし、それどころか古典物理の見通しも立たない。ところが、日本人の大半はそこに対処する前に、ここから離れてしまう。したがって、当該学問についてろくに知ることなしに、下手したら間違ったイメージだけを持って、大人になってしまう上に、そこで持ったイメージを基に教育観を持ってしまったり、子供にイメージを伝えてしまったり、極めて大きな弊害を生んでいるように思う点も多い。さて、近年の高校参考書とか、予備校のとある講師とか、カリキュラムそのものを見てると「イメージ」あるいはリアリティを大事にしすぎているのではないか、と私は思う。ニュートンの力学法則をいちいち教科書に羅列したら小中学校のカリキュラムをやってきただけの子供たちはどうする？もう、「暗記」して、「唱えられる」ようにしますよ。で、それができたら完璧、って思ってしまうでしょう。特に「優等生」は。違うんですよ。ニュートンの法則をいわば「ヤクザのように」厳密に適用して問題を解いていくのが物理になってくる。高校物理の問題を解く段階で本当に必要なのは、イメージのような雑念が入るものではなく、とりあえず基本法則を忠実に、ひたすら適用する。最後に出てきた結論について、それがリアリティーを持っているか、を考えることの方が、より正答に近いと思う。その意味で、論理的な法則の運用能力、すなわち、数学の場合とは違って、自然現象に対して、必ずしも自明ではない(場合によっては間違いを含む)公理を設定して、論理的な処方箋をとるものとしての、「物理」をもう少し徹底して導入することも考えてもいいのかもしれない。もっとも、そうなると例えばランダウの「力学」力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程/東京図書￥2,160Amazon.co.jpみたいな構成っていうことになるのか、と思う人もいるかもしれないが、もう少し明示的に論理構成を表示した量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために (新物理学ライブラリ)/サイエンス社￥2,160Amazon.co.jp熱力学の基礎/東京大学出版会￥4,104Amazon.co.jpあたりのことを意識した構成であろうか。ニュートンが導入した「力」という概念は少なくとも熱力学における「エントロピー」と同じくらいには「謎モノ」である。なぜかそういうものがあって、それは原因別に分類可能なもの(バネの「弾性力」だの、摩擦力、だの、とかくそれを生じさせる原因を分別できるということ)で運動第三法則を満たすような代物で、最後単純なベクトル和をとると力学第二法則に従って運動の様子を決定する「運動方程式」を構築する。ということはどこも自明なわけがない。そこに自明性を感じさせるような教育は私は悪く言えば洗脳だと思う。従って、あえて最初から何かしら目標を明示して、その道具として運動方程式の組み立て方のみを明示して、組み立て方だけを練習して、その上で運動の具体的な「解」を導きつつ、そこから...というような組み立て方をして、という構成でも悪くはなかろう。その程度なら既にちゃんとやっている人はやっているだろう。高校の教科書にはma=Σfではなくma=fと書いてあるが、ちゃんと前者を伝えてくれている人もいてもおかしくはなかろう。いや、だったら、だ。いっそのこと、量子力学からやってしまってはどうだ。という意見もある。もっとも、こちらの場合、身近な問題を解くことが難しい。欲しい情報と得られる情報の対応関係があまりにもわかりにくい。古典論のいいところは、欲しい情報(実験的に直接確認できるもの)がそのまま物理の論理構成で本質的であることだろうか。それに対して、量子論はそうではない。いちいち「状態」というものに落とし込む必要もあれば、その「状態」が非常に厄介で、まだわかっていないこともある。その意味で私は量子力学から...というのは抵抗感が強い。古典形式の知識があれば十分なケースも少なくはないし、どっちみち、身近なスケールの議論では古典論に落とし込んでいかなければ有用な情報を得るのも苦しくなってくるだろう。ただし、どちらにせよある程度の数学と連携した、イメージを度外視した基礎論から組み上げていく種の構成、というのを指向した方が早道だと、思うのである。
14Nov
- 理解
  http://www.asahi.com/articles/ASHCG7J2WHCDUSPT00W.html?iref=comtop_list_sci_n01「人が機械より優れているのは、意味を理解して問題解決を図る能力があるからだ。意味を理解することを放棄し、単なる暗記や記号処理に走れば、機械に追い越されるのは時間の問題でしかない。」中学生の頃に思ってたことがまんま書かれていたようでビックリ。と思いつつ、ただ最も早い段階で「理解する」という言葉について認識する意味は、実のところその程度のことなのではないか、という思いがした。つまり、何かしらの形で適当に知識を引っ張ったりして答えを作り、何らかの基準に照らして承認されたとき、それを「わかった」と考えるのだ、と。湯川の物理講義だっただろうか、「ニュートン力学で同じ問題を解いたら誰しも同じ結果を示してくれる。ところが、ニュートン力学を説明させると千差万別なのである」というような内容の記述を見た覚えがある。おそらく、それらの捉え方のそれぞれは例えば他の分野とのつながり等の意味で多様な立場を持っていて、そのどれとも矛盾のない曖昧さを持ったものとして「ニュートン力学」がある。科学トークをすると一般人はもっと凄まじい曖昧さを持って「承認」を与えてくれる。この承認は本当に残念なことに論理的な誤りさえも本当に多く見逃してくれている。幼少期に植え付けられた間違いをふくんだイメージを修正するのはひどく大変なことである。物理や数学は難しいというのは大方、そのテーマに面する時の前提、当然とすることの「ズレ」である。言葉が現れたら、それに対応づけられる言葉は知っているが、そういう言葉を言葉以外の場面に運用することが求められるが、そこでは矛盾する前提に揺さぶられる。あるいはそれを意識した「言葉」が使われると馴れなくて「難しい」ということになる。「理解する」ということの敷居はどこまででも上げられる。そこには極めて大きな曖昧さがある。
08Nov
- 物理のフォーマリズム
  来年度から自分が大学院に所属するにあたっては、素粒子理論ということを大枠としては扱っていくことになるわけですが、所属の先生の研究対象としては、そのような素粒子理論を取り扱っていくための道具である、量子力学の「フォーマリズム」というに近い。「量子力学基礎論」と呼ばれるテーマである。数学と量子測定、量子情報といった分野の整備が進むんだことと並行してか、はたまた技術応用として量子コンピュータが研究されているせいか、量子力学のフォーマリズムにも近年再びブームらしいのである。基礎論といえば、古典力学はかつてはニュートンが作り上げたものをラグランジュあるいはハミルトンが解析学と呼ばれる数学の知識で再度体系化することで今日「解析力学」と呼ばれることもあるフォーマリズムを発展させたことが、より一般的な物理の枠組みを与え、相対性理論や量子力学を扱う土台を構築し、現代の物理学はラグランジュ形式における「ラグランジアン」をどう構築するか、という形で進められている。ラグランジアンを正しく記述すれば、電磁場の変化も通常考える力学的なダイナミクスも同じ「最小作用原理」の元に、同じ操作から出てくる連立方程式になるにすぎない。したがって、ラグランジアンを与えるというフォーマリズムはかなりの普遍性を与えることに成功した。量子力学のフォーマリズムについては自身まだほとんど学んでいない。したがって、例えば量子論―その数学および構造の基礎 (物理学叢書 (93))/吉岡書店￥3,780Amazon.co.jpあたりを参照して学習したいと思っている。古典力学では素朴であまり意識されてこなかった発想にも量子力学がかなり深く洞察されているなど、ちらりと立ち読みしただけだが、欲しい本の一冊だが、高いのと、もう20年も前の本であることなどから買うかどうか迷っている。フォーマリズムを大事にしていく本、というのは難解な印象を与えるが、実際のところ、どこかで受け入れねばならないのがフォーマリズムで、それを冒頭にしかもできる限り完璧を目指して載せるから難解に見えるのであって、その意味では実はフォーマリズムを重視する本の方が、学習においては優れている、というのが私の直感である。熱力学においては熱力学の基礎/東京大学出版会￥4,104Amazon.co.jpの本が、(実験的な、検証という立場ではなく、「完成された理論として」すなわち、）フォーマリズムを重視する熱力学の教科書の筆頭クラスだろう。電磁気学や力学においてフォーマリズムを重視する教科書はやはりランダウ先生のあの二冊。すなわち力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程/東京図書￥2,160Amazon.co.jp場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)/東京図書￥3,240Amazon.co.jpということになってくる。ともに冒頭に述べた最小作用原理に基づくラグランジアンを構成する立場で作られてくる。もっとも、ラグランジアンに何を要請するか、そして、どのような形式にするかなどの表現にはいささか不備があるような気もするが、優れた教科書だろう。いずれ、このようなフォーマリズムの優れた、かつ、できる限り明快に、かつ応用にも優れたテキストを書いてみたい、と思ったりもする今日この頃であった。
07Nov
- お茶で物理(1)
  大学では煎茶同好会などというマイナーな同好会でも活動しておりまして、お茶を入れる、とそれまた物理のエッセンスを感じ取れるもの。どういう点で、かまず、一つ目にお茶を出すとき、茶葉の量やお湯の量、お湯の温度、出す時間といった条件を整えれば、そこそこ同じような出方をする。という事実だろうか。ミクロなスケールで見たらお茶の成分が葉からお湯に溶け込むダイナミクスは極めて複雑な対象となるはずだが、ある種の非平衡のダイナミクスでありながら、少なくとも人間の必要とする意味では、そう言った外的なパラメータを弄るだけでうまく結果を誘導できる。ミクロな構造、ミクロなダイナミクスそのものを直接的に支配することはそう言ったマクロなパラメータには不可能なことである。しかし、マクロな結果においては、確実に結果が現れる。熱力学という分野が成立しているのはそう言った内部構造には関係なしになぜか現れるマクロなパラメータ間の(しかし多くの人間にとって自明と思われているような)関係性の存在という観測事実である。しかし、その熱力学が現時点までに説明可能な範囲を少なくとも大きく広げてもなお、まだ記述できても不思議ではないだろう、ある種の秩序性を見出せる現象が多数存在する。というのはかなり現代の物理の最新研究でも目指している方向にある方向性を意図した感覚である。もっと古くからあるだろう、しかし、日常感覚でどうも身につけたいような方向性を考えてみたい。煎茶の手前ではよく「玉露」と呼ばれる高級茶を用いる。玉露というのは、収穫前の一定期間、葉に日が当たらないように被せ物をしておくもので、通常の茶葉に比べてテアニンなどの旨み成分が増加し、苦味成分が減った茶葉、ということだそうで(私は食品に含まれる成分などは素人)、独特の味を持っている茶葉なのですが、玉露を楽しむには成分の性質に応じて上手に出さなくてはならない。性質として、「旨み成分はアミノ酸で、低温でも溶解するが、苦味成分は温度を上げるほど溶けやすくなる」ということが知られている。(中学校の「溶解度」あたりの議論を思い出せば一応説明できる気がするが、溶解度は溶解する限界を指し示しているけれど、実際にお茶で出すときにはそこまで溶けきっているとは思えないので、単純にそのパラメータだけで説明がつくようには思われない)とりあえず、そういうことで温度を変えて抽出するのだが、その時にある程度温度を調整するために「湯冷し」という道具があったり、普段からお茶を入れる習慣があればわかるだろうが、茶葉の量も大事な要素で、それを意図して急須に茶葉を入れる時に、どれだけ入れればいいか、を見る上で「茶合」という道具がある。湯冷し、の動作原理(？）はご存知か？湯冷しが湯をさませるメカニズムは全て「熱力学第二法則に基づく平衡状態への遷移」という意味では共通するが、熱力学第二法則によれば、温度の異なる物質二つで熱のやり取りができる環境にすれば、自発的に温度が一定になる方向に遷移する(ただし、今述べているのは「最終的には」という文言を付与するべきで、現実的には外部からの力学的操作などを本当はすべて考慮する必要があり、いくらか短絡的な発想ではある。力学的仕事が全くないような状況というのは例えば耐圧容器を使用したり、化学反応が起き得ない状況を作るなどすることが求められ、実は案外難しい。)ことが知られている。到達する温度は二つの物体の各々の遷移する前の温度の間の温度になる。では、冷ますとしたら、湯よりも冷たいものを用意し、それと熱のやり取りができる(また、できる限り早く平衡に達するような)、環境を用意するのが望ましい。湯冷しとは、まずその点で、お湯より冷たくなくてはならない。そりゃ、沸かしたてのお湯なら、いいのだが、例えば、とても熱いお湯を注いで熱くなった「湯冷し」に冷水を入れたら、逆に冷水の方が温まる。いい湯冷しとは、湯冷し自身が温まりにくい、また、熱のやり取りが早く、平衡状態にはすぐに達せられるようなものである。湯冷し自身が温まりにくい、というのはすなわち、「全体として熱容量が大きい」ことが求められる。湯冷しの大きさは常識というものがあるわけですから、大きさが決まってしまうとなれば、「比熱が大きい」素材でできていることが望まれる。平衡状態にすぐに達するには、湯冷し内部での熱の移動が素早く、湯冷しの温度がすぐ一定になるもの。つまり、「熱伝導率が高いもの」が良い。さて、後者の特徴を持つと他にもいいことがある。湯冷しは実際にはお盆等の上に置かれていたり、空気と触れるなどして、熱のやり取りが行われる環境がある。後者の特徴を持つと、そう言った環境との熱のやり取りによっても、冷えやすくなる。さらに、そういう性質を持った湯冷しであれば、手で持った時に湯の温度を測るのが測りやすい。測りやすいというのは、熱い場合には「もてないほど熱い」という状態がわかる、というような意味も含む。すなわち、常識的な操作としての、測るという「行為をやりやすい」という意味ではない。玉露の一煎目は40度程度の低温で出すと良い。温度計などを突っ込むという現代的な手を使ってもいいのだが、お点前でそういうことができるわけでもなし、日常でもそういうことをするわけでもなし、実際に湯冷しを手で「持って」測るのが、ベストなのである。茶合で茶葉の量を「測る」ということについては次回に。
- 高校物理を思い出して
  思い起こせば中学校時代のイベントで「物理」に興味を持ってから一般書物でなんとなく先端物理に触れた本を読みあさり()...って形で物理を始めて、定量的な学習をせずに来てしまったのでちゃんと定量的に学んだのは高校が最初だったわけですが。高校物理って結構挫折する人が多いですねぇ...家庭教師でも面倒みましたけど、同期を思い出しても、ひどいもんでしたいろいろ問題に取り組んでみるともう闇雲にこれがこれが...ってさぁ...物事には相対的な位置づけってものがあってだねぇ、絶対的に成り立つこととただの経験則や条件付き法則とか、あるわけです。とかいう私も逃げ癖とへなへな適当にやる癖がすごいので数学とかやってるとかなり痛い目に今でもあい続けているわけですが。小中学校の学習活動というのは往々にして思考することは不要。計算とは算数数学だけのもの、というイメージはあるかと思うわけですが、高校の物理では始めて本格的に今まで学習した数学を総動員した、知的応用の勉強、ということになってくるのでしょうか。さてしかし高校物理から相対論とか量子論へと入ると今まで不問にしていたことを目をつけるようになったりするので着眼点が増えて頭が良くなった気がしてきますが、その点ニュートン力学は適当にやっててもなんとかなってしまう、というのが実感ですが、どうもそれでも高校物理は小中から見ると飛躍があるということでしょうか。高校物理に関して言えば大体どんな分野でも・「型にはまった道具立て」の存在と・その道具と実際の問題とを対応させることの２つをマスターすればいいわけだし、それらについてどちらもどこかの分野でできるようになれば点数を取れ始めるようになってくるのでそういう２つのポイントを見つけやすくなるし、両方とも十分にマスターすればトントン拍子に点数を上げられるし、(やってて違和感を持ったり疑問点が出てくることはあるかと思います。ただ、それでも決まった処方箋に従って解けばなぜかしら「答えは一致する」ということになります。現代物理でもそういう点があるというのも事実ですし、そういうのに馴れていくことは多少意義はあるでしょう。もっとも、高校物理やってて気がつく程度の疑問点は現時点で体系化済みの数学と物理の枠組みの中で極めて豊富な議論がなされ、理解が深められているので、気になる人は勉強しましょう。とりあえず実績ばかりに目がくらむ「進学校」という類のところに行くと、そういうことを気にする能力を持つとやっていけないです。そういう「寄り道」よりも、与えられたことを一通りこなしておくことと、決まった技術を「唱えられるようにすること」が目標になってくるので。「とりあえず、これをやれ」と「これやっておけ」ですからね。ただ、そのような能力もないのに、うまいこと学問の論理体系を取り込めるとは私は思えませんが。ありがたいことに現代はインターネットで容易に専門の人や専門の学生、先輩と繋がれる仕組みが出来上がっているので、そういうのを駆使して、疑問点を自力で解消するという発想が持てればなんとかなるようにはなってきていると思いますが。)まあ、見た目ほどには重くなくて、馴れればそこそこいけてしまう、というものだと思います。同期あたりでは「最初から量子力学やったらどうだろ」というような人たちもいたりしますし、まあ、本当のところ古典力学で出てくる量とか考え方が実はどこまでも非自明で難解なものがなぜか受け入れられてしまったということをちゃんと理解すると、それくらいのやり方のほうが、正しいような気もします。もっとも、仮にその手法をとるにせよ、取らないにせよ、物理では有無を言わせず数字のペアで状態を表現しようとするあたりなどの手法は人によっては受け入れ難いかもしれない。その意味では現代量子論の議論で整理されたような、状態空間などの議論は古典力学でも素朴ながらあるため、提示してもいいのかもしれない。ただ、小学校や中学校で勉強とはとりあえず覚えておいて、テストの時に穴埋めの一文をかけるようにしておくことだと思っている子達にそんな物理の哲学を教えても仕方ないですね。家庭教師なんかで法則を「唱える」ことはできるのに、平気で矛盾した論理展開をしている子とかいますから。「言ってることとやってることが違うやん！」っていう話ですよ。
05Nov
- 相対性理論E=mc^2とその先(2)
  相対性理論の結論の一つとして、質量とエネルギーの関係性や運動量との関係性は実験を介して核反応等の形であらわにその法則が物質の本性によるものであることがみえてくる、と同時に、本来そのようなミクロな構造そのものを探求する法則として「量子力学」が作られる。量子力学と相対性理論の統合は量子力学創設当初から開始され、「クラインゴルドン方程式」ならびに「ディラック方程式」の二つの方程式が日の目をみることになる。ニュートン力学ではエネルギーについて定数を足す自由がある、ということは前回一応触れたと思うが、その定数が「E=mc^2」なのであって、本当はさらに1/2mv^2がその次に、そしてさらにもっと続く。相対性理論が正しい場合、運動量をpと表示すると(ただしこのpはニュートン力学のpと極限的にしか一致しない)E^2=m^2c^4+p^2c^2という格好をしている。ところで古典力学ではいくつもの物理量の直接的な数値がそのもの対象とするものの特徴を表し、それでもって対象とするものを完全に追尾できるとする立場だが、量子力学ではEとpについてそれを微分演算子に置き換え、微分する関数を波動関数、ということにし、その波動関数から欲しい情報を取り出すことができる、したがって、対象物に当たるものの情報は波動関数という関数の形で収納されているという考え方になる。クラインゴルドン方程式というのは、シュレディンガー方程式で行うような微分演算子と物理量の「対応付け」を相対論でも、上に書いた式に愚直にやってしまおう、という方程式である。まず全部左辺に移項してE^2-p^2c^2-m^2c^4=0とし、E=ih/2π ∂/∂t 、p=-ih/2π ∇という置き換えを行う(この時hはプランク定数)ことで、(-h^2/4π^2c^2 ∂^2/∂t^2 +h^2/4π^2 ∇^2-m^2c^2)ψ=0という関係を得られる。これがクラインゴルドン方程式(通常はhではなくてhbarを用いるが、ここでのタイプ方法を知らないのと、というか物理の業界ではそのhbarと光速度cを1とする「自然単位系」を用いるので本当はこんなめんどくさい表示をしたりはしない)だ。クラインゴルドン方程式はスピン0粒子を表すことが知られている。つまり、クラインゴルドン方程式の解はスピン0粒子の存在する状態を普遍的に記述でき、外的な影響によって粒子が生成したり消滅したりする状態というのも、クラインゴルドン方程式の解を用いてそう言った外的影響がどう効いてくるかを見てあげることで表示でき、それは現実と対応をつけられるのである。なお、クラインゴルドン方程式やディラック方程式の詳細に興味があればハイエンドな量子力学の教科書や場の量子論の教科書、相対論的量子力学の教科書を当たれば学ぶことができる。ということで、本の紹介を。場の量子論: 不変性と自由場を中心にして (量子力学選書)/裳華房￥5,724Amazon.co.jpわかりやすくきれいにまとまっている本という印象。An Introduction To Quantum Field Theory (Fronti.../Westview Press￥10,807Amazon.co.jp場の量子論では最もよく使われている本。個人的にはformalismがあまり好きではない。あと、英語というのが難。だけど式変形とか論理展開をちゃんと追跡しながらゼミとかでそこそこ集まって勉強できればいい本。この辺りはどうしても手で追うには結構めんどくさい議論が多いのですが、そこから逃げずにどこまで取り組めるか、というところがある気がする。
02Nov
- 素朴理論としてのエセ物理(2)
  エセ物理、という範疇に入れるべきかどうか、という問題はありえますが、そういう根拠になってくるケースとして、素朴理論の一つの原因として、「用語と日常語の相違」を一つ、あげてみたいと思います。例えば、「力」と「熱」はともに物理学上の専門用語であるが、同時に、日常用語でもあります。しかし、両者はかなり違う意味を持っています。力というのは物理学においては通常は(注：通常でない例もある。そういうことが生じてしまった原因はいろいろあるが、それを混同してしまう議論は危険である。)、ニュートンが導入した"force"と呼ばれる概念に相当する。ニュートンの運動の第二法則とは、物体に加速を生じさせる(運動の様子を変化させる)要因は様々なものがあるが、それらを「力」と呼ぶこととし、考え尽くされる要素を全て取り込んで(ベクトル的に和をとって。そういうものを「合力」という。合力とは「2つの和」ではなく、「全ての和」である。計算の便宜で二つだけ考えることが多いが、二つではない。)やると、最終的にその物体の加速度と質量の積に等しい、という法則です。(ニュートンの法則は多く誤解されるのが、力の定義あるいは、力一個一個が加速度と等しい関係を持つ、といったもので、和をとるものが一個しかなかった時、それは直接質量かける加速度という形になる、という「定理」が出てくる。教科書でΣ記号を使えないゆえのミスだろう)あるいは、「加速していない」のに「力がある」という状況を感じることは多いでしょう。実際、床に力を加えても、床が変化しない、ということが往々にあるわけです。これ、先のカッコの注意です。つまり、「合」力が加速度を生じさせるのであって、「加速していない時は力がない」とはニュートンの法則は言っていないのです。ニュートンの法則は加速していない時は「合」力が０なのです。とまあ、物理の法則っていうのは繊細なのです。この法則を見ると、物体の運動の様子を変えさせるもの、としての力の性質が与えられるが、この法則によって、合力の時間積分(難しく感じられる方もいらっしゃるかと思いますが、まあそこは流してください)は質量かける速度(これを「運動量」という)の変化を表す、という定理が得られます。運動量を持った物体というのは、「重く速い」物体ということになります。それを止める場合や動かす場合には「力がいる」という感じがありますね。あるいは、日常的な感覚では、そもそも、どんな物体でも摩擦だの何だので、一定の動きを維持するだけでも、そう言った「抵抗を打ち消すだけの」力を加えなくてはいけない。しかもやらしいことに、抵抗というのは、(エネルギー計算上)速度が大きいほど、大きい(ニュートン的な意味での「力」はさほど大きくならない。場合によっては小さくなる)。ということでそろそろ気づいてきたかと思いますが、日常言語では意識しないが、物理の単語では「エネルギー」「運動量」といった部分に「力」という単語が食い込んできます。そして、それで済まされていくのです。それに慣れきってしまうのですね。「力」という単語は前近代からある単語です。しかし、物理学教育を、この繊細な意味までつかみ取れるほど受ける人間は少数派です。前近代から親、親族、社会の人々が使っていて、どう使えばいいのか、を経験して掴み取って子供達は成長していくわけです。その使い方はある程度変遷しますが、言語の使い方はフィーリングで適当にやっていけばいいですが、専門用語はむしろ厳格です。合わせようとすることも難しければ、仮に実現してもすぐ崩れるでしょう。用語と日常感覚は違っているのです。その調整をいい加減にして、混同すれば、一気にエセ物理の出来上がりです。通常はこれは「素朴理論」というのだと思いますが。力もそうですが、「熱」の方がもっと悲惨です。「熱を持つ」という言い方があるように、日常感覚ではそこに何かしら「熱」と呼ばれる実体がある、というような印象を持たせる表現があるわけです。さらに、我々は熱学に関する話を理科などで学ぶとスローガンのように「熱はエネルギーだ」という言葉を受け取ります。そうした時、何かしらの実体がすなわち「エネルギー」という名前に貼り変わる、のです。先人たちが物理学を作る時に、現代でいう「内部エネルギー」か「エンタルピー」あたりを「熱」と名付けてくれればよかったのですが、そうではなく、「内部エネルギー変化のうち、仕事ではない部分」として定義してしまった。つまり、エネルギーの「移動」という形で定義してしまったのだ。そうすると何が都合が悪いか、というと、物体に熱として入り込んだものが力学的仕事に変わってしまって、直接的に内部エネルギーの増加分にならないことがある。熱力学的な現象はある種のパラメータを固定して考えることが多いので、この場合は圧力固定としよう。そうすれば、例えばガスなどを考えると、熱流入があると、体積膨張する。体積膨張が圧力がゼロでない状況で起これば「仕事」がある。さらにやらしいのは、ずっと等圧ならまだしも、固定する変数の取り方を状態ごとに変えたりしつつ最後元に戻るようにしてしまうと、熱として出入りした量が正味では０にならない。元に状態を戻しているので、気体が持っている「内部エネルギー」は最初と最後で同じにもかかわらず。それは力学的エネルギーに変化したのだから当たり前、と思うだろう。だが、それでいいのか？物体内部のエネルギーを「熱」と呼ぶことにすると、内部の「熱」の変化が、出入りする「熱」とくいちがうという事態に陥る。だから熱がエネルギーというスローガンは「内部エネルギーと熱は区別して考えなくてはいけない」「熱は内部エネルギーを変化させる要因の単なる１つ」という意味を持っていたのである。それはつまり、「熱を持っている」という言い方がナンセンスであることを指し示している。その熱は場合によっては力学的仕事として取り出される事だってあるわけだ。つまり、日常言語はやはり用語と照らし合わせると、間違っているのだ。ところが、そこを混同して用いれば(そして、よほど丁寧に学ばない限り、混同する)、素朴理論の完成。かつての「自然哲学」で出てきた概念はおそらく人間の感覚からすれば、受け入れやすいはずだ。例えばインピタス理論や、熱素という考え方について、「インピタスは間違っている」という教育を受けていたり、「熱素は間違っている」という教育を受けているから間違っている、とわかるが、熱素という名前を「熱エネルギー」と取り替えたら、インピタスを「力」と取り替えたら...エセ物理を眺めると、そういう単語の名前の貼り方や多少定義を変えれば、古代や中世のそれと変わらない印象を持つものも、あるのではないか、と。