Ａ君の家は坂の上に、Ｂ君の家は坂の下にあります。Ａ君の坂を上る速さと下り速さの比は１：２、Ｂ君の坂を上る速さと下り速さの比は２：３です。２人は同時に自分の家を出発し、Ａ君はＢ君の家まで行ってもどり、Ｂ君はＡ君の家まで行ってもどったところ、同時に自分の家に着きました。２人が最初にすれちがったのは出発してから６分後でした。
２人とも往復するのに[ ]分かかりました。
峠と速さの問題のようですが、典型的な問題ではありません。
若干難しいと感じるかもしれませんが、比をうまく活用すれば簡単に解けます。
解説ページでは速さと比をフルに活用して解いていますが、ＡとＢの上りと下りの時間の比を求めた後は、いわゆるL.C.M.解法を利用して解いてもよいでしょう。
詳しくは、東海中学校２０２６年算数第１問（３）の解答・解説で。
右の図のように碁盤の目の形に並んでいる２０個の点から、同一直線上にない３個の点を選んで、それらを頂点とする三角形を作る。全部でいくつの三角形ができるか。
今年の東大入試でこの問題と同じような問題が出されています。
この東大の問題は、灘中対策演習問題に入れていて、灘中を受験する教え子に解いてもらっています。
きっちりとした解き方をすれば、この問題も今年の東大の問題も小学生でも解けます。
今年の東大の問題のほうが、一見すると（小学生にとっては）難しそうに思えますが、それは、問題文の表現が数学的であることと小学生にはなじみのない確率が絡むことと文字式の処理が必要なことによるもので、本質面の難しさではありません。
点が横に３個並んでいる今年の東大の問題のほうがむしろ解きやすかったなぁという印象です。
真ん中＝平均をイメージしやすいですからね。
詳しくは、下記ページで。
図のように、ＡＢ＝９、∠ＡＢＣ＝２２．５°、∠ＡＣＢ＝４５°である△ＡＢＣがあります。点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＨを引き、∠ＣＡＨの二等分線と点Ｃを通り直線ＡＨに平行な直線との交点をＤとします。また、直線ＢＤと直線ＡＨの交点をＥとしたとき、ＢＥ＝９となりました。
（１）∠ＡＤＥの大きさを求めなさい。
（２）省略
（３）△ＡＢＤの面積を求めなさい。
（４）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
∠というのは角のことで、△というのは三角形のことです。
（２）はルートが絡むので省略しています。
メインの（４）の問題を解くのに必要ありませんしね。
三角形ＡＢＣだけが与えられていても解けます（実際、算数オリンピックでそういう問題が出されています（算数オリンピック２０１３年ファイナル第５問））が、一応、出題者の誘導に従って解いてみます。
因みに、２０１３年の算オリの問題と同様の問題は中学入試でも誘導付きで出されています。
この東海中学校の問題でも一応誘導に従う解法を紹介していますが、もっとスマートに解ける解法も紹介しています。
いずれにせよ、２２．５度と４５度を見て直角二等辺三角形をどうやって作出するかがポイントになります。
さて、四天王寺高校の問題を解いてみましょう。
（１）
○は２２．５度ですね。
二等辺三角形ＡＢＥが線対称の軸ＢＨで二等分されていることから、角ＡＢＤの大きさは２２．５×２＝４５度となります。
また、角ＤＡＢの大きさは１８０－９０＝９０度となり、角ＡＤＥの大きさは１８０－４５－９０＝４５度となります。
（３）
三角形ＡＢＤは、等しい長さが９の直角二等辺三角形だから、その面積は９×９×１/２＝８１/２となります。
（４）
三角形ＡＢＤの面積
＝三角形ＡＢＥの面積＋三角形ＡＥＤの面積
＝三角形ＡＢＥの面積＋三角形ＡＥＣの面積（ＡＥとＣＤが平行であることに着目して、等積変形を利用しました。）
＝四角形ＡＢＥＣの面積
＝三角形ＡＢＣの面積×２（線対称性を利用しました。）
だから、三角形ＡＢＣの面積は８１/２×１/２＝８１/４となります。
今回は２００７年のJMOの予選第７問を取り上げます。
非負整数というのは、０以上の整数ということで、３の非負整数乗というのは、３の○（○は０以上の整数）乗（３を○個以上かけあわせた数）のことです。
問題文の表現が分かりにくいですが、中学入試にも算数オリンピックのキッズBEEにも同種の問題が出されているので、小学生でも解ける問題です。
３の５乗＝３×３×３×３×３＞１００、３の４乗＝３×３×３×３だから、３を５個以上かけあわせた数を使うことはできませんね（上限チェック！）。
３の４乗＝８１
３の３乗＝３×３×３＝２７
３の２乗＝３×３＝９
３の１乗＝３
３の０乗＝１（小学生にとっては、これが若干わかりにくいかもしれませんが、３の１乗から４乗について考えたとき、３をかける個数が１増えると３倍になり、逆に１減ると１/３倍になっているのだから、３の０乗は３の１乗（＝３）の１/３倍の１でないといけないことがすぐにわかるでしょう。マイナスの数を知っていれば、３の（－１）乗は、３の０乗（＝１）の１/３倍の１/３でないといけないこともすぐにわかりますね。）
表記を簡略化するため、３の４乗、３乗、２乗、１乗、０乗をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとします。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを組み合わせ（それぞれ複数個使用することができ、使用しないものがあってもよい）て１００を作るだけの話ですね。
「１円玉」、「３円玉」、「９円玉」、「２７円玉」、「８１円玉」で１００円を作ることをイメージすれば、上で紹介した中学入試で出されるタイプの問題であることがすぐにわかるはずです。
１００未満の数の場合、Ｅで残りを作ることができるので、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで１００以下の数を作ることを考えればいいですね。
その際、両替をイメージするとよいでしょう（例えば、Ｂを１個減らすとＣが３個増えるという感じです）。
Ａ １ ０
Ｂ ０ ３ ２ １ ０
Ｃ ２～０ ２～０ ５～０ ８～０ １１～０
Ｄ ０ ０ ０ ０ ０
３～０ ３～０ ３～０ ・ ３～０
６～０ ６～０ ６～０ ・ ・
９～０ ・ ・
１２～０ ・ ・
１５～０ ・ ・
２４～０ ・
３３～０
上記の表のようなものにおいて、Ａ＝１、Ｂ＝０のとき、Ｃ＝２なら、Ｄ＝０、Ｃ＝１なら、Ｄ＝３（０＋３）～０、Ｃ＝０なら、Ｄ＝６（３＋３）～０があるということです。
求める場合は、全部で
（１＋４＋７）＋（１＋４＋７）＋（１＋４＋７＋１０＋１３＋１６）＋（１＋４＋７＋・・・＋２５）＋（１＋４＋７＋・・・＋３４）
＝１２＋１２＋５１＋１１７＋２１０（等差数列の和の公式を利用しただけです。）
＝４０２通り
あります。
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自然数a、b、cは、a2＋b2＝c2を満たしている。このとき、以下の問いに答えよ。
（１）省略
（２）省略
（３）c＝４５のときのa、bの値を求めよ。ただし、a≦bとする。
（４）a＝４５のときのb、cの値は、
（b,c）＝（１０１２，１０１３）、（３３６，３３９）、（２００，２０５）、（１０８，１１７）、（６０，７５）
の他に２組ある。その２組をすべて求めよ。
（注）
a2→a×a（他も同様）
自然数→１以上の整数
ウォーミングアップの問題にすぎない（１）とヒントに過ぎない（２）の問題を省略しています。
（３）
この問題は先日取り上げた西大和学園中学校の問題の類題です。
一般に、平方数を３で割った余りは０（３の倍数を２回かけあわせた場合）か１（３で割り切れない数を２回かけあわせた場合）となります（面積図を利用すればすぐに確認できます）。
４５×４５（＝２０２５）は３の倍数だから、aもbも３の倍数となります。
a＝○×３、b＝△×３とします。
○×３×○×３＋△×３×△×３＝４５×４５
○×○＋△×△＝１５×１５（上の式を３×３で割りました。）
さらに、上と同様の作業を行うと、
□×□＋☆×☆＝２５（○＝□×３、△＝☆×３）
となります。
２５は３で割ると１余る数だから、□と☆の一方は３の倍数となり、他方は３で割り切れない数となります。
２５＝５×５だから、一方は３となり、他方は、５×５－３×３＝１６＝４×４より、４となります（まぁ、辺の比が３：４：５の直角三角形をイメージすればこんなことをするまでもありませんが・・・）。
したがって、a＝３×３×３＝２７となり、b＝４×３×３＝３６となります。
（４）
c＞bとなりますね。
c×c－b×b＝４５×４５
(c＋b）×（c－b）＝３×３×３×３×５×５ （「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）などの解答・解説を参照）を利用）
c＋bとc－b（c＋bが大、c－bが小）は４５×４５の約数のペアで、４５×４５（＝２０２５）の約数は、５×３＝１５個あり、約数の「ペア」（同じ数も含みます）は８組あります。
このうち条件を満たすもの（同じ数の「ペア」以外）は７組で、このうち５組が問題文に与えられています。
問題文に与えられた組のc－bは、それぞれ１、３、５、９、１５だから、（c－b,c＋b）＝（２５，８１）、（２７，７５）の組だけ考えればいいですね。
和差算を解くと、(b,c）＝（２８，５３）、（２４，５１）となります。
なお、与えられた値が偶数の場合、偶奇性を考慮することで調べる場合を減らすことができます（下の問題を参照）が、この問題の場合、偶奇性を利用するまでもないので、偶奇性を考慮していません。
