半減期の正体を探るオマケのプリントです。
この補助プリントを丁寧に読んでいただければ、話の流れが見えてくると思います。
ホモ・サピエンスが新人類ホモ・グリーンピース（冗談）になる現象を、放射性崩壊現象に例えたプリントです。
ホモ・グリーンピースの謎めいたお話は、ぼくのオリジナルですが、放射性崩壊の数学ルールを理解する上で、「相互作用か、内的原因か」という部分を理解する一助として考えたものです。
まず、プリントをご覧ください。
ホモ・サピエンスがある時期から新人類へ進化し、１日で９人に１人が新人類ホモ・グリーンピースに変わる現象が起きるものとして、計算しています。プリントをご覧ください。
ここで前提にしているホモ・グリーンピースへの進化現象は、次の基本原理によって生じているものとしています。
（１）感染性（つまり相互作用）によるものではなく、内因性（原子自体がもつ性質）のものであること。
（２）それが確率によって支配されていること。
プリントの例でいえば、１日に９人に１人が新人類に移行する割合なので、それで少し試算してみましょう。
最初の集団の人数が９人なら、
Δｔ＝１日、ーΔＮ＝新人類になることで人類が減る数＝ー１人
一日当たり人類が減る割合ーΔＮ／Δｔ＝ー１／１＝ー１（人／日）
最初の集団の人数が９０人なら、当然新人類に移行する数は１０倍になりますから、
Δｔ＝１日、ーΔＮ＝ー１０人
ーΔＮ／Δｔ＝ー１０／１＝ー１０（人／日）
最初の集団の人数が９００人なら、移行する数は１００倍の１００人ですから、
Δｔ＝１日、ーΔＮ＝ー１００人
ーΔＮ／Δｔ＝ー１００／１＝ー１００（人／日）
これらから、単純に、人類の減る割合ーΔＮ／Δｔは最初の集団の数Ｎに比例することがわかりますから、その比例定数をλとおけば、
ーΔＮ／Δｔ＝λＮ
と書けます。（ホモ・グリーンピースになる現象では、λ＝１／９です）
自然放射性崩壊現象も、伝染性がなく、原子自身に崩壊の原因があり、それが確率的な法則にしたがっているとすると、新人類に移行する人類の場合と同様な式が成立することになります。
ーΔＮ／Δｔ＝λＮ
この場合は、Ｎは放射性原子の数で、ーΔＮ／Δｔが単位時間に放射性崩壊を起こして他の原子に変わるためにもとの原子の減る割合にあたります。
微分形式で書けば、
ーｄＮ／ｄｔ＝λＮ
ここまでくれば、プリントにあるように、変数分離法で積分して、Ｎの関数を求めることができます。
Ｎ／Ｎｏ＝ｅ^（ーλｔ）（ｅのーλｔ乗：ｅは自然対数の底【ネイピア数】2.718・・・）
この段階では、まだ半減期Ｔは登場しません。
２の式に出てくるλは、放射性崩壊現象の「崩壊定数」と呼ばれる値になります。
これを数字「２」を使って書き直すと、半減期Ｔが登場します。
それは、後半のプリントでご覧ください。
３のように、式を変形すると、崩壊定数λの逆数１／λが、放射性原子の量がもとの量の１／ｅになる時間、つまり「ｅ分の１減期」にあたることがわかります。
４のように、数学的にｌｏｇをうまく用いて、この「１／ｅ」を「１／２」に置き換える操作をすると、高校の教科書に登場する「半減期」を使った式に変形できます。
半減期Ｔ＝log2／λであることもわかりますね。
同様な変形は「１／３」や「１／４」を使っても可能なので、半減期のかわりに３分の１減期、４分の１減期を用いた式を使うことも可能です。
ここで、重要なことは、Ｎ／Ｎｏを表す式は１／ｅを用いようが、１／２を用いようが、１／３を用いようが、すべて同じグラフを表すものである、ということです。
３（ａ）のグラフと４（ｂ）のグラフは、全く同じものなんですね。
半減期を用いた放射性崩壊の式は、原子の減り方が指数関数的であるということを、人間の感覚で半分になる期間（半減期）を用いて数学的に表現したものです。自然のルールの中に、半減期という特別な物理量が存在するわけではありません。誤解しやすいところですので、気をつけておきましょう。
高校の教科書には、この辺の話は書いてありませんが、数学的にも物理的にも、おさえておきたいことではないでしょうか。
では、今回はこのへんで。
次回からいよいよ、量子論に突入します。
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