日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０２３年予選の問題
今回は、JJMO２０２３年予選第３問の場合の数の問題を取り上げます。
中学受験生でも、ダブりの処理をきっちりすれば簡単に解けるでしょう。
AA、BB、CCをそれぞれセットにし、a、b、cとし、残り１文字をdとします。
dはA、B、Cの３通りあります。
そのそれぞれに対して、a、b、c、dの並べ方が４×３×２×１通りあるから、場合の数は
３×４×３×２×１
＝７２通り
となりそうですが、この中には、AAABBCCのようにある１文字が３つ並ぶ場合がダブルカウント（例えば、d=Aのときにadとdaがダブルカウント）されてしまっています。
そこで、同じ文字が３つ並ぶ場合の数を引く必要があります。
Aが３つ並ぶ場合は、AAA、BB、CCの３つのかたまりを並べると考えればよいから、この場合は３×２×１＝６通りあり、Bが３つ並ぶ場合とCが３つ並ぶ場合も同様に、６通りずつあります。
したがって、求める場合の数は７２－６×３＝５４通りとなります。
上の解説でダブルカウントされてしまっていますと書いてありますが、実際は、わざとダブルカウントして、その後、ダブりを除外するという手法で解いています。
意図せずにダブりが生じることはいけませんが、意図的にダブルカウントするのは問題ないのです。
この手法は応用性が高く、高校入試や大学入試でも利用できます。
次の灘高校の入試問題をぜひ解いてみましょう。
