小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題）　名古屋大学２０２５年文理共通数学第２問

　整数a、b、cに対し次の条件を考える
。 　　（＊）a≧b≧０かつa2－b2＝c
（１）c＝２４、２５、２６それぞれの場合に条件（＊）をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ。
（２）pは３以上の素数、ｎは正の整数、c＝４p2nとする。このとき、条件（＊）をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ。
（注）
a2→a×a
b2→b×b
正の→０より大きい
２ｎ→２×ｎ
４p2n→４と「pを２ｎ個掛け合わせた数」の積

 

「和と差の積＝２乗の差」（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解答・解説を参照）を利用して約数のペアの議論に持ち込みます。

その際、偶奇性を利用すると簡単に処理できます。

偶奇性を利用する問題は中学入試でも昔からよく出されています（神戸女学院中学部２００３年算数第２問、南山中学校女子部２０２５年算数第７問など）

（１）の３問と（２）で同じことを繰り返し問うているだけで、簡単な問題です。

小学生の場合、（２）の指数の処理が若干難しいでしょう。

名大の受験生のレベルを考慮すると、pを単に素数とし、２とそれ以外の素数の場合分けを怠ったら減点するような問題でもよかったような気がします。

素数の問題では、２（唯一の偶数）と３（唯一の３の倍数）に常に注意を払うべきであって、中学入試でもそういうことが問われていますからね（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２））。

南女の好きそうな論点がちりばめられた問題なので、南女の受験生は、少なくとも（１）ぐらいはさっと解けるようにしておいた方がいいでしょうね。

因みに、a2－b2＝２０２６を満たす(a,b)はありません。

詳しくは、下記ページで。

　名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（問題）

　名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（解答・解説）

大阪星光学院の高校入試で（１）の数値が変わっただけの問題が出ているので、解いてみます。

（問題）

　大阪星光学院高等学校２０２０年数学第１問（４）
　ｘ2－ｙ2＝８０となる正の整数ｘ、ｙの組（ｘ,ｙ）をすべて求めると、（ｘ,ｙ）＝[　　　　　　　　　　]である。
（注）
正の→０より大きい
（解答・解説）
与えられた条件より、（ｘ＋ｙ）×（ｘ－ｙ）＝８０となります（和と差の積＝２乗の差の利用）。
（ｘ＋ｙ）＋（ｘ－ｙ）＝ｘ×２（偶数）だから、ｘ＋ｙとｘ－ｙの偶奇は一致します。
ｘ＞０、ｙ＞０だから、ｘ＋ｙはｘ－ｙより大きくなります。
８０の約数のペアがｘ＋ｙとｘ－ｙということですね。
最初に述べたことに注意すると（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（４０，２）、（２０，４）、（１０，８）となります。
（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（４０，２）のとき、和差算を解くと、ｘ＝（４０＋２）/２＝２１となり、ｙ＝２１－２＝１９となります。
（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（２０，４）のとき、和差算を解くと、ｘ＝（２０＋４）/２＝１２となり、ｙ＝１２－４＝８となります。
（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（１０，８）のとき、和差算を解くと、ｘ＝（１０＋８）/２＝９となり、ｙ＝９－８＝１となります。
したがって、、(ｘ,ｙ)＝（２１，１９）、（１２，８）、（９，１）となります。

 

今回取り上げた問題は平方数－平方数の問題ですが、立方数－立方数の問題が京都大学などで出されています。

小学生の場合、因数分解はできないので、平方数－平方数の問題の場合、和と差の積＝２乗の差を利用したり、面積図をかいたりして処理することになり、立方数－立方数の問題の場合は、体積図をかいて処理することになります。

京大の（理系のほうの）問題（負の数の答えを排除したもの）が解けた小学生の教え子も過去に何人かいます。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（場合の数）　大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問

　右の図１のような２ｎ個のマスのそれぞれに〇、×のいずれかの記号を入れる入れ方を考える。ただし、１８０°回転して同じになるものは１通りと考えることにする。たとえばｎ＝１のとき、記号の入れ方は図２のように３通りある。
（１）ｎ＝２のとき、記号の入れ方は[　]通りある。
（２）ｎ＝３のとき、記号の入れ方は[　]通りある。
（３）ｎが自然数のとき、２ｎ個のマスに記号を入れる入れ方はｎを用いて[　　　]通りと表せる。
（注）
２ｎ→２×ｎ
自然数→１以上の整数（小学生は無視して考えればよいでしょう。）

　

 

「１８０°回転して同じになるものは１通りと考える」という条件があるので、ダブりに注意する必要があります。

解説ではあえてダブらせて後で調整するという方針で解いています。

この方針は非常に大切なので、最難関中学校の受験生はしっかりマスターしておく必要があります。

下の問題を解いてみるとよいでしょう。

 

 

 

 

 

 

 

 

大阪星光の問題に戻ります。

ｎ＝１のとき（問題の例）とｎ＝２のとき（（１））を理論的にきっちり分析することができれば、メインの（３）の問題も同様にしてすぐに解けます。

（１）と（２）だけなら、書き出して解くという方針でも解けないこともないですが、その方針では、（３）は厳しいでしょう。

何も考えずに書き出しても意味はないですが、ｎ＝２の場合を書き出したときに、はじかれたものがどういうものであるかということと問題文の例ではじかれたものがどういうものであるかということを考えれば、解説の方針にたどり着ける可能性は十分あります。

ところで、解説では、ｎ＝１のときとｎ＝２のときにぎりぎりまで計算していませんが、これは非常に大切なことです。

計算してしまうと見えなくなってしまうことがありますからね。

例えば、次のような問題を低学年の子に解いてもらうことがあります。

　最初の数が３で、２ずつ増えていく数を左から順に並べます。左から２０番目の数は何ですか。

初めて教えた子は、たいてい３、３＋２＝５、５＋２＝７、・・・というようなことをして答えを出そうとします。

これで答えを出せること自体はいいことですが、計算はしなくてもいいから、番号と式だけ書いてくれればいいよと必ず言います。

すると、

　①　３

　②　３＋２

　③　３＋２＋２

　④　３＋２＋２＋２

　⑤　３＋２＋２＋２＋２

というように書いてくれるので、⑤って数字が何個並んでいるか問うと、５個とすぐに答えてくれ、２は何個並んでいるか問うと、４個とすぐに答えてくれます。

これをいくつかの番号でやった後、⑳はどうかなと問うと、数字は全部で２０個で、２は１９個だと答えてくれ、３＋１９×２＝４１が答えだと言ってくれます。

最初が２だったら楽だったよねと言うと、２×２０＋１＝４１としたほうが楽だとたいていの子が気付いてくれます。

低学年のうちはこういう勉強法が非常に大切で、等差数列の□番目の公式を覚えせてそれを当てはめて解くなどという学習法では、高学年で破綻することがあります（公式を忘れたと言って手が（思考も）止まってしまうような状態です）。

もちろん、等差数列の□番目の公式を自分で導き出せるのであれば問題ありません。

詳しくは、下記ページで。

　大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問（問題）

　大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問（解答・解説）

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題）　京都大学２０２５年理系数学第２問

　正の整数ｘ、ｙ、ｚを用いて
　　Ｎ＝９ｚ2＝ｘ6＋ｙ4
と表される正の整数Ｎの最小値を求めよ。
（注）
正の→０より大きい
９ｚ2→９×ｚ×ｚ
ｘ6→ｘを６個掛け合わせた数
ｙ4→ｙを４個掛け合わせた数

 

昨年の東大入試と京大入試では小学生でも解ける問題が結構出されました（東大の文科で２問、京大の文系で２問、京大の理系で１問）。

東大の文科などは、４問中１問しか取れなくても受かる人がそれなりにいるのが現実なので、２問も出されたことにはさすがに驚かされました。

今年の東大、京大の入試で小学生が解ける問題は今回取り上げた京大の理系の問題ぐらいです。

知識が必要な分野を出されると厳しくなりますからね。

京大の文系の確率の問題（第３問）のｎが具体的な値であれば、小学生でも解ける問題です。

実際、私が作成した灘中対策演習問題などに同じような問題が入っていますからね。

　

ｎが具体的な値であっても、きっちりとした解き方をすれば、京大の問題でも通用します。

最後に漸化式を解くという高校で習うルーティンワーク的な作業をするだけですからね。

さて、今回取り上げた京大の理系の問題ですが、Ｎ＝９ｚ2を見た瞬間に答えが２０２５かなと感じた受験生が結構いたでしょうね（実際、今年京医を受験した教え子も答えがすぐにわかったので、それを示すだけだったと言っていました）。
２０２５は平方数で９の倍数ですからね。

ｘ、ｙを３で割った余りを考えれば、ｘ、ｙがともに３で割り切れることが分かるので簡単に解決します。

詳しくは、下記ページで。

　京都大学２０２５年理系数学第２問（問題）

　京都大学２０２５年理系数学第２問（解答・解説）

 

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平面図形（面積）の問題　東海中学校２０２５年算数第４問

　図の三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦは正三角形で、ＡＦとＢＤの交点をＧとします。ＢＥとＥＣの長さの比は１：２で、ＥＣとＣＦの長さの比は４：５です。三角形ＡＢＧと三角形ＤＦＧの面積の差は２２cm2です。
（１）三角形ＡＢＦの面積を求めなさい。
（２）三角形ＡＢＧの面積を求めなさい。

　　

 

 

 

 

 

上記のように、算数オリンピックレベルの平面図形の問題が出されることもある東海中学校ですが、この問題は簡単な問題です。

入学後のことを考えずに、算数は５割ぐらいで理科と社会で稼ぐというような方針で東海を受験しようとする子が結構多くて驚かされますが、そういう子にとっても合否を分ける問題でしょうね。

因みに、小６で算数ができないのであれば、一時的な妥協として算数５割ぐらいという上記の方針でとりあえず中学受験をクリアしようというのはありだと思います（合格後は、医学部などの理系を目指すのであれば、周りの子の２倍努力するぐらいの気持ちで数学を勉強しないといけないでしょう）が、小５からそういう方針で東海を受験しようとするのはやめておいた方がいいでしょうね。

仮に合格したとしても、後々苦労しますからね。

さて、今回取り上げた問題について考えてみましょう。

（１）は、面積の差の標準問題で、つけたしを考えておしまいです。

面積の差の問題で、単につけ足しを考えるだけではうまくいかない問題（麻布中学校２０２４年算数第２問など）もあります。

東海の受験生なら、しっかりマスターしておくべきでしょう。

（２）は、相似（ピラミッド相似とちょうちょ相似）といわゆる等高図形の面積比と等底図形の面積比を駆使して、（１）の面積の利用に持ち込みます。

相似、面積比の分野の基本的な解法がマスターできているか確認するのにちょうどいい問題だと思います。

詳しくは、下記ページで。

　東海中学校２０２５年算数第４問（問題）

　東海中学校２０２５年算数第４問（解答・解説）

 

 

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中学入試算数の計算問題　洛南高等学校附属中学校２０２５年算数第１問（１）

　次の□にあてはまる数を答えなさい。
　　２/（５×７）＋４/（７×１１）＋６/（１１×１７）＋８/（１７×２５）＝□

 

各分数の分母が部分分数分解を示唆してくれているので簡単な問題ですね。

１５年ぐらい前にアップロードした下の計算問題と同じようなものですね（因みに、下の計算問題はフィボナッチ数列を登場させています）。

今となっては、２/３５＋４/７７＋６/１８７＋８/４２５と出されたとしてもすぐに解法が思いつかないといけません。

部分分数分解の問題が出されたときに、部分分数分解の作業をさぼって、分母にある２数の積のうち隣同士のものを消して、最初と最後だけが残るというような説明をする塾講師がいますが、最悪なことなので、きちんと（頭の中で）部分分数分解をして解きましょう。

以前はそんな愚かなことをしなかった子が塾に行ってそういう愚かなことをしだすのでびっくりしますよ。

水は低いところに流れるということを感じずにいられません。

分母の積を構成する２数と分子の関係を確認しながら部分分数分解を行わないと、出題者がわなを仕掛けたら間違えてしまいます。

詳しくは、洛南高校附属中学校２０２５年算数第１問（１）の解答・解説で。

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