今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第９問を取り上げ、解説します。
自然数というのは１以上の整数のことです。
いきなり４桁の整数を考えるのではなく、１桁から順に調べていけば、下の解法に行き着きます。
□桁の整数の右端に１から６の整数を付け加えて（□＋１）桁の整数を作ることを考えます。
□桁の整数（○とします）が７の倍数のとき、１から６のいずれの整数を付け加えても７の倍数となることはありません。
○（７の倍数）×１０＋△（１、２、３、４、５、６）だから、当然のことですね。
□桁の整数が７の倍数でない（７で割った余りが１、２、３、４、５、６の数）とき、１から６のいずれか１つの整数を付け加えたときのみ７の倍数となります。
○×１０＋△＝○×７＋○×３＋△で、下線部分が７の倍数となることを考えればよく、○が１、２、３、４、５、６のとき、△はそれぞれ４、１、５、２、６、３となりますね。
結局、（□＋１）桁の７の倍数の個数は□桁の７で割り切れない数の個数と一致します。
あとは、表を書いて求めるだけです。
□ １ ２ ３ ４
合 ６ ３６ ２１６
◎ ０ ６ ３０ １８６
× ６ ３０ １８６
（合、◎、×はそれぞれ□桁の整数、７の倍数、７で割り切れない数の個数）
したがって、求める個数は１８６個となります。
今回取り上げたJJMOの問題は、使える数字が１、２、３、４、５、６で７の倍数を考える問題だったから簡単に解けましたが、同じような問題が京都大学で過去に出されています（京都大学１９９４年前期文系数学第４問）。
さいころをｎ回振り、出た目の和が７で割り切れる確率を求める問題ですが、本質は何も変わりません。
具体的な数でないｎの絡んだ問題で、高校で習う漸化式の処理が必要になるので、小学生には解けせんが、漸化式の処理は単なるルーティーンワークに過ぎません。
漸化式を作るまでの処理は上の解法の考え方で終わっています。
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