小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０１５年予選第６問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１５年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１５年予選第６問を取り上げ、解説します。

今回取り上げる問題は、中学入試、高校入試、大学入試で昔からよく出されている問題です。

 

 

 

 

 

 

 

 

赤、青、白のボールをそれぞれＲ、Ｂ、Ｗと表記します。
ＲとＢは条件的に同じですね。
　Ｒ→Ｂ　Ｂ→Ｒ　Ｗ→Ｒ
　　→Ｗ　　→Ｗ　　→Ｂ
逆から考えると、
　Ｒの個数＝１つ前のＢの個数＋１つ前のＷの個数
　Ｂの個数＝１つ前のＲの個数＋１つ前のＷの個数
　Ｗの個数＝１つ前のＲの個数＋１つ前のＢの個数（ただし、奇数番目のＷの個数は０個とします。）
となることがわかるので、機械的に処理できます。
まず、最初がＲの場合について考えると、以下の表のようになりますが、最初がＢの場合も同様になるので、実際は２倍だけありますね（条件の対等性の利用）。
　　　１　２　３　４　５　　６　　７
　Ｒ　１　０　２　１　５　　４　１４
　Ｂ　０　１　１　２　４　　５　１３
　Ｗ　０　１　０　３　０　　９　　０
　計　１　２　３　６　９　１８　２７
奇数番目の合計だけを見ていくと、１、３、９、２７、・・・というように、最初の数が１で公比が３の等比数列となっていることが分かりますね（偶数番目の合計だけを見ても同様の規則性が読み取れますね）。
２０１５は（２０１５＋１）/２＝１００８番目の奇数だから、求める場合は全部で１×３1007×２＝２・３1007通りとなります。
小学生ならこれで十分ですし、答えだけ求めればよいJJMOの予選でも十分ですが、一応、等比数列となることを確認しておきます。
（ｎ×２－１）個の箱が並んでいる場合の条件を満たす並べ方をＡ（ｎ）、そのうち最初がＲ、Ｂの場合をそれぞれＲ（ｎ）、Ｂ（ｎ）とします。
Ａ（ｎ）＝Ｒ（ｎ）＋Ｂ（ｎ）となります（条件の対等性を用いて、Ａ（ｎ）＝Ｒ（ｎ）×２とすることもできますが、今回は用いずに処理します）。
Ｒ（１）＝Ｂ（１）＝１で、Ａ（１）＝Ｒ（１）＋Ｂ（１）＝２ですね。
最初の３個について書き出すと次のようになります。
　ＲＢＲ
　　ＷＲ
　　　Ｂ
　ＢＲＢ
　　ＷＲ
　　　Ｂ
このことから、
　　Ａ（ｎ＋１）
　＝Ｒ（ｎ＋１）＋Ｂ（ｎ＋１）
　＝｛Ｒ（ｎ）×２＋Ｂ（ｎ）｝＋｛Ｂ（ｎ）×２＋Ｒ（ｎ）｝
　＝Ｒ（ｎ）×３＋Ｂ（ｎ）×３
　＝Ａ（ｎ）×３
となり、確かに公比３の等比数列となりますね。
 

　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策プロ家庭教師の生徒募集について

　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

 

 

 

 

プロ家庭教師のＰＴ　関西（大阪・神戸・京都・芦屋・西宮など）の中学受験プロ家庭教師中学受験のプロ家庭教師なら、プロ家庭教師のＰＴ（プロ家庭教師.com）へ。プロ家庭教師のＰＴでは、中学受験を希望する家庭教師（志望校対策、低学年からの英才教育、進学塾のフォロー、算数オリンピック対策など）の生徒を随時募集中です。プロ家庭教師対象地域は、関西（大阪、神戸、芦屋、西宮、京都など）です。中学受験の算数、国語、理科、社会のプロ家庭教師も随時募集してい…リンクwww.xn--udk1b166r5bctsai43a.com

 

 

平面図形（曲線がらみの面積）の問題　雙葉中学校２０２６年算数第１問（２）

　右の図は正方形と円とおうぎ形を組み合わせたものです。正方形の一辺の長さは１４cmです。かげをつけた部分の面積の合計は[　]cm2です。円周率は２２/７とします。（式と計算と答え）

　　

 

雙葉中学校で昔からよく出されている問題です。

 

 

 

「花びらの面積」（三田学園中学校１９９８年算数第３問、神戸女学院中学部１９９２年２日目第３問、京都女子中学校２００８年Ｂ第２問（３）の解答・解説を参照）に関する知識を利用すれば３０秒以内に答えが出せます。

もちろん、意味もなく０．５７という数字を覚えているだけでは使い物になりませんが、「公式」をきっちり導き出していれば、円周率の半分－１を使えばよいことがすぐにわかりますね。

詳しくは、下記ページで。

　雙葉中学校２０２６年算数第１問（２）（問題）

　雙葉中学校２０２６年算数第１問（２）（解答・解説）

 

中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について　中学受験・算数の森中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集のお知らせです。中学受験算数のプロ家庭教師が、灘中学校、神戸女学院中学部、洛南高等学校附属中学校などの志望校対策、過去問特訓、浜学園、希学園、日能研などの進学塾の授業のフォロー、苦手分野対策、算数オリンピック対策、低学年からの英才教育、塾なし中学受験指導などを承っています。家庭教師の対象地域は、大阪、神戸、芦屋、西宮、京都な…リンクwww.sansuu.net

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

プロ家庭教師のＰＴ　関西（大阪・神戸・京都・芦屋・西宮など）の中学受験プロ家庭教師中学受験のプロ家庭教師なら、プロ家庭教師のＰＴ（プロ家庭教師.com）へ。プロ家庭教師のＰＴでは、中学受験を希望する家庭教師（志望校対策、低学年からの英才教育、進学塾のフォロー、算数オリンピック対策など）の生徒を随時募集中です。プロ家庭教師対象地域は、関西（大阪、神戸、芦屋、西宮、京都など）です。中学受験の算数、国語、理科、社会のプロ家庭教師も随時募集してい…リンクwww.xn--udk1b166r5bctsai43a.com
 

 

 
 
 
 
 

平面図形（角度）の問題　甲陽学院中学校２０２６年算数２日目第１問（１）

　正十角形と正五角形でできた図の角アの大きさは[　]度です。

　　

 

角度の基本を学習済みの小４でも簡単に解ける問題で、正多角形の線対称性を利用すれば、ほんの数秒で答えが求められます。

ある程度のレベルの中学校の受験生であれば正五角形の１つの内角を当然覚えているはずなので、１０８/２＝５４度とするだけですからね。

仮に覚えていなくても（１８０－３６０/５）×１/２＝５４度とすればいいだけのことです。

線対称性が使えないと、角度を地道に埋めていくような解法になり、時間面で差を付けられてしまうでしょうね。

詳しくは、甲陽学院中学校２０２６年算数２日目第１問（１）の解答・解説で。

 

プロ家庭教師のＰＴ | 生徒募集について中学受験専門プロ家庭教師のプロ家庭教師のＰＴでは、関西（京都、大阪、神戸、芦屋、西宮、宝塚、豊中など）で中学受験を希望する生徒（小学生）を募集しています。家庭教師の指導可能教科は、算数、国語、理科、社会で、志望校対策、進学塾のフォロー、低学年からの英才教育、先取り学習などを承っています。リンクwww.xn--udk1b166r5bctsai43a.com

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

プロ家庭教師のＰＴ　関西（大阪・神戸・京都・芦屋・西宮など）の中学受験プロ家庭教師中学受験のプロ家庭教師なら、プロ家庭教師のＰＴ（プロ家庭教師.com）へ。プロ家庭教師のＰＴでは、中学受験を希望する家庭教師（志望校対策、低学年からの英才教育、進学塾のフォロー、算数オリンピック対策など）の生徒を随時募集中です。プロ家庭教師対象地域は、関西（大阪、神戸、芦屋、西宮、京都など）です。中学受験の算数、国語、理科、社会のプロ家庭教師も随時募集してい…リンクwww.xn--udk1b166r5bctsai43a.com

小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０１４年予選第６問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１４年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１４年予選第６問を取り上げ、解説します。

１６ｎというのは、１６×ｎのことです。

１と１６の数字を入れ替えた設定（ｎ×１＋１６とｎ×１６＋１）になっているのがおしゃれですね。

今回取り上げる問題ですが、中学入試でも昔からよく利用される「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）などの解答・解説を参照）を利用すれば簡単に解けます。

ｎ＋１６＝〇×〇、１６ｎ＋１＝□×□（〇は４より大きい整数（５以上の整数）、□は１より大きい整数（２以上の整数））とおくことができます。

１つ目の式の１６倍と２つ目の式の差を考えると、（４×〇）×（４×〇）－□×□＝２５５となります。

「和と差の積＝２乗の差」を用いると、（４×〇＋□）（４×〇－□）＝２５５

（４×〇＋□）と（４×〇－□）は２５５の約数のペアで、（４×〇＋□）は、（４×〇－□）より大きく、４×５＋２＝２２以上となります。

（４×〇＋□）（４×〇－□）＝２５５

　　２５５　　　１・・・①

　　　８５　　　３・・・②

　　　５１　　　５・・・③

あとは、和差算を解くだけです。

①のとき、〇＝（２５５＋１）/８＝３２、□＝３２×４－１＝１２７、ｎ＝３２×３２－１６＝１００８

②のとき、〇＝（８５＋３）/８＝１１、□＝１１×４－３＝４１、ｎ＝１１×１１－１６＝１０５

③のとき、〇＝（５１＋５）/８＝７、□＝７×４－５＝２３、ｎ＝７×７－１６＝３３

一応、□も求めていますが、〇を求めた後すぐにｎを求めてもよいでしょう。

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策プロ家庭教師の生徒募集について

　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

 

 

 

 

プロ家庭教師のＰＴ　関西（大阪・神戸・京都・芦屋・西宮など）の中学受験プロ家庭教師中学受験のプロ家庭教師なら、プロ家庭教師のＰＴ（プロ家庭教師.com）へ。プロ家庭教師のＰＴでは、中学受験を希望する家庭教師（志望校対策、低学年からの英才教育、進学塾のフォロー、算数オリンピック対策など）の生徒を随時募集中です。プロ家庭教師対象地域は、関西（大阪、神戸、芦屋、西宮、京都など）です。中学受験の算数、国語、理科、社会のプロ家庭教師も随時募集してい…リンクwww.xn--udk1b166r5bctsai43a.com

 

 

平面図形（相似、面積比）の問題　東大寺学園中学校２０２６年算数第４問

　下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤと三角形ＰＢＣがあり、辺ＡＤと辺ＰＢの交点をＱ、辺ＡＤと辺ＰＣの交点をＲとします。このとき、次の問いに答えなさい。

　　

（１）三角形ＰＱＲの面積が８cm2、三角形ＰＲＤの面積が５cm2、三角形ＣＤＲの面積が５cm2であるとき、台形ＱＢＣＲの面積を求めなさい。
（２）三角形ＰＡＱの面積が４cm2、三角形ＰＲＤの面積が３cm2、三角形ＣＤＲの面積が６cm2であるとき、台形ＡＢＣＲの面積を求めなさい。
（３）三角形ＰＡＢの面積が６cm2、三角形ＰＣＤの面積が４cm2、三角形ＣＱＲの面積が３cm2であるとき、三角形ＰＱＲの面積を求めなさい。
 

同じような問題が並んでいてちょっとしつこいなぁという感じがします。

面積比とか相似とかを習った小５の子が解くのにちょうどいい感じの問題です。

（３）だけが若干難しい（といっても、最難関中受験生であれば標準レベルですが・・・）かもしれませんが、下の南山中学校女子部の問題と何も変わらないと思います。

 

 

詳しくは、下記ページで。

　東大寺学園中学校２０２６年算数第４問（問題）

　東大寺学園中学校２０２６年算数第４問（解答・解説）

 

　中学受験算数対策プロ家庭教師の生徒募集について

　中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

 

 

 

 
 
 

 

プロ家庭教師のＰＴ　関西（大阪・神戸・京都・芦屋・西宮など）の中学受験プロ家庭教師中学受験のプロ家庭教師なら、プロ家庭教師のＰＴ（プロ家庭教師.com）へ。プロ家庭教師のＰＴでは、中学受験を希望する家庭教師（志望校対策、低学年からの英才教育、進学塾のフォロー、算数オリンピック対策など）の生徒を随時募集中です。プロ家庭教師対象地域は、関西（大阪、神戸、芦屋、西宮、京都など）です。中学受験の算数、国語、理科、社会のプロ家庭教師も随時募集してい…リンクwww.xn--udk1b166r5bctsai43a.com