小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック２００８年予選第２問）

　日本数学オリンピック（JMO)２００８年予選の問題

 

今回は、日本数学オリンピック２００８年予選第２問を取り上げ、解説します。

この年のジュニア数学オリンピックで、同じ問題が図付きで出されています。

この程度の問題であれば、図があってもなくても難易度は変わりませんね。

まず、図をかいた後、「円外のある点から円に接する直線（接線）を２本引くと、その点と円に接する２つの点（接点）との距離が等しくなる」という知識（最難関中学校受験生であれば、この知識を当然知っているはずですね）を利用します。

下のような補助線がすぐに引けますね。

　　
直角三角形がたくさんあるので、角度に記号をつけ、辺の比をチェックします。
三角形ＡＥＧと三角形ＦＥＧは合同となり、また、三角形ＤＧＣと三角形ＦＧＣも合同となり、さらに、三角形ＤＧＣと三角形ＡＥＧは相似（辺の比は、中：小＝２：１）となります。
ＡＥ＝１/２×１/２＝１/４となり、ＢＥ＝１－１/４＝３/４となるから、三角形ＣＢＥの面積は１×３/４×１/２＝３/８となります。
因みに、三角形ＣＢＥは、３つの辺の比が３：４：５の直角三角形となりますが、このことは三平方の定理を用いなくてもわかります（ＣＥ＝ＣＦ＋ＦＥ＝ＣＤ＋ＡＥ＝１＋１/４＝５/４となるからです）。

今回取り上げた問題と同じような問題が近年の数学オリンピック（JMO）でも出されている（日本数学オリンピック２０２２年予選第２問）ので、ぜひ解いてみましょう。

 

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数の性質の問題　東海中学校２０２６年算数第１問（２）

　３６６÷２０＝１８あまり６、４２１÷２０＝２１あまり１のように、２０で割ったときの商があまりの倍数になっている３けたの整数を考えます。
　このような整数のうち、最も大きい整数は[　]、５番目に大きい整数は[　]です。

 

商が余りの何倍かわかっていて答えをすべて求めるタイプの問題の場合は、下の灘中の問題の解説のように式を作って解くといいですが、今回取り上げた東海中の問題は式を作って解いても簡単にはなりません。

 

 

大きいほうから５個見つけるだけなので、上限から調べていくとよいでしょう。

詳しくは、東海中学校２０２６年算数第１問（２）の解答・解説で。

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（場合の数の問題）　一橋大学２０２６年前期数学第５問

　４本のひもがある。８つある端から２つずつ無作為に選び４つの組に分け、同じ組に属する端どうしを結ぶ。こうしてできる端の数をＮとする。ただし、輪とは１つあるいは複数のひもが結ばれて、ひとつながりになったものをいう。たとえば下図のとき、１つのひもからなる輪が２つと、２つのひもからなる輪が１つでできている。この図では２つの輪がからまっているが、Ｎ＝３と数える。
　　
（１）Ｎ＝４となる確率を求めよ。
（２）Ｎ＝１となる確率を求めよ。
（３）Ｎの期待値を求めよ。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
期待値→小学生の場合、単に平均と考えればよいでしょう。

 

確率の意味と期待値の意味を与えたり、場合の数の問題にしたりすれば、普通に小学生でも解ける問題です。

実際、中学入試で同じ考え方（特定のものに着目して同じ組のものを決めるという考え方）で解ける問題が出されていますからね。

 

 

詳しくは、下記ページで。

　一橋大学２０２６年前期数学第５問（問題）

　一橋大学２０２６年前期数学第５問（解答・解説）

因みに、今年の一橋大学の前期入試では５問中２問が小学生でも解ける問題でした。

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００５年第１０問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００５年の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第１０問を取り上げ解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子はもとより、最難関中学校の受験生も当然解けるはずの問題です。

等しい角度の条件に着目して、ＰＢ：ＰＣが２：２（＝１：１）であれば、三角形ＡＢＣが二等辺三角形となり、対称性が利用できるのになぁと感じることがスタートラインです。

　　
ＰＣを２：１に分ける点をＤとすると、三角形ＡＢＤは二等辺三角形となります。
ＰＲとＡＤが交わった点をＳとすると、対称性より、ＡＳ：ＳＤ＝ＡＱ：ＱＢ＝４：３となります。
あとは、いわゆる等高図形の面積比に関する知識を利用するだけです。
三角形ＡＰＳの面積を⑧とすると、三角形ＤＳＰの面積は⑧×ＳＤ/ＡＳ＝⑥となり、三角形ＣＳＤの面積は⑥×ＣＤ/ＰＤ＝③となります。
したがって、
　　ＡＲ：ＲＣ
　＝三角形ＡＰＳの面積：三角形ＣＳＰの面積
　＝⑧：（⑥＋③）
　＝８：９
となります。

中学生であれば、最後の面積比の処理のところでメネラウスの定理を使うと思いますが、この問題でメネラウスの定理を使っても楽になりません。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（場合の数）　大阪星光学院高等学校２０２６年数学第１問（３）

　さいころを３回投げて出た目を順にa、b、cとするとき、a+bが５の倍数となる確率は[　]であり、c/(a+b)が整数となる確率は[　]である。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。

 

大阪星光の高校入試問題ですが、中学入試で出されても何の不思議もない問題です。

さいころを３回（実質的には２回）振る問題だから、６×６の表をかいて解けばよいでしょう（この程度の問題であれば、６×６の表を思い浮かべたら十分でしょうが・・・）。

余裕のある人は下の阪大の問題も解いてみるとよいでしょう。

 

 

詳しくは、下記ページで。

　大阪星光学院高等学校２０２６年数学第１問（３）（問題）

　大阪星光学院高等学校２０２６年数学第１問（３）（解答・解説）

 

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