今回は２００２年のJMOの予選第５問を取り上げます。
自然数というのは１以上の整数のことで、（ｍ－２）2は（ｍ－２）×（ｍ－２）、ｍ2－１はｍ×ｍ－１のことです。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子だけでなく、最難関中学校の志望者なら解けてほしい問題です。
実際、中学入試にも同じような問題が出されていますからね。
近年の問題であれば、次のような問題などがあります。
因みに、今から３０年以上前に次のような問題が出されています。
灘中学校１９９５年１日目第６問
３けたの整数[ ]を４．５倍すると、百の位と一の位が入れかわった。
この問題の解法は、今回取り上げるJMOの解法（後半の処理）そのものです。
さて、JMOの問題を解いていきましょう。
まず、ｍの範囲を絞ります。
３桁の平方数の最小のものは１０×１０＝１００で、最大のものは３１×３１＝９６１となります（３２×３２（２の１０乗）＝１０２４からすぐにわかりますね）。
（ｍ－２）2について考えます。
９×９×
１０×１０○
３１×３１○
３２×３２×
だから、ｍは１０＋２＝１２以上３１＋２＝３３以下の整数となります（ｍが１２のときなどは、百の位の数字と一の位の数字の入れ替えができませんが、そのことはとりあえず横に置いておきます（以下同じ））。
ｍ2－１について考えます。
１０×１０－１×
１１×１１－１○
３１×３１－１○
３２×３２－１×
だから、ｍは１１以上３１以下の整数となります。
結局、ｍは１２以上３１以下の整数となります。
下の面積図（２つの差を考えているので、２つの面積を重ね合わせています）より、（ｍ－２）2とｍ2－１の差はｍ×２＋ｍ×２－４－１（足しすぎたら引くの利用）＝ｍ×４－５となります（上記のｍの範囲では、（ｍ－２）2＜ｍ2－１ですね）。
ところで、ｍ2－１＝□×１００＋△×１０＋○×１（□＞○とできますね）とすると、（ｍ－２）2＝○×１００＋△×１０＋○×１となり、この２つのの差は□×９９－〇×９９＝（□－○）×９９となり、９９の倍数となります（最難関中学校の受験生なら当然覚えているはずの知識でしょう）。
結局、ｍ×４－５は、１２×４＝５＝４３以上３１×４－５＝１１９以下の９９の倍数となるから、ｍ×４－５＝９９となり、ｍは（９９＋５）/４＝２６となります
ｍ＝２６のとき、（２６－２）2＝５７６となり、２６2－１＝６７５となり、確かにすべての条件を満たしていますね。
したがって、ｍ＝２６だけが答えとなります。
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