ようやく場の量子論と経路積分法のストーリーが見えてきた、と言いますか、それでいくらか記事を書きます。
量子力学では古典力学と違って、「状態」というものが明確に定義されます。
古典力学ではいうなれば、物理量の「一覧」をリストアップすることでそれを「状態」といえばいいので状態を明確に定義しなくてもいいのです。
一方で量子力学ではそう言った物理量を得るには実際に存在する系に対して何かしら手を加えなくてはならない。具体的には「測定」しなくてはならないが、その測定は系に何らの影響を与えないように見えるものであっても、影響を与えてしまうようなケースがあります。
量子論では測定という操作を行う前の状態と後の状態をどんな理想的な測定であろうと、区別して考えることを前提とする。すなわち、そのために、測定ならびにそれ以外の一般的なものを含めた「操作」と測定対象である「状態」を明記しておく必要があります。
それゆえ、「状態」という概念が出てくるのですが、状態というものは適当な量子力学の教科書でも当たればわかるように、うまい基底をとって「波動関数」にするとボルンの確率解釈に当てはめることができるような形態で情報を有しているのです。
場の量子論では一般に状態に対して「操作」するもの(演算子という)が場になっている、すなわち、位置や時間の関数になっていて、位置や時間によって現れ方が一般には異なるような形式をとるのです。
そのため、場の演算子を構成し、状態に作用させ、その状態と異なる状態との相関を見るのが「場の量子論」ということになってきます。
もちろん、相関を見るときには「ボルンの確率解釈」が効いてくるので例えば「確率密度」のような形で情報を得ることになり、それは古典的に「散乱理論」として考えていたものと対応がつくこともあって散乱と名打って論理展開されますが、要は「状態の相関」すなわち、状態の持っている情報を引き出すのがこのあたりの議論です。ただし注意しなくてはならないのは、古典力学では「状態」という概念自体が明確な形で存在していないため、そこに「確率解釈」というようなものは存在しないため、後ろで述べるような議論のうち、与えられたパラメータの微小変化のもたらす影響のようなものから議論を作っていくことになります。
従って、同じように「散乱」と言いますが、方や素朴な状態(すなわち力学変数の一覧)から次に述べる「力学」の結果を参照して、初期条件をずらした場合の結果の相違を見比べる程のものですが、方や量子力学では本質的な「状態」から得られる情報を引き出しているという違いが出てきます。
英語の名称が本質を描くという保証はどこにもないわけですが、力学はDynamics(時間発展)であるのに対して、量子力学がQuantum Mechanicsが当てられることが多いあたりやはりそこで何をするか、というのが見えてくる気がします。要は、状態からどういう情報を引き出せるか、というテーマを含めるとMechanicsを名乗る、ということです。
で、「力学」すなわちdynamicsというのは、古典の場合はパラメータ一覧表が、量子の場合は抽象的な「状態」が古い力学では「時間発展して変化すると」どうなるか、というテーマを、相対論的な議論を踏まえると、「異なる時空間上の点にどう影響するか」、を議論することになってきます。
素朴な「時間発展するとどうなる」というのは「異なる時空間上の点にどう影響するか」という議論の中に包含されます。それを考えるには古典論を量子論で使うような表現に置き換えて仕舞えばわかります。まず、古典的な状態というのは量子力学でも得ることができるどの物理的なパラメータを持ってきても局在している、すなわち、どんな変数でも一意に値が決まり、ボルンの確率解釈で言うなれば、その決まった値のところだけ確率が１になっていて、他は全部0と言い換えることができます。
時空間上の異なる点、との相関を考えるというのは「時間方向を選んでその方向に動かした別の点」との相関を考えることを含みます。しかし時間を動かした、というのは「時間発展」を表すわけです。
ここで状態から得られる確率が1となる空間上の位置は変化する可能性があります。その変化を予言するのが時間発展の理論の持つべき性質になります。
ということは、時空間上の異なる点との相関が著しく、観測的に「一意」に見える経路を辿ればいわゆる「古典経路」すなわち、古典的な「時間発展」を追尾していることになってきます。
量子論ではその相関が空間的あるいは時間的に広がりを持ってくるのです。したがって、「異なる時空間上の相関」などと表現することになってしまいます。ただし、だとしてもある程度スケールを荒っぽく見ると古典的な議論と結果が一致してくるわけです。
ところで実際にたどる古典経路以外の経路についても何かしら値を評価し、そのうちある種の性質を持った値を「古典経路」として選び抜くというものは「最小作用原理」と呼ばれる古典力学の手法です。
すなわち、例えば宇宙空間でものを投げればそれは「等速直線運動をする」というのはニュートン以来の法則ですが、それは自明のものではないとして、例えば「等加速度運動する」「単振動する」というような別の運動状態を含めた中である種の条件を満たすものが「等速直線運動」であって、それが選ばれる、というような形で運動状態を選び出すのが「最小作用原理」と呼ばれるものの荒っぽい説明です。
最小作用原理とは物体の置かれた環境を「ラグランジアン」という関数で与え、その与えられたラグランジアンに対して、作用積分というものを運動の仕方ごとに評価させると、「なぜかしら」作用積分の値が最小となるところを実際に運動する、という「原理」です。
この最小作用原理は量子力学では経路積分法という方法によって正当化されます。
すなわち、荒っぽくいえば実際の経路では無相関、つまり、物体の実際に選ぶ運動状態ではたどり着くことにない時空間上の点との相関関係は「ほぼゼロ」と評価し、逆に古典的にたどると推定される経路には「ほぼ１」と評価してくれる、それが作用積分の値が最小でない時には「ほぼゼロ」で、最小の場合には「ほぼ１」となってくれれば、いいわけです。
ボルンの確率解釈がある以上、異なる時空間上の点(より一般化すれば異なる時空間上の異なる状態）とも確率を評価することができるはずだ。だがしかし、評価したい相関を見る時に二つの状態が選んでいる時空間の点が異なっている場合にどうするか、を考える時、ボルンの確率解釈は素朴にはやはり「同一時空間上で」適用されるべきと考えると、なんとかして時空間上を動かす技術が必要で、それが「経路積分」になります。
答えを荒っぽく言えば作用積分の値は経路によって異なりますが、それをSとかいた時に
exp(iS)を二つの状態の積にかけて全経路で積分をとると二つの選んだ時空間上の点の間を運ぶことができる、というのが経路積分で、経路の変化によってSの値が著しく変化すると細かい説明をすると面倒なので答えだけ言えば積分の結果が0になり、あまり変化しないとexp(iS)の定数値になるので定数値の積分は積分の外に出せば良くなるので、値が直接出てきます。ただし量子力学ではexp(iS)は「位相の任意性」と言い、1と考えていいような事例が大半です。
つまるところ、古典力学では「原理」に過ぎず、さらに最小値(という名称は間違いで、さっき述べたように、「あまり変化しない」つまり「停留値」)さえ見ておけばそれで十分だった最小作用原理は作用積分が経路積分法では異なる時空間上に状態を運ぶときの相関を評価する因子として作用積分を取っておくということで、確率を評価すると原理としていたものが自明になるのが経路積分法のやり方になってきます。
経路積分法が異なる時空間上に運ぶということから、場の量子論でも異なる時空間上に生成した「状態」同士がどう相関するかを評価するときには経路積分を使うことができる。
さて、ここで述べてきたように、量子力学の世界では状態が非自明になる影響で
「状態とその相関から直接的に情報を引き抜いて欲しいものを考える」
という技術自体がそれとして意味を持つ議論されるべき対象になってくるため、状態周りの議論というのが大きな重みを持つ一方で、これは古典でも言えることだがその状態の異なる時空間上の点との相関を評価するすなわち
「異なる時空間上の点への波及効果を評価する」
という古くから力学の本論だった部分の二つが学ぶ対象として柱になってくる。
前者は先に述べたように「散乱」「S行列」と言ったあたりのことで学ぶことになり、
後者は経路積分、あるいは経路積分で評価される「ラグランジアン」あるいはさらに場の演算子(それはラグランジアンの「変数」となることもある)とつながってくる。
量子力学では古典力学と違って、「状態」というものが明確に定義されます。
古典力学ではいうなれば、物理量の「一覧」をリストアップすることでそれを「状態」といえばいいので状態を明確に定義しなくてもいいのです。
一方で量子力学ではそう言った物理量を得るには実際に存在する系に対して何かしら手を加えなくてはならない。具体的には「測定」しなくてはならないが、その測定は系に何らの影響を与えないように見えるものであっても、影響を与えてしまうようなケースがあります。
量子論では測定という操作を行う前の状態と後の状態をどんな理想的な測定であろうと、区別して考えることを前提とする。すなわち、そのために、測定ならびにそれ以外の一般的なものを含めた「操作」と測定対象である「状態」を明記しておく必要があります。
それゆえ、「状態」という概念が出てくるのですが、状態というものは適当な量子力学の教科書でも当たればわかるように、うまい基底をとって「波動関数」にするとボルンの確率解釈に当てはめることができるような形態で情報を有しているのです。
場の量子論では一般に状態に対して「操作」するもの(演算子という)が場になっている、すなわち、位置や時間の関数になっていて、位置や時間によって現れ方が一般には異なるような形式をとるのです。
そのため、場の演算子を構成し、状態に作用させ、その状態と異なる状態との相関を見るのが「場の量子論」ということになってきます。
もちろん、相関を見るときには「ボルンの確率解釈」が効いてくるので例えば「確率密度」のような形で情報を得ることになり、それは古典的に「散乱理論」として考えていたものと対応がつくこともあって散乱と名打って論理展開されますが、要は「状態の相関」すなわち、状態の持っている情報を引き出すのがこのあたりの議論です。ただし注意しなくてはならないのは、古典力学では「状態」という概念自体が明確な形で存在していないため、そこに「確率解釈」というようなものは存在しないため、後ろで述べるような議論のうち、与えられたパラメータの微小変化のもたらす影響のようなものから議論を作っていくことになります。
従って、同じように「散乱」と言いますが、方や素朴な状態(すなわち力学変数の一覧)から次に述べる「力学」の結果を参照して、初期条件をずらした場合の結果の相違を見比べる程のものですが、方や量子力学では本質的な「状態」から得られる情報を引き出しているという違いが出てきます。
英語の名称が本質を描くという保証はどこにもないわけですが、力学はDynamics(時間発展)であるのに対して、量子力学がQuantum Mechanicsが当てられることが多いあたりやはりそこで何をするか、というのが見えてくる気がします。要は、状態からどういう情報を引き出せるか、というテーマを含めるとMechanicsを名乗る、ということです。
で、「力学」すなわちdynamicsというのは、古典の場合はパラメータ一覧表が、量子の場合は抽象的な「状態」が古い力学では「時間発展して変化すると」どうなるか、というテーマを、相対論的な議論を踏まえると、「異なる時空間上の点にどう影響するか」、を議論することになってきます。
素朴な「時間発展するとどうなる」というのは「異なる時空間上の点にどう影響するか」という議論の中に包含されます。それを考えるには古典論を量子論で使うような表現に置き換えて仕舞えばわかります。まず、古典的な状態というのは量子力学でも得ることができるどの物理的なパラメータを持ってきても局在している、すなわち、どんな変数でも一意に値が決まり、ボルンの確率解釈で言うなれば、その決まった値のところだけ確率が１になっていて、他は全部0と言い換えることができます。
時空間上の異なる点、との相関を考えるというのは「時間方向を選んでその方向に動かした別の点」との相関を考えることを含みます。しかし時間を動かした、というのは「時間発展」を表すわけです。
ここで状態から得られる確率が1となる空間上の位置は変化する可能性があります。その変化を予言するのが時間発展の理論の持つべき性質になります。
ということは、時空間上の異なる点との相関が著しく、観測的に「一意」に見える経路を辿ればいわゆる「古典経路」すなわち、古典的な「時間発展」を追尾していることになってきます。
量子論ではその相関が空間的あるいは時間的に広がりを持ってくるのです。したがって、「異なる時空間上の相関」などと表現することになってしまいます。ただし、だとしてもある程度スケールを荒っぽく見ると古典的な議論と結果が一致してくるわけです。
ところで実際にたどる古典経路以外の経路についても何かしら値を評価し、そのうちある種の性質を持った値を「古典経路」として選び抜くというものは「最小作用原理」と呼ばれる古典力学の手法です。
すなわち、例えば宇宙空間でものを投げればそれは「等速直線運動をする」というのはニュートン以来の法則ですが、それは自明のものではないとして、例えば「等加速度運動する」「単振動する」というような別の運動状態を含めた中である種の条件を満たすものが「等速直線運動」であって、それが選ばれる、というような形で運動状態を選び出すのが「最小作用原理」と呼ばれるものの荒っぽい説明です。
最小作用原理とは物体の置かれた環境を「ラグランジアン」という関数で与え、その与えられたラグランジアンに対して、作用積分というものを運動の仕方ごとに評価させると、「なぜかしら」作用積分の値が最小となるところを実際に運動する、という「原理」です。
この最小作用原理は量子力学では経路積分法という方法によって正当化されます。
すなわち、荒っぽくいえば実際の経路では無相関、つまり、物体の実際に選ぶ運動状態ではたどり着くことにない時空間上の点との相関関係は「ほぼゼロ」と評価し、逆に古典的にたどると推定される経路には「ほぼ１」と評価してくれる、それが作用積分の値が最小でない時には「ほぼゼロ」で、最小の場合には「ほぼ１」となってくれれば、いいわけです。
ボルンの確率解釈がある以上、異なる時空間上の点(より一般化すれば異なる時空間上の異なる状態）とも確率を評価することができるはずだ。だがしかし、評価したい相関を見る時に二つの状態が選んでいる時空間の点が異なっている場合にどうするか、を考える時、ボルンの確率解釈は素朴にはやはり「同一時空間上で」適用されるべきと考えると、なんとかして時空間上を動かす技術が必要で、それが「経路積分」になります。
答えを荒っぽく言えば作用積分の値は経路によって異なりますが、それをSとかいた時に
exp(iS)を二つの状態の積にかけて全経路で積分をとると二つの選んだ時空間上の点の間を運ぶことができる、というのが経路積分で、経路の変化によってSの値が著しく変化すると細かい説明をすると面倒なので答えだけ言えば積分の結果が0になり、あまり変化しないとexp(iS)の定数値になるので定数値の積分は積分の外に出せば良くなるので、値が直接出てきます。ただし量子力学ではexp(iS)は「位相の任意性」と言い、1と考えていいような事例が大半です。
つまるところ、古典力学では「原理」に過ぎず、さらに最小値(という名称は間違いで、さっき述べたように、「あまり変化しない」つまり「停留値」)さえ見ておけばそれで十分だった最小作用原理は作用積分が経路積分法では異なる時空間上に状態を運ぶときの相関を評価する因子として作用積分を取っておくということで、確率を評価すると原理としていたものが自明になるのが経路積分法のやり方になってきます。
経路積分法が異なる時空間上に運ぶということから、場の量子論でも異なる時空間上に生成した「状態」同士がどう相関するかを評価するときには経路積分を使うことができる。
さて、ここで述べてきたように、量子力学の世界では状態が非自明になる影響で
「状態とその相関から直接的に情報を引き抜いて欲しいものを考える」
という技術自体がそれとして意味を持つ議論されるべき対象になってくるため、状態周りの議論というのが大きな重みを持つ一方で、これは古典でも言えることだがその状態の異なる時空間上の点との相関を評価するすなわち
「異なる時空間上の点への波及効果を評価する」
という古くから力学の本論だった部分の二つが学ぶ対象として柱になってくる。
前者は先に述べたように「散乱」「S行列」と言ったあたりのことで学ぶことになり、
後者は経路積分、あるいは経路積分で評価される「ラグランジアン」あるいはさらに場の演算子(それはラグランジアンの「変数」となることもある)とつながってくる。