赤い乗り物と青い乗り物にＡ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人が分かれて乗ります。どちらの乗り物も３人まで乗ることができます。乗る位置は考えないでよいものとするとき、乗り方は[ ]通りあります。
場合の数の基本問題ですが、選択した解法によって時間面で大きな差が生じます。
１１人の人が乗車定員１０人の２台の乗り物に乗る場合などを考えてみるとよいでしょう。
詳しくは、名古屋中学校２０２６年算数第２問（５）の解答・解説で。
次のような５けたの偶数（万の位に０はこない）はいくつあるか答えなさい。（３）は求め方を式と言葉を用いて書くこと。
（１）２０２６４や６４２２０のように０、４、６を１回、２を２回使ってできる偶数
（２）２０１２６や２０９６２のように２を２回、０と６を１回、奇数を１回使ってできる偶数
（３）２０２６０や２０２６２のように０、２、６の３種類のみをいずれも１回は使ってできる偶数
高槻中学校で昔からよく出される順列と組合せの問題です。
メインの問題と（１）、（２）は無関係です（そもそも使用できる数字の構成が異なりますからね）。
順列・組合せをマスターしていれば簡単に解ける問題ですが、同じようなことの繰り返しでしつこいなぁという感じがします。
各小問で条件が微妙に変わっていてケアレスミスをしやすい問題だから、注意が必要です。
詳しくは、下記ページで。
①１０３１０３を４つの素数の積で表しなさい。ただし、素数とは１とその数自身しか約数を持たない整数のことです。
②１０３１０３や２５７２５７のように、３桁の整数を２回くり返してできた６桁の数を考えます。このような数のうち３６４で割り切れるものは何個ありますか。
昔からよくある問題で、問題を見た瞬間に１００１＝７×１１×１３が思い浮かぶはずです。
①も②も解くのに３０秒もかかりません。
時間勝負の普通部の入試においては、短時間で解けるかどうかが勝負の分かれ目です。
詳しくは、下記ページで。
余裕のある人は下の問題を解いてみるとよいでしょう。
ｎは４以上の整数であり、ｘ、ｙ、ｚはすべて正の整数であるとする。
（１）省略
（２）空間の点（ｘ,ｙ,ｚ）で、ｘ＋ｙ＋ｚ＜ｎをみたすものの個数をｎを用いて表せ。
（３）空間の点（ｘ,ｙ,ｚ）で、ｘ＋ｙ＋ｚ＝３ｎかつｘ＜ｙ＜ｚをみたすものの個数をｎを用いて表せ。
（注）
正の→０より大きい
空間の点→小学生は無視（空間の点である必要はないからです）して。単に、（ｘ,ｙ,ｚ）の組と考えればよいでしょう。
３ｎ→３×ｎ
東大で同じような問題が過去に出されています。
また、中学入試でも同じような問題が出されています。
さて、東京科学大の問題を解いてみましょう。
（１）は（２）以降の問題のための誘導なのでしょうが、小学生には厳しいですし、誘導が必要な解法を採用しないので、省略しています。
（２）
ｗ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎ（ｗ、ｘ、ｙ、ｚは１以上の整数）となる場合を考えればいいですね。
小学生にとっては、問題文の表記が分かりにくいですが、「ｗ、ｘ、ｙ、ｚの４人に合計ｎ個のボールを配ります。ただし、４人には少なくとも１個のボールを配るものとします。」という問題を考えるだけの話です。
ｗ、ｘ、ｙ、ｚにまず○を１個ずつ配り、残りの（ｎ－４）個のボールの配り方を考えます（ｎ＝４の場合は１通りの「配り方」がありますね）。
（ｎ－４）個の○と３個の/の並べ方を考えればよいから、求める個数は（ｎ－１）×（ｎ－２）×（ｎ－３）/（３×２×１）＝（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）/６個となります。
なお、ｎ個のボールを並べ、（ｎ－１）個の、ボールとボールの間から３個を選んで/を置くと考えてもよいでしょう。
（３）
とりあえずｘとｙとｚの大小関係を無視して考えます。
（２）と同様に考えると、ｘ＋ｙ＋ｚ＝３ｎ（ｘ、ｙ、ｚは１以上の整数）となるのは（３ｎ－１）×（３ｎ－２）/（２×１）個あります。
このうち（あ）ｘとｙとｚがすべて同じものと（い）ｘとｙとｚのうち２つだけが同じものを取り除くと、ｘとｙとｚがすべて異なるものだけが残りますね。
ここで、ｘとｙとｚの大小関係を考慮すると、３×２×１＝６回カウントされているから、６で割ることにより答えが得られます。
（あ）について
（ｘ,ｙ,ｚ）＝（ｎ,ｎ,ｎ）の１個だけあります。
（い）について
ｎの偶奇に影響されるので、ｎの偶奇で場合分けして考えます。
具体例（例えば、ｘ＋ｙ＋ｚ＝６と９の場合を考えると、「最後」に２個余るか１個余るかの違いが出てきますね）を考えれば偶奇による場合分けが必要なことがすぐにわかるはずです（因みに、上の東大の問題は、この場合分けが生じないように６ｍ（６の倍数）としてくれていますね）。
（Ａ）ｎが奇数のとき
ｚだけ異なる場合は、（ｘ,ｙ,ｚ）＝（１，１、３ｎ－２）、（２，２、３ｎ－４）、・・・、（（３ｎ－１）/２，（３ｎ－１）/２，１）の（３ｎ－１）/２通りのうち（ｎ,ｎ,ｎ）の１通りを取り除いた（３ｎ－３）/２通りがあり、ｘ、ｙだけ異なる場合も同様に（３ｎ－３）/２通りあります（条件の対等性を利用して作業を減らす！）。
結局、この場合は（３ｎ－３）/２×３＝（９ｎ－９）/３個あります。
（Ａ）ｎが偶数のとき
ｚだけ異なる場合は、（ｘ,ｙ,ｚ）＝（１，１、３ｎ－２）、（２，２、３ｎ－４）、・・・、（（３ｎ－２）/２，（３ｎ－２）/２，２）の（３ｎ－２）/２通りのうち（ｎ,ｎ,ｎ）の１通りを取り除いた（３ｎ－４）/２通りがあり、ｘ、ｙだけ異なる場合も同様に（３ｎ－３）/２通りあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
結局、この場合は（３ｎ－４）/２×３＝（９ｎ－１２）/２個あります。
したがって、求める個数は、ｎが奇数のとき、
｛（３ｎ－１）×（３ｎ－２）/２－１－（９ｎ－９）/２｝×１/６ （負の数の積の計算などが小学生にとっては厄介ですが、面積図と「ひきすぎ⇒たす」で処理することができます（詳細については割愛）。）
＝（９ｎ2－１８ｎ＋９）/１２
＝（３ｎ2－６ｎ＋３）/４
となり、ｎが偶数のとき、
｛（３ｎ－１）×（３ｎ－２）/２－１－（９ｎ－１２）/２｝×１/６
＝（９ｎ2－１８ｎ＋１２）/１２
＝（３ｎ2－６ｎ＋４）/４
となります。
７個の数字０、１、２、３、４、５、６の中から異なる４個の数字を選んで、４桁の自然数を作るとき、次の条件を満たすものは何個できるか。
（１）５の倍数
（２）３２１０より大きいもの
（注）
自然数→１以上の整数
小学生でも解ける問題というより、完全に小学生の問題ですね。
４、５年生でも簡単に解ける子が結構いるでしょう。
（１）は、６×６×５×４－５×５×５×４とすることもできますし、６×５×４＋５×５×４とすることもできますし、２×６×５×４－１×１×５×４とすることもできます。
解説では、（１）での場合分けを避けることと（２）で使う個数を出すことを考慮して、一番最初の式で解きました。
詳しくは、下記ページで。
