次の□にあてはまる数を答えなさい。
６８×２５＋６２５×２７２＝□
問題を見た瞬間に２７２が６８の４倍であることと６２５が２５の２５倍であることがすぐにわかるはずですね（もっとも、何も考えずに計算をやり始めると無理な話ですが・・・）。
このことさえ気づけば、４×２５＝１００を利用して１０秒以内に暗算で答えが求められるでしょう。
詳しくは、四天王寺中学校２０２４年算数第１問①の解答・解説で。
次の問いに答えなさい。
（１）３を８個並べた整数３３３３３３３３を３７で割った余りを求めなさい。
（２）９を２０２４個並べた整数を３７で割った余りを求めなさい。
３７×３＝１１１を利用します。
（１）
３３３３３３３３＝３３３３３３×１００＋３３で、３３３３３３（同じ数字が３の倍数個並んでいます）は１１１で（もちろん３７でも）割り切れるから、３３３３３３３３を３７で割った余りは３３となります。
なお、３７の倍数判定法（３７の倍数＝一の位から３桁ずつ区切ったときにできる数の和が３７の倍数）を利用すると、
３３３＋３３３＋３３
を３７で割った余りを考えることになりますが、３３３が３７で割り切れるので、３３を３７で割った余りだけを考えればよいことになります。
（２）
９を２０２４個並べた整数＝９を２０２２個並べた整数×１００＋９９で、９を２０２２個並べた整数（同じ数字が３の倍数個並んでいます）は１１１で（もちろん３７でも）割り切れるから、９を２０２４個並べた整数を３７で割った余りは９９を３７で割った余りと等しく、２５となります。
なお、３７の倍数判定法を利用すると、
９９９＋・・・＋９９９＋９９ （９９９は２０２２/３＝６７４個あります。）
を３７で割った余りを考えることになりますが、９９９が３７で割り切れるので、９９を３７で割った余りだけを考えればよいことになります。
下の問題もぜひ解いてみましょう。
ある３けたの整数があります。この３けたの整数ＡＢＣの一の位の数と百の位の数を入れ替えて、もう１つの３けたの整数ＣＢＡをつくります。
（１）省略
（２）省略
（３）２つの整数をかけたら，下の計算のように答えが１１５２４５になりました。十の位の数Ｂはいくつですか。
ＡＢＣ
×ＣＢＡ
:
:
:
１１５２４５
（解法１）
最難関中学校の受験生なら当然マスターしておくべき解法です。
まず１１５２４５を素因数分解することを考えます。
１１５２４５の各位の和は１８で９の倍数だから、９で割り切れます。
また、一の位の数が５だから、５で割り切れます。
そこで、１１５２４５を９×５＝４５で割ってみます。
１１５２４５÷４５＝２５６１となります。
２５６１が２、３、５、７、１１で割り切れないことはすぐにわかりますね。
１３で割り切れるかどう考えると、２６００－３９がすぐに頭に思い浮かぶので、２５６１＝１３×（２００－３）＝１３×１９７となることがすぐにわかりますね。
１９７（＜２２５（１５×１５））は、１５未満の素数で割り切れないから、素数となります。
結局、１１５２４５を素因数分解すると、３×３×５×１３×１９７となります。
ところで、３の倍数判定法（３の倍数の各位の和は３の倍数となる）より、ＡＢＣとＣＢＡのどちらか一方のみが３の倍数となることはありえないから、ＡＢＣとＣＢＡの積が３の倍数のとき、どちらも３の倍数となります。
３×１９７に５や１３をかけると１０００以上となることは明らかだから、ＡＢＣとＣＢＡの一方は３×１９７＝５９１となり、他方は３×５×１３＝１９５となりますが、すべての条件を満たしていますね。
したがって、Ｂは９となります。
下の問題もぜひ解いてみましょう。
（解法２）
低学年向けの解法です。
キッズＢＥＥにチャレンジするような子であれば、こういう解法でさっと解けるでしょう。
１１５２４５の一の位の数が５だから、ＡとＣの一方が５で他方が奇数となります（５の倍数判定法を知らなくても、このぐらいのことは低学年の子でもすぐに気づくでしょう）。
ＡとＣが入れ替わっても答えに影響しないから、Ａを５、Ｃを奇数として考えます。
５００×３００＝１５００００＞１１５２４５（上限チェック・下限チェック）だから、Ｃは１となります。
ここで９の倍数判定法（３の倍数判定法）を利用すると、Ｂは９か６か３となるのですが、知らないふりをして解きます。
５００×１００＝５００００が１１５２４５よりかなり小さいので、Ｂはそれなりに大きな数と考えられますね。
そこで、大きな数から調べていきます。
５９１×１９５を計算すると、１１５２４５となり、条件を満たしますね。
Ｂが９より小さくなると条件を満たさなくなることは明らかだから、答えは９となります。
赤、青、黄のカードをそれぞれ１枚ずつ、合計３枚のカードを持った児童が何人かいます。それぞれの児童は、自分の持っている３枚のカードのうち１枚を選んで出します。例えば、児童が２人のとき、カードの色が赤と青の２種類となるような出し方は２通りあります。
次の問いに答えなさい。
（１）児童が３人のとき、カードの色が２種類となるような出し方は何通りですか。
（２）児童が４人のとき、カードの色が３種類となるような出し方は何通りですか。
（３）児童が６人のとき、カードの色が３種類となるような出し方は何通りですか。
昔からある有名問題で、様々な問題集などで取り上げられています。
例えば、スピードアップ算数の発展編でも数値が変わっただけの問題が取り上げられています。
（１）が（２）を解くためのヒントになっています。
（２）は、カードの色が３種類以下の場合から、カードの色が２種類以下の場合を取り除くという方針で解けばミスしにくいでしょう。
（２）が解ければ（３）も簡単に解けるでしょう。
詳しくは、下記ページで。
図のような直角三角形があります。〇の角と、×の角について、それぞれいくつずつ集めると合わせて１８０度になりますか。
次の[ ]に当てはまる整数を答えなさい。
「〇の角[（え）]個、×の角[（お）]個を集めると、合わせて１８０度になる。」
直角三角形を折り返して二等辺三角形を作出する（直角三角形を２つ組み合わせて二等辺三角形を作出する）という算数オリンピックや最難関中学校の問題でよく使われる手法を利用すれば１０秒程度で解ける問題です。
詳しくは、海陽中等教育学校２０１８年特別給費算数第１問（３）の解答・解説で。
