小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック（JMO)２００７年予選第７問）

　日本数学オリンピック２００７年予選の問題

 

今回は２００７年のJMOの予選第７問を取り上げます。

非負整数というのは、０以上の整数ということで、３の非負整数乗というのは、３の○（○は０以上の整数）乗（３を○個以上かけあわせた数）のことです。

問題文の表現が分かりにくいですが、中学入試にも算数オリンピックのキッズBEEにも同種の問題が出されているので、小学生でも解ける問題です。

 

 

３の５乗＝３×３×３×３×３＞１００、３の４乗＝３×３×３×３だから、３を５個以上かけあわせた数を使うことはできませんね（上限チェック！）。

３の４乗＝８１
３の３乗＝３×３×３＝２７
３の２乗＝３×３＝９
３の１乗＝３
３の０乗＝１（小学生にとっては、これが若干わかりにくいかもしれませんが、３の１乗から４乗について考えたとき、３をかける個数が１増えると３倍になり、逆に１減ると１/３倍になっているのだから、３の０乗は３の１乗（＝３）の１/３倍の１でないといけないことがすぐにわかるでしょう。マイナスの数を知っていれば、３の（－１）乗は、３の０乗（＝１）の１/３倍の１/３でないといけないこともすぐにわかりますね。）

表記を簡略化するため、３の４乗、３乗、２乗、１乗、０乗をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとします。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを組み合わせ（それぞれ複数個使用することができ、使用しないものがあってもよい）て１００を作るだけの話ですね。
「１円玉」、「３円玉」、「９円玉」、「２７円玉」、「８１円玉」で１００円を作ることをイメージすれば、上で紹介した中学入試で出されるタイプの問題であることがすぐにわかるはずです。
１００未満の数の場合、Ｅで残りを作ることができるので、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで１００以下の数を作ることを考えればいいですね。
その際、両替をイメージするとよいでしょう（例えば、Ｂを１個減らすとＣが３個増えるという感じです）。
Ａ　１　　　０
Ｂ　０　　　３　　　２　　　１　　　　０
Ｃ　２～０　２～０　５～０　８～０　１１～０
Ｄ　０　　　０　　　０　　　０　　　０
　　３～０　３～０　３～０　・　　　３～０
　　６～０　６～０　６～０　・　　　・
　　　　　　　　　　９～０　・　　　・
　　　　　　　　　１２～０　・　　　・
　　　　　　　　　１５～０　・　　　・
　　　　　　　　　　　　　２４～０　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　３３～０
上記の表のようなものにおいて、Ａ＝１、Ｂ＝０のとき、Ｃ＝２なら、Ｄ＝０、Ｃ＝１なら、Ｄ＝３（０＋３）～０、Ｃ＝０なら、Ｄ＝６（３＋３）～０があるということです。

求める場合は、全部で
　　（１＋４＋７）＋（１＋４＋７）＋（１＋４＋７＋１０＋１３＋１６）＋（１＋４＋７＋・・・＋２５）＋（１＋４＋７＋・・・＋３４）
　＝１２＋１２＋５１＋１１７＋２１０（等差数列の和の公式を利用しただけです。）
　＝４０２通り

あります。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題　開成高等学校２０２５年数学第１問改題（一部略）

　自然数a、b、cは、a2＋b2＝c2を満たしている。このとき、以下の問いに答えよ。
（１）省略
（２）省略
（３）c＝４５のときのa、bの値を求めよ。ただし、a≦bとする。
（４）a＝４５のときのb、cの値は、
　（b,c）＝（１０１２，１０１３）、（３３６，３３９）、（２００，２０５）、（１０８，１１７）、（６０，７５）
の他に２組ある。その２組をすべて求めよ。
（注）
a2→a×a（他も同様）
自然数→１以上の整数

ウォーミングアップの問題にすぎない（１）とヒントに過ぎない（２）の問題を省略しています。
（３）

この問題は先日取り上げた西大和学園中学校の問題の類題です。

 

 

一般に、平方数を３で割った余りは０（３の倍数を２回かけあわせた場合）か１（３で割り切れない数を２回かけあわせた場合）となります（面積図を利用すればすぐに確認できます）。
４５×４５（＝２０２５）は３の倍数だから、aもbも３の倍数となります。
a＝○×３、b＝△×３とします。
　○×３×○×３＋△×３×△×３＝４５×４５
　○×○＋△×△＝１５×１５（上の式を３×３で割りました。）
さらに、上と同様の作業を行うと、
　□×□＋☆×☆＝２５（○＝□×３、△＝☆×３）
となります。
２５は３で割ると１余る数だから、□と☆の一方は３の倍数となり、他方は３で割り切れない数となります。
２５＝５×５だから、一方は３となり、他方は、５×５－３×３＝１６＝４×４より、４となります（まぁ、辺の比が３：４：５の直角三角形をイメージすればこんなことをするまでもありませんが・・・）。
したがって、a＝３×３×３＝２７となり、b＝４×３×３＝３６となります。
（４）
c＞bとなりますね。
　c×c－b×b＝４５×４５
　(c＋b）×（c－b）＝３×３×３×３×５×５　（「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）などの解答・解説を参照）を利用）
c＋bとc－b（c＋bが大、c－bが小）は４５×４５の約数のペアで、４５×４５（＝２０２５）の約数は、５×３＝１５個あり、約数の「ペア」（同じ数も含みます）は８組あります。
このうち条件を満たすもの（同じ数の「ペア」以外）は７組で、このうち５組が問題文に与えられています。
問題文に与えられた組のc－bは、それぞれ１、３、５、９、１５だから、（c－b,c＋b）＝（２５，８１）、（２７，７５）の組だけ考えればいいですね。
和差算を解くと、(b,c）＝（２８，５３）、（２４，５１）となります。
なお、与えられた値が偶数の場合、偶奇性を考慮することで調べる場合を減らすことができます（下の問題を参照）が、この問題の場合、偶奇性を利用するまでもないので、偶奇性を考慮していません。

 

 

 

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数の性質（平方剰余）の問題　西大和学園中学校２０２６年算数第３問（４）

　２０２６は１×１＋４５×４５のように、同じ整数を２回かけあわせた２つの数を足しあわせた数です。３７７は小さい順にならべた４つの整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを用いて３７７＝Ａ×Ａ＋Ｄ×Ｄ＝Ｂ×Ｂ＋Ｃ×Ｃと表すことができます。
　このような整数の組（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）は１組だけです。（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）を求めなさい。

 

上限チェックを行うと、答えの数値がそれほど大きい値とならないことがわかります。

しかも、覚えているはずの平方数の範囲に答えがあるので、平方数を書き出しても解けてしまいます（小２ぐらいの子でも普通に解けますし、算数オリンピックのキッズBEEにチャレンジするような子なら解けて当たり前です）が、解説ページでは、少し頭を使った解法で解いています。

なお、２０２５年の開成高校の入試で同じような問題が出されているので、後日取り上げたいと思います。

詳しくは、西大和学園中学校２０２６年算数第３問（４）の解答・解説で。

 

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小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック（JMO)２００１年予選第１１問）

　日本数学オリンピック２００１年予選の問題

 

今回は２００１年のJMOの予選第１１問を取り上げます。

自然数というのは１以上の整数のことで、６ｎは６×ｎのことです。

下のページで紹介している約数の総和の求め方（最難関中学校の受験生であれば常識レベルのことです）をマスターしていれば小学生でも解けます。

 

 

以前取り上げた下の名古屋大学の入試問題が一部の素因数の約数の総和を減らすことを考えるのに対して、今回取り上げる数学オリンピックの問題は一部の素因数の約数の総和を増やすことを考える問題で、実質的には同じ問題と言えるでしょう。

 

 

さて、JMOの問題を解いていきましょう。

６の約数の総和が１＋２＋３＋６（あるいは、（１＋２）×（１＋３））＝１２であることに着目して解きます。
（あ）ｎと６の最大公約数が１（ｎと６が互いに素）のとき
Ｓ（６ｎ）＝（１＋２）×（１＋３）×Ｓ（ｎ）＝１２Ｓ（ｎ）となり、条件を満たします。
２でも３でも割り切れない数は連続する整数６個の中に２個あるから、３桁の整数９００個の中には９００×２/６＝３００個あり、これがこの場合のｎの個数となります。
（い）ｎと６の最大公約数が２のとき
ｎは２の倍数となります。
ｎの素因数２の個数を○（○は１以上の整数）個とします。
以下、２を○個かけ合わせた数を２の○乗と表記します。
Ｓ（６ｎ）＝（１＋３）×（１＋２＋・・・＋２の（○＋１）乗）/（１＋２＋・・・＋２の〇乗）Ｓ（ｎ）≧１２Ｓ（ｎ）より、（１＋２＋・・・＋２の（○＋１）乗）/（１＋２＋・・・＋２の〇乗）≧３・・・（☆）とならなければいけません。
ここで、（☆）は、
　１＋２＋・・・＋２の（○＋１）乗≧（１＋２＋・・・＋２の〇乗）×３
　２の（○＋１）乗≧（１＋２＋・・・＋２の〇乗）×２　（両辺から１＋２＋・・・＋２の○乗を取り除きました。）
となりますが、（１＋２＋・・・＋２の〇乗）×２≧（１＋２の○乗）×２＝２＋２の（○＋１）乗となり、与えられた条件を満たすことはありえません。
（う）ｎと６の最大公約数が３のとき

（い）の場合と同様にするだけなので、「同様にして」と述べて作業しないことも可能だと思いますが、一応作業をしておきます（ほぼコピペです）。
ｎは３の倍数となります。
ｎの素因数３の個数を△（△は１以上の整数）個とします。
以下、３を△個かけ合わせた数を２の○乗と表記します。
Ｓ（６ｎ）＝（１＋２）×（１＋３＋・・・＋３の（△＋１）乗）/（１＋２＋・・・＋３の△乗）Ｓ（ｎ）≧１２Ｓ（ｎ）より、（１＋３＋・・・＋３の（△＋１）乗）/（１＋３＋・・・＋３の△乗）≧４・・・（＊）とならなければいけません。
ここで、（＊）は、
　（１＋２＋・・・＋３の（△＋１）乗）≧（１＋２＋・・・＋３の△乗）×４
　３の（△＋１）乗≧（１＋３＋・・・＋３の△乗）×３　（両辺から１＋３＋・・・＋３の○乗を取り除きました。）
となりますが、（１＋３＋・・・＋３の△乗）×３≧（１＋３の△乗）×３＝３＋３の（△＋１）乗となり、与えられた条件を満たすことはありえません。
（あ）、（い）、（う）より、条件を満たすｎは３００個あります。

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００５年第９問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００５年の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第９問を取り上げ、解説します。

自然数というのは１以上の整数のことです。

いきなり４桁の整数を考えるのではなく、１桁から順に調べていけば、下の解法に行き着きます。

□桁の整数の右端に１から６の整数を付け加えて（□＋１）桁の整数を作ることを考えます。
□桁の整数（○とします）が７の倍数のとき、１から６のいずれの整数を付け加えても７の倍数となることはありません。
○（７の倍数）×１０＋△（１、２、３、４、５、６）だから、当然のことですね。
□桁の整数が７の倍数でない（７で割った余りが１、２、３、４、５、６の数）とき、１から６のいずれか１つの整数を付け加えたときのみ７の倍数となります。
○×１０＋△＝○×７＋○×３＋△で、下線部分が７の倍数となることを考えればよく、○が１、２、３、４、５、６のとき、△はそれぞれ４、１、５、２、６、３となりますね。
結局、（□＋１）桁の７の倍数の個数は□桁の７で割り切れない数の個数と一致します。
あとは、表を書いて求めるだけです。
　□　１　　２　　　３　　　４
　合　６　３６　２１６
　◎　０　　６　　３０　１８６
　×　６　３０　１８６
（合、◎、×はそれぞれ□桁の整数、７の倍数、７で割り切れない数の個数）

したがって、求める個数は１８６個となります。

今回取り上げたJJMOの問題は、使える数字が１、２、３、４、５、６で７の倍数を考える問題だったから簡単に解けましたが、同じような問題が京都大学で過去に出されています（京都大学１９９４年前期文系数学第４問）。

さいころをｎ回振り、出た目の和が７で割り切れる確率を求める問題ですが、本質は何も変わりません。

具体的な数でないｎの絡んだ問題で、高校で習う漸化式の処理が必要になるので、小学生には解けせんが、漸化式の処理は単なるルーティーンワークに過ぎません。

漸化式を作るまでの処理は上の解法の考え方で終わっています。

 

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