ビーカーに２１０ｇの水と４０ｇの物質Ａを入れてよくかき混ぜたところ、すべては溶けきらずにＡの沈でんが生じた。このビーカーから溶液のみを１００ｇ取り除き、その後１００ｇの水をビーカーに加えてよくかき混ぜると、Ａはすべて溶け、溶液の濃度は１１％となった。このとき、最初に生じた沈でんは何ｇであったか。ただし、途中経過もかけ。
ラ・サール高校の入試問題ですが、中学入試の算数や理科で出されても何の不思議もない問題で、小学生でも解ける問題です。
とはいえ、問題文をしっかり分析して適切な解法を選択しなければ、厄介なことになります。
飽和水溶液の濃度が簡単に求められるので、それを求めて解くのがいいでしょう。
詳しくは、下記ページで。
１辺の長さが４cmの正三角形を、垂直に交わる２本の直線にそって図のように４つ並べます。角あの大きさは[ ]°です。
また、四角形ＡＢＣＤの面積は[ ]cm2です。
前半と後半は無関係な問題です。
前半の問題は受験生をミスリードしかねないので、後半の問題だけを出すべきだったと思います。
いずれの問題も解くのに１０秒もかかりません。
詳しくは、白陵中学校２０２６年後期算数第２問（１）の解答・解説で。
２つの食塩水Ａ、Ｂがあります。Ａを１５０ｇとＢを□ｇ混ぜると、６％の食塩水ができ、Ａを４００ｇとＢは□ｇより２５０ｇ多い量を混ぜると、５．５％の食塩水ができます。また、ＡとＢの２つの食塩水を同じ量ずつ混ぜると、５％の食塩水ができます。□にあてはまる数を答えなさい。ただし、□には同じ数が入ります。
解くのに３０秒もかかりません。
まず、１つ目の混ぜ方と２つ目の混ぜ方を比べます。
１つ目の混ぜ方でできた食塩水（６％の食塩水）に、ＡとＢを２５０ｇずつ混ぜた食塩水（合計５００ｇの食塩水（３つ目の混ぜ方の条件より、当然５％の食塩水ですね））を混ぜたものが２つ目の混ぜ方でできる食塩水（５．５％）になります。
６％の食塩水と５％の食塩水を混ぜると平均（真ん中）の５．５％の食塩水となるのだから、等量混ぜたことになり、□＝５００－１５０＝３５０となります。
親切な数値設定なので、天秤の図をかくまでもありませんね。
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第７問を取り上げ解説します。
中学入試にそのまま出されても何の不思議もない問題です。
実際、この問題の一部が南山中学校女子部の入試で出されています（今から３０年ぐらいの神戸女学院中学部の入試でも出されています）。
２００５を素因数分解すると５×４０１となりますね。
マス目の中に書き込む２００５の個数で場合分けして解きます。
２００５が４個以上あると、少なくとも１列に２００５が２個以上並び、条件を満たしませんね（当たり前のことなので、ここまで言う必要はないと思いますが・・・）
（あ）２００５が３個のとき
残り６個の数は１に確定するから、２００５のマス目だけを決めればいいですね。
上から１列目は３通りあり、そのそれぞれに対して、上から２列目は２通りあり、そのそれぞれに対して、上から３列目は１通りあるから、全部で３×２×１＝６通りあります。
（い）２００５が２個のとき
２００５を書き込んだ２列（縦）について考えると、同じ列（横）に１が２個現れる（☆のところに２００５を書き込んだ場合（１番左の図）の水色のところ）から、条件を満たすためには、この横の列に２００５を使う必要があり、２００５が３個となってしまいます。
したがって、この場合はありえません。
（う）２００５が１個のとき
残り８個の数は１が４個（２００５を書き込んだ列（縦と横）の残り２数）、５と４０１が２個ずつになります。
２００５を書き込む場所の決め方は９通りあります。
２００５をどこに書き込んでも条件的に同じ（一応図形的には異なるものなので、条件の対等性から絞った３パターン（左から２番目から４番目の図）だけ検討してみます。☆のところに２００５を書き込んだ場合、黄緑色のところは１に確定し、ピンク色の４マスをそのままくっつけて２×２のマスと考えても問題ないことから、すべて条件的に同じであることがわかります）だから、左下隅に書き込んだ場合を考えます（条件の対等性を利用して作業を減らします）。
上から１列目の２か所に５と４０１を書き込むことになりますが、この書き込み方は２通りあり、残りのマス目の書き込み方は自動的に確定します。
したがって、この場合は９×２＝１８通りあります。
（え）２００５が０個のとき
各列に１、５、４０１を１個ずつ入れることになります。
これが先ほど言及した南山女子の問題と同じ問題になります。
上から１列目の数字の書き込み方は３×２×１＝６通りあります。
いずれの場合も条件的に同じだから、左から小さい順に数字が並んでいる場合を考えて、６倍すればいいですね（条件の対等性を利用して作業を減らします）。
上から２列目の１の位置は、５、４０１の真下の２通りあります。
いずれの場合も条件的に同じだから、１が５の真下にある場合を考え、２倍すればいいですね。
ここで、黄色のマス目（１番右の図）に４０１は入らないので、５に確定し、上から２行目が確定します。
その結果、上から３行目も自動的に確定します。
したがって、この場合は６×２＝１２通りあります。
（あ）～（え）より、数字の書き込み方は
６＋１８＋１２
＝３６通り
あります。
最難関中学校の受験生や算数オリンピックにチャレンジする人は下の京大問題を解いてみるとよいでしょう。
右の図のような二等辺三角形ＡＢＣがあります。
辺ＡＢと辺ＡＣの長さは１５cm、角Ｂと角Ｃの大きさは４０°です。
次の（１）、（２）、（３）の三角形で、□にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
ただし、二等辺三角形ＡＢＣの辺ＢＣの長さを２３cmとして計算しなさい。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子は解いておくとよいでしょう。
とりあえずウォーミングアップとして下の南山女子の問題を解いておくとよいでしょう。
因みに、３年前の筑駒の入試でも今年の問題と同じような問題が出されています。
（３）は複数の答えが考えられるため、採点者は大変だっただろうなと思います。
因みに、解説ページの答えの数値は２つだけですが、解説では紹介しなかった解法でもう１つの数値も見つけています。
詳しくは、下記ページで。
