物理ネコ教室278ボーアの水素モデル

　いよいよ、ボーアの水素モデルです。

　初期の量子力学は、ボーアの対応原理によって、ごりごりと間違えながら進みましたが、対応原理のポイントは、古い理論に新しい事実を接ぎ木してむりやりな理論を作ったとしても、それが数学的には古い理論と新しい理論の架け橋になっているだろうという予測です。

　ボーアが水素モデルのスペクトルの解明のため、用いた新しい内容は、前回あげた３つ。

　定常状態（電磁波を出さずに回れる特別な軌道が存在する）、量子条件（軌道がどのようにとびとびになっているかを示す。のち、ド・ブロイの物質波の波長λ＝ｈ／ｍｖと関係があることがわかる）、振動数条件（定常状態から別の定常状態に写るときに光が放射・吸収され、その光はプランク・アインシュタインの光子のエネルギーＥ＝ｈνとなる）です。

　それ以外は、古い理論で、高校生がいままで習ってきた様々な物理法則になります。

　したがって、ボーアの水素モデルの理論は、上の３つの新しい内容をどこで使うかというポイントさえ指示されれば、高校生が自力で導ける内容となっています。

　プリントは問題形式にしてありますので、はたして自力で解けるかどうか、試してみて下さい。プリントにポイントポイントの指示が書いてありますので、ぼくの授業では、けっこうな数の生徒が、自力で最後までたどりつきます。

　プリントの前半、後半、まとめてどうぞ。

　さて、バルマーが見つけたスペクトルの規則性まで、たどり着けたでしょうか？

　では、書き込みを見て行きましょう。

（１）は静電気力と慣性力のつりあいです。万有引力で人工衛星の円軌道を調べるのに使った方法を、静電気力におきかえるだけです。これが出来ない人は、理系とはいえません。

　途中、円軌道がド・ブロイ波長の整数倍しか許されないという「量子条件」を使いますが、前のプリントでやっていますので、その式を使って、式を変形するだけの作業になります。ここで「量子条件」をどう見つけるかが物理であって（それはもう、ボーアがやっています）、見つかった後それを使って計算するのは物理的な能力は関係ありません。ただの算数です。

　（ａ）のすぐ上のｒの式と（ａ）の式はまったく同じですが、（ａ）では、軌道半径が整数（量子数）ｎできまるとびとびの値になっていることを強調するために、ｒに量子数ｎを添え字としてつけなおしてあります。

（２）は、万有引力での人工衛星の問題を解いているとよく登場する計算と同じものです。

　運動エネルギーと位置エネルギーの和は、円軌道をする人工衛星のように星に「束縛されている」場合は、負になります。水素原子の電子も原子核に「束縛」されていますから、エネルギーの和は負になります。

　このプリントではその和を位置エネルギーを使ってまとめていますが、運動エネルギーでまとめる方法もあります。

　では、後半へ。