ＡさんはＰ地からＱ地まで車で移動するのに途中で高速道路区間を通ったところ、６時間で到着し、燃料を２８．９Ｌ消費した。もし、全く高速道路を通らなかったら、移動距離は同じで燃料消費が３７．４Ｌになっていたという。Ａさんの高速道路区間での運転の速さは、高速道路以外の区間での速さの５/２倍である。また、Ａさんの車が燃料１Ｌで進む距離は、高速道路区間では１６km、高速道路以外の区間では１２kmである。高速道路区間の距離を求めよ。また、その区間での速さを求めよ。ただし、途中経過もかけ。
ラ・サール高校の入試問題ですが、中学入試で出されても何の不思議もない問題です。
前半の問題は１０秒程度で答えが求められます。
植木算のところで取り上げられる典型問題の１つと同様の解法ですからね。
後半の問題は前半と比べると若干難しいかもしれませんが、同じ速さの場合に距離の比と燃料消費の比が等しくなることに着目して、比の積・商を利用すれば簡単に解けます。
詳しくは、下記ページで。
図のような、一辺の長さが１の正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、ＡＣとＢＥの交点をＰ、ＤＰとＣＦの交点をＱ、ＥＱとＡＤの交点をＲ、ＦＲとＥＢの交点をＳとする。このとき、ＰＳの長さを求めよ。
西大和学園の高校入試問題ですが、中学入試で出題されても何の不思議もない問題です。
正六角形の６等分の知識と相似を使うだけですからね。
問題を解く際に複数の相似を使うことになりますが、使う順番は必然的に決まります。
このことは問題文からも読み取れます。
詳しくは、下記ページで。
今回は、日本数学オリンピック２００８年予選第２問を取り上げ、解説します。
この年のジュニア数学オリンピックで、同じ問題が図付きで出されています。
この程度の問題であれば、図があってもなくても難易度は変わりませんね。
まず、図をかいた後、「円外のある点から円に接する直線（接線）を２本引くと、その点と円に接する２つの点（接点）との距離が等しくなる」という知識（最難関中学校受験生であれば、この知識を当然知っているはずですね）を利用します。
下のような補助線がすぐに引けますね。
直角三角形がたくさんあるので、角度に記号をつけ、辺の比をチェックします。
三角形ＡＥＧと三角形ＦＥＧは合同となり、また、三角形ＤＧＣと三角形ＦＧＣも合同となり、さらに、三角形ＤＧＣと三角形ＡＥＧは相似（辺の比は、中：小＝２：１）となります。
ＡＥ＝１/２×１/２＝１/４となり、ＢＥ＝１－１/４＝３/４となるから、三角形ＣＢＥの面積は１×３/４×１/２＝３/８となります。
因みに、三角形ＣＢＥは、３つの辺の比が３：４：５の直角三角形となりますが、このことは三平方の定理を用いなくてもわかります（ＣＥ＝ＣＦ＋ＦＥ＝ＣＤ＋ＡＥ＝１＋１/４＝５/４となるからです）。
今回取り上げた問題と同じような問題が近年の数学オリンピック（JMO）でも出されている（日本数学オリンピック２０２２年予選第２問）ので、ぜひ解いてみましょう。
３６６÷２０＝１８あまり６、４２１÷２０＝２１あまり１のように、２０で割ったときの商があまりの倍数になっている３けたの整数を考えます。
このような整数のうち、最も大きい整数は[ ]、５番目に大きい整数は[ ]です。
商が余りの何倍かわかっていて答えをすべて求めるタイプの問題の場合は、下の灘中の問題の解説のように式を作って解くといいですが、今回取り上げた東海中の問題は式を作って解いても簡単にはなりません。
大きいほうから５個見つけるだけなので、上限から調べていくとよいでしょう。
詳しくは、東海中学校２０２６年算数第１問（２）の解答・解説で。
４本のひもがある。８つある端から２つずつ無作為に選び４つの組に分け、同じ組に属する端どうしを結ぶ。こうしてできる端の数をＮとする。ただし、輪とは１つあるいは複数のひもが結ばれて、ひとつながりになったものをいう。たとえば下図のとき、１つのひもからなる輪が２つと、２つのひもからなる輪が１つでできている。この図では２つの輪がからまっているが、Ｎ＝３と数える。
（１）Ｎ＝４となる確率を求めよ。
（２）Ｎ＝１となる確率を求めよ。
（３）Ｎの期待値を求めよ。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
期待値→小学生の場合、単に平均と考えればよいでしょう。
確率の意味と期待値の意味を与えたり、場合の数の問題にしたりすれば、普通に小学生でも解ける問題です。
実際、中学入試で同じ考え方（特定のものに着目して同じ組のものを決めるという考え方）で解ける問題が出されていますからね。
詳しくは、下記ページで。
因みに、今年の一橋大学の前期入試では５問中２問が小学生でも解ける問題でした。
下の問題もぜひ解いてみましょう。
