場合の数（重複組合せ）の問題　本郷中学校２０２５年第１回算数第２問（３）

　同じ種類の２１個のあめをＡ、Ｂ、Ｃの３人に分けます。あめはひとりに１個以上あげるものとし、また、Ａに１個、Ｂに３個、Ｃに１７個のように、３人に分ける数はすべて奇数とします。このとき、あめの分け方は何通りですか。

 

まず、下の問題を解いてみましょう。

 

今回取り上げた問題は、この問題を少しだけひねった問題になります。

分ける個数が奇数というのをうまく処理すれば計算で簡単に答えを求めることができます。

まず、３人にあめを１個ずつ配ります。
残り１８個のあめを３人に偶数個ずつ配ることになりますが、２個のあめをセットにし、９セットのあめを３人に配ると考えます。
ここで、合計９個の〇をＡ、Ｂ、Ｃの３人のところに配置すると考えます。
その際、〇９個と/２個を配置し、左側の/の左側がＡの取り分で、左側の/と右側の/の間がＢの取り分で、右側の/の右側がＣの取り分と考えます。
例えば、〇//〇〇〇〇〇〇〇〇であれば、Ａが１個、Ｂが０個、Ｃが８個となります（実際には、最初に配った１個がそれぞれ足され、この例であれば、Ａは１＋１×２＝３個、Ｂは１個、Ｃは１＋２×８＝１７個となります）。
結局〇９個と仕切り（/）２個の配置の仕方を考えればよいから、分け方は、全部で
　　（１１×１０）/（２×１）
　＝５５通り
あります。

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

 

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平面図形の問題　渋谷教育学園幕張中学校２０２５年１次算数第４問

　次の各問いに答えなさい。
（１）[図１]のように、辺ＡＢと辺ＡＣの長さが等しい直角二等辺三角形ＡＢＣがあり、その内側に正方形と直角二等辺三角形がすき間なく敷きつめられています。点Ｄが[図１]の位置にあるとき、（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

　　　　
（２）[図２]のように、長方形ＰＱＲＳがあり、その内側に正方形と直角二等辺三角形がすき間なく敷きつめられています。（ＰＱの長さ）：（ＱＲの長さ）を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

　　　　

 

（２）だけが出されたら難しかったかもしれませんが、（１）があるから比較的簡単に簡単に解ける問題になっています。

（１）は、辺の比を底辺（辺ＢＣ）のところと高さ（頂点Ａから辺ＢＣに引いた垂線）のところに集めて消去算を解けばよいでしょう。

３つの正方形の一辺の長さの比も求めておくとよいでしょう。

（２）は、（１）の図（の一部）があることに着目して、３つの正方形の一辺の長さの比を利用して解くだけです。

詳しくは、下記ページで。

　渋谷教育学園幕張中学校２０２５年１次算数第４問（問題）

　渋谷教育学園幕張中学校２０２５年１次算数第４問（解答・解説）

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

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数の性質（循環小数の周期性）の問題　駒場東邦中学校２０２０年算数第２問

　２つの整数Ａ、Ｂに対して、Ａ÷Ｂの値（あたい）を小数で表したときの小数第２０２０位の数を＜Ａ÷Ｂ＞で表すことにします。例えば、２÷３＝０．６６６・・・なので、＜２÷３＞＝６です。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）＜１÷１０１＞、＜４０÷２０２０＞をそれぞれ求めなさい。
（２）＜Ｎ÷２０２０＞＝３をみたす整数Ｎを１つ求めなさい。

割り算することなく簡単に解ける問題です。
（１）
１/１０１＝９９/９９９９＝００９９/９９９９＝０．００９９００９９・・・（□/９＝０．□□・・・、□△/９９＝０．□△□△・・・、□△〇/９９９＝０．□△〇□△〇・・・、（以下同様）を利用しました。）
小数部分は０、０、９、９の４つの数の繰り返しとなるから、小数第２０２０（４の倍数ですね）位の数は９となります。
４０/２０２０＝２/１０１＝（２００－２）/９９９９＝１９８/９９９９＝０１９８/９９９９＝０．０１９８０１９８・・・
小数部分は０、１、９、８の４つの数の繰り返しとなるから、小数第２０２０（４の倍数ですね）位の数は８となります。
（２）
（１）のヒントを利用します。
（１）でわかったことは、
　＜１÷１０１＞＝９
　＜２÷１０１＞＝８
ですね。
この流れからすると、
　＜３÷１０１＞＝７
　・・・・・・・・・
　＜７÷１０１＞＝３（１＋９＝２＋８＝３＋７（和一定）に着目すればすぐにわかりますね。）
となりますが、実際、
７/１０１＝（７００－７）/９９９９＝６９３/９９９９＝０６９３/９９９９＝０．０６９３０６９３・・・となり、確かに小数第２０２０位の数が３となりますね。
７/１０１＝１４０/２０２０だから、整数Ｎ（の１つ）は１４０となります。

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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中学入試算数の計算問題　四天王寺中学校２０２４年算数第１問①

　次の□にあてはまる数を答えなさい。
　　６８×２５＋６２５×２７２＝□

 

問題を見た瞬間に２７２が６８の４倍であることと６２５が２５の２５倍であることがすぐにわかるはずですね（もっとも、何も考えずに計算をやり始めると無理な話ですが・・・）。

このことさえ気づけば、４×２５＝１００を利用して１０秒以内に暗算で答えが求められるでしょう。

詳しくは、四天王寺中学校２０２４年算数第１問①の解答・解説で。

 

 

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数の性質の問題（３７の倍数判定法）　鷗友学園女子中学校２０２５年第２回算数第４問

　次の問いに答えなさい。
（１）３を８個並べた整数３３３３３３３３を３７で割った余りを求めなさい。
（２）９を２０２４個並べた整数を３７で割った余りを求めなさい。

３７×３＝１１１を利用します。
（１）
３３３３３３３３＝３３３３３３×１００＋３３で、３３３３３３（同じ数字が３の倍数個並んでいます）は１１１で（もちろん３７でも）割り切れるから、３３３３３３３３を３７で割った余りは３３となります。

なお、３７の倍数判定法（３７の倍数＝一の位から３桁ずつ区切ったときにできる数の和が３７の倍数）を利用すると、

　３３３＋３３３＋３３

を３７で割った余りを考えることになりますが、３３３が３７で割り切れるので、３３を３７で割った余りだけを考えればよいことになります。

（２）
９を２０２４個並べた整数＝９を２０２２個並べた整数×１００＋９９で、９を２０２２個並べた整数（同じ数字が３の倍数個並んでいます）は１１１で（もちろん３７でも）割り切れるから、９を２０２４個並べた整数を３７で割った余りは９９を３７で割った余りと等しく、２５となります。

なお、３７の倍数判定法を利用すると、

　９９９＋・・・＋９９９＋９９　（９９９は２０２２/３＝６７４個あります。）

を３７で割った余りを考えることになりますが、９９９が３７で割り切れるので、９９を３７で割った余りだけを考えればよいことになります。

 

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

 

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