論理構造が複雑なものの学習はいかにか難しい。
それが明確に見えないまま展開されることが多いので熱力学と電磁気学についてはそれを記述する。
・熱力学
１平衡状態が存在し、それは必要十分なパラメータで区別できる。
２熱力学法則の存在
を示した上で、(ここでバラツキが存在するが多分最大流派は)
3エネルギーの出入りを表すdU=TdS-pdV+μdN...式について考える。
(i)エネルギーは保存するはずである。
ゆえにうまいパラメータ(ここに「温度」を入れてはいけない！)を用意してそれが「平衡状態」を一意に記述していれば、U(s)みたいな関数でエネルギーを記述できるはずで、どう状態を変化させようとも、一周戻ってきたらエネルギーの変化がゼロになっているはずだ。
→そのうまい変数をS(エントロピー)と呼んで定義しておこう。
→そうするとU(s)を全微分したらdU=TdS-pdV+μdN...になってて微係数は物理量と対応がつくじゃん。それに、全微分なんだから可積分条件持ってるからある関係が成立するね(マクスウェルの関係式)
(ii)エントロピーを定義して熱力学第二法則を見てみると「エントロピー」が「取りうる最大値を取る」ぞ。じゃあ、熱力学第二法則は「エントロピー最大原理」と読み替えましょう
→でもエントロピーって勝手においたもので使い勝手悪くない？
→ってか、変数に温度が使えないとかゴミだろ
４使いやすい変数を持った熱力学関数を構築しよう
⭐︎ルジャンドル変換使うと微係数の意味を保てて、かつ最大値(エントロピーをそのままではなく逆関数を使ってエネルギーからルジャンドル変換するから「最小値」だが)条件を生かせるよ
⭐︎ただルジャンドル変換できるものであるからには「凸関数」じゃないといけないけど、最大最小性を極大極小を探す式から出せるし、そうおいても大丈夫だろ
(注：相転移現象が絡むとき統計力学と合わせて考えるときなど、問題がないわけではない。
という流れによって構築される完成版の熱力学である。よって
１状態を表すパラメータの組み合わせがあり、それに対応する熱力学関数が存在する
２熱力学関数はエネルギー保存則と対応して示量変数の微係数から「力」を、
熱力学第二法則と対応して、到達される平衡状態は到達可能な状態の中でその関数の値が最大もしくは最小を示すような性質として対応する。
ゆえに、ゴールは
「状態と、対応する関数があって、その性質を見れば対応する平衡状態やどの平衡状態が選ばれるかなどを調べられる」
というもの。熱力学はわりかし多くのことを教えてくれるとはいえ、使い方とか見通し自体はそこまで悪くはないだろうと思う。清水先生の教科書はあえてこのゴールから逆順に観測される法則を説明したり、使い方を示している。
熱力学の基礎/東京大学出版会
￥4,104
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・電磁気学
１通常の物質と類似し、すなわち移動や時間経過による「消失」や「生成」のない(厳密には「連続の方程式を満たした」)と仮定される「電荷」「電流」の存在を認める。
２電荷電流に対してニュートン的な力がかかっている時にその性質から「電場」と呼ばれるものと「磁場」というものを与えると「ローレンツ力」という形でその力を解釈できる(またそうすることで電場や磁場を定義できる)
３電場や磁場と電荷、電流の間には現象的には「電磁誘導」あるいは「電流磁場」などというような形で現れる相関がある。これらは数学的には電磁場の幾何構造として認識され、幾何構造を扱うために「面積分」と「線積分」の二つでそれぞれ「電場」と「磁場」を見た時の法則として、つまり総計4つの法則を取り上げる。
４ところが3の法則は積分の方法が場と電荷電流で違うため、数学の定理で変形すると「微分型マクスウェル方程式」が得られる。
→ここで一番最初の電磁気学の授業はほぼ終わる。
従って
「現象的に確認される電磁場と電荷電流の間には微分型マクスウェル方程式なる関係性がある」
が一番最初の授業の結論となってしまう...
もちろんそこで終わったら終わりであって...まあ、そのあとの続け方はいろいろあります。そう。普遍的に使える道具が「マクスウェル方程式」ということまで揃えておいて、あとは出口戦略で専門化。
たとえば
→時間変化のない仮定を置いて適当に計算するとマクスウェル方程式からよく知られる関係性が出てくる
→回路素子の内部で起こっているようなことを計算することでたとえばコンデンサやコイルといった素子の性質を示すことができる。また回路を全体としてマクスウェル方程式の成立するべきものと見たり、回路上の一点について連続の方程式を考えたりすることでキルヒホッフ則などを得られる→エレクトロニクスの前提知識を得ることができる
→真空を仮定すると微分の性質から場について二階の線形微分方程式を得られて、それは「電磁波の真空の伝搬」を示す
→空間領域で分割して誘電率や透磁率などをいじってもうまい境界条件が示されるので、物質が異なるところの境界で起こることも境界条件等を調べるとわかる→光学的な議論も電磁気学から理解できる
→実はフーリエ表示を使ったりするとうまい具合に微分演算子の処理ができて微分方程式を解けることがよくある(もちろん演算子の形によっては解けない。)
→極座標を使って境界条件を表したいような場合などを扱うために微分演算子を極座標表示に対応した形式にするとそれをうまく扱う(対角化する)関数が必要になってきて、そういう特殊関数の扱いが実は結構必要になる
→マクスウェル方程式ならびにそこから導かれる連続の方程式や波動方程式が「どの慣性系から見ても成立する」(共変)ものであると考えるとガリレイ座標変換は正しい座標変換を表していない(ローレンツ変換は正しい座標変換となる)→力学と電磁気のいずれかの修正要求→相対性理論によって解決→実験的に相対論が勝利
→一般的な電荷や電流を与えてマクスウェル方程式を解くと電荷や電流が電磁場に引き起こす擾乱を記述する。すなわち、「電磁波の発生」を記述する。→もちろん光学的にも重要だし、電磁波を活用するあらゆる分野につながる
→電磁場をポテンシャルで記述することでポテンシャルが実はローレンツ変換などの性質を見た時に本質的にきいてくることがわかる。→電磁場は反対称テンソルを使うとローレンツテンソルとして記述される。「ローレンツテンソル」という扱いだと判明することでローレンツ変換が明らかとなる。
→マクスウェル方程式を見ると電磁テンソル自身が作用積分に寄与している。この時、作用積分の変数を「場」すなわち「ポテンシャル」に取ることになる。
→ポテンシャルはゲージ不変性を持っている。→量子力学と組み合わせることで「位相回転」と対応が付いていることがわかり、場の量子論においては、「局所的に」この位相回転不変性を場に与えることで電磁ポテンシャルが必然的に現れることがわかる。この類の場を「ゲージ場」と言う。
→電磁テンソル自身の作用への寄与が自由な「光子」のラグランジアンと解釈できる。すなわち、「光子」を定義することができる。そして場の量子論の計算において光子が通常の物質と相関する場合を計算する一連の扱い方を「量子電磁力学」という。
→位相回転のやり方を変えることでさらに異なる「非可換ゲージ場」が定義される。そのうちワインバーグサラム理論、QCDは現実と対応がある。
などとまあ、電磁気学は発展するわけです。
しかしまあそういう発展をしたのもやはり電磁的なものが日常を占める多くの現象と関連しているからで、
それに対応する「出口」が多いのです。出口が多い分だけ、「ムダ」も大きい。
全部ではないが、多くの出口への道筋を書いてくれているのがジャクソンだろうか。
電磁気学 (上) (物理学叢書 (90))/吉岡書店
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ジャクソン電磁気学〈下〉 (物理学叢書)/吉岡書店
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それが明確に見えないまま展開されることが多いので熱力学と電磁気学についてはそれを記述する。
・熱力学
１平衡状態が存在し、それは必要十分なパラメータで区別できる。
２熱力学法則の存在
を示した上で、(ここでバラツキが存在するが多分最大流派は)
3エネルギーの出入りを表すdU=TdS-pdV+μdN...式について考える。
(i)エネルギーは保存するはずである。
ゆえにうまいパラメータ(ここに「温度」を入れてはいけない！)を用意してそれが「平衡状態」を一意に記述していれば、U(s)みたいな関数でエネルギーを記述できるはずで、どう状態を変化させようとも、一周戻ってきたらエネルギーの変化がゼロになっているはずだ。
→そのうまい変数をS(エントロピー)と呼んで定義しておこう。
→そうするとU(s)を全微分したらdU=TdS-pdV+μdN...になってて微係数は物理量と対応がつくじゃん。それに、全微分なんだから可積分条件持ってるからある関係が成立するね(マクスウェルの関係式)
(ii)エントロピーを定義して熱力学第二法則を見てみると「エントロピー」が「取りうる最大値を取る」ぞ。じゃあ、熱力学第二法則は「エントロピー最大原理」と読み替えましょう
→でもエントロピーって勝手においたもので使い勝手悪くない？
→ってか、変数に温度が使えないとかゴミだろ
４使いやすい変数を持った熱力学関数を構築しよう
⭐︎ルジャンドル変換使うと微係数の意味を保てて、かつ最大値(エントロピーをそのままではなく逆関数を使ってエネルギーからルジャンドル変換するから「最小値」だが)条件を生かせるよ
⭐︎ただルジャンドル変換できるものであるからには「凸関数」じゃないといけないけど、最大最小性を極大極小を探す式から出せるし、そうおいても大丈夫だろ
(注：相転移現象が絡むとき統計力学と合わせて考えるときなど、問題がないわけではない。
という流れによって構築される完成版の熱力学である。よって
１状態を表すパラメータの組み合わせがあり、それに対応する熱力学関数が存在する
２熱力学関数はエネルギー保存則と対応して示量変数の微係数から「力」を、
熱力学第二法則と対応して、到達される平衡状態は到達可能な状態の中でその関数の値が最大もしくは最小を示すような性質として対応する。
ゆえに、ゴールは
「状態と、対応する関数があって、その性質を見れば対応する平衡状態やどの平衡状態が選ばれるかなどを調べられる」
というもの。熱力学はわりかし多くのことを教えてくれるとはいえ、使い方とか見通し自体はそこまで悪くはないだろうと思う。清水先生の教科書はあえてこのゴールから逆順に観測される法則を説明したり、使い方を示している。
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１通常の物質と類似し、すなわち移動や時間経過による「消失」や「生成」のない(厳密には「連続の方程式を満たした」)と仮定される「電荷」「電流」の存在を認める。
２電荷電流に対してニュートン的な力がかかっている時にその性質から「電場」と呼ばれるものと「磁場」というものを与えると「ローレンツ力」という形でその力を解釈できる(またそうすることで電場や磁場を定義できる)
３電場や磁場と電荷、電流の間には現象的には「電磁誘導」あるいは「電流磁場」などというような形で現れる相関がある。これらは数学的には電磁場の幾何構造として認識され、幾何構造を扱うために「面積分」と「線積分」の二つでそれぞれ「電場」と「磁場」を見た時の法則として、つまり総計4つの法則を取り上げる。
４ところが3の法則は積分の方法が場と電荷電流で違うため、数学の定理で変形すると「微分型マクスウェル方程式」が得られる。
→ここで一番最初の電磁気学の授業はほぼ終わる。
従って
「現象的に確認される電磁場と電荷電流の間には微分型マクスウェル方程式なる関係性がある」
が一番最初の授業の結論となってしまう...
もちろんそこで終わったら終わりであって...まあ、そのあとの続け方はいろいろあります。そう。普遍的に使える道具が「マクスウェル方程式」ということまで揃えておいて、あとは出口戦略で専門化。
たとえば
→時間変化のない仮定を置いて適当に計算するとマクスウェル方程式からよく知られる関係性が出てくる
→回路素子の内部で起こっているようなことを計算することでたとえばコンデンサやコイルといった素子の性質を示すことができる。また回路を全体としてマクスウェル方程式の成立するべきものと見たり、回路上の一点について連続の方程式を考えたりすることでキルヒホッフ則などを得られる→エレクトロニクスの前提知識を得ることができる
→真空を仮定すると微分の性質から場について二階の線形微分方程式を得られて、それは「電磁波の真空の伝搬」を示す
→空間領域で分割して誘電率や透磁率などをいじってもうまい境界条件が示されるので、物質が異なるところの境界で起こることも境界条件等を調べるとわかる→光学的な議論も電磁気学から理解できる
→実はフーリエ表示を使ったりするとうまい具合に微分演算子の処理ができて微分方程式を解けることがよくある(もちろん演算子の形によっては解けない。)
→極座標を使って境界条件を表したいような場合などを扱うために微分演算子を極座標表示に対応した形式にするとそれをうまく扱う(対角化する)関数が必要になってきて、そういう特殊関数の扱いが実は結構必要になる
→マクスウェル方程式ならびにそこから導かれる連続の方程式や波動方程式が「どの慣性系から見ても成立する」(共変)ものであると考えるとガリレイ座標変換は正しい座標変換を表していない(ローレンツ変換は正しい座標変換となる)→力学と電磁気のいずれかの修正要求→相対性理論によって解決→実験的に相対論が勝利
→一般的な電荷や電流を与えてマクスウェル方程式を解くと電荷や電流が電磁場に引き起こす擾乱を記述する。すなわち、「電磁波の発生」を記述する。→もちろん光学的にも重要だし、電磁波を活用するあらゆる分野につながる
→電磁場をポテンシャルで記述することでポテンシャルが実はローレンツ変換などの性質を見た時に本質的にきいてくることがわかる。→電磁場は反対称テンソルを使うとローレンツテンソルとして記述される。「ローレンツテンソル」という扱いだと判明することでローレンツ変換が明らかとなる。
→マクスウェル方程式を見ると電磁テンソル自身が作用積分に寄与している。この時、作用積分の変数を「場」すなわち「ポテンシャル」に取ることになる。
→ポテンシャルはゲージ不変性を持っている。→量子力学と組み合わせることで「位相回転」と対応が付いていることがわかり、場の量子論においては、「局所的に」この位相回転不変性を場に与えることで電磁ポテンシャルが必然的に現れることがわかる。この類の場を「ゲージ場」と言う。
→電磁テンソル自身の作用への寄与が自由な「光子」のラグランジアンと解釈できる。すなわち、「光子」を定義することができる。そして場の量子論の計算において光子が通常の物質と相関する場合を計算する一連の扱い方を「量子電磁力学」という。
→位相回転のやり方を変えることでさらに異なる「非可換ゲージ場」が定義される。そのうちワインバーグサラム理論、QCDは現実と対応がある。
などとまあ、電磁気学は発展するわけです。
しかしまあそういう発展をしたのもやはり電磁的なものが日常を占める多くの現象と関連しているからで、
それに対応する「出口」が多いのです。出口が多い分だけ、「ムダ」も大きい。
全部ではないが、多くの出口への道筋を書いてくれているのがジャクソンだろうか。
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