数の性質の問題　灘中学校２０２６年算数１日目第５問

　３桁（けた）の整数Ｘについて、次の（条件１）、（条件２）を考えます。
（条件１）Ｘは、どの位にも０が使われず、２でも３でも５でも割り切れない。さらに、Ｘの３つの位の数字をどのように並べ替（か）えても、並べ替えた後の３桁の整数は２でも３でも５でも割り切れない。　

　（条件２）Ｘの３つの位の数字を並べ替えて、Ｘと異なる３桁の整数Ｙを作り、ＸとＹの差が６０で割り切れるようにすることができる。
　（条件１）が成り立つようなＸは全部で[①　]個あります。また、（条件１）と（条件２）の両方が成り立つようなＸは全部で[②　]個あります。

 

まず条件１だけを考えなさいという誘導があり、少し簡単な問題になっています。
使える数字が１、３、７、９の４個だけであることが分かった後、この数字を３で割った余りで分類して解くこともできますが、そこまでする問題ではないということで、各位の和が３で割り切れない組合せをそのまま書き出す解法を採用しました。

詳しくは、灘中学校２０２６年算数１日目第５問の解答・解説で。

 

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平面図形（合同、相似、面積）の問題　洛南高校附属中学校２０２６年算数第７問

　図のように、点Ｂ、Ｃ、Ｄを中心とする３つの円（あ）、（い）、（う）が点Ａで交わっています。点Ｅ、Ｆ、Ｇは２つの円の交わる点です。直線ＡＥとＢＤ、ＡＦとＢＣ、ＡＧとＣＤの交点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとします。また、
　・ＡＥ：ＡＦ：ＡＧ＝１：２：５
　・六角形ＢＦＣＧＤＥの面積は１２８cm2
　・角ＥＢＦ、角ＦＣＧ、角ＧＤＥの大きさはすべて１２０度
です。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＢＣＤの面積は何cm2ですか。
（２）（ＢＰの長さ）：（ＰＤの長さ）を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
（３）三角形ＰＱＲの面積は何cm2ですか。
（４）（円（あ）の面積）：（円（い）の面積）：（円（う）の面積）を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

　　　

 

複数の問題が組み合わさったような問題なので、難しいでしょう。

メインの問題だけ出すと算数オリンピックレベルになってしまう（算数オリンピックにチャレンジする子は誘導をカットした（４）だけの問題を解いてみるとよいでしょう）ので、小問が誘導になっていますが、やや難しい（２）で躓いて終わりかねません。

解説ページでは、（１）、（２）の後（３）を経由せずにメインの（４）を解いています。

斜めの正三角形の問題の処理（下の斜めの正方形（直角二等辺差角形）の問題の処理の正三角形ヴァージョン）と同様にして、それほど面倒な計算をせずに（４）の答えを求められるからです。

 

 

 

 

 

詳しくは、下記ページで。

　洛南高等学校附属中学校２０２６年算数第７問（問題）

　洛南高等学校附属中学校２０２６年算数第７問（解答・解説）

 

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比と割合（食塩水の濃度）の問題　ラ・サール中学校２０２６年算数第２問（３）

　３％、４％、７％の食塩水Ａ、Ｂ、Ｃをいくらかずつ混ぜると３．５％になりました。また、Ｃの重さはそのままで、ＡとＢの重さを入れかえて混ぜると、４％になりました。はじめに混ぜたときの、食塩水Ａ、Ｂ、Ｃの重さの比を求めなさい。

 

４という数字が２つあることに着目するのがポイントです。

詳しくは、下記ページで。

　ラ・サール中学校２０２６年算数第２問（３）（問題）

　ラ・サール中学校２０２６年算数第２問（３）（解答・解説）

 

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平面図形（等積変形）の問題　高槻中学校２０２６年Ａ算数第２問（２）

　図のように、面積が２０cm2の正十角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪがあります。三角形ＢＥＪの面積と三角形ＥＦＧの面積と三角形ＧＨＩの面積の和を求めなさい。

　　　
 

数学オリンピック（ＪＭＯ）でほぼ同じ問題が２０２１年に出されています。

 

今回取り上げる高槻中学校の問題も、数学オリンピックの問題同様、対称性に着目して三角形を移動させた後等積変形をするだけです。

求める面積の和の正十角形の面積に対する割合も数学オリンピックの問題と同じですね。

詳しくは、高槻中学校２０２６年Ａ算数第２問（２）の解答・解説で。

次の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

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速さの問題（比例）　東大寺学園中学校２０２６年算数第２問

　ウサギとカメがまっすぐな道で競走しました。Ａ地点をスタートして、Ｂ地点を経由し、Ｃ地点で折り返したあと同じ道をもどり、Ｂ地点をゴールとするコースです。ウサギとカメは同時にスタートしました。ウサギはＢ地点で２０分間休憩（けい）しましたが、カメは休憩せず、ウサギの休憩中にＢ地点を通過しました。ウサギがＣ地点を折り返したのは、カメがＣ地点を折り返した４分３０秒後で、ウサギがゴールに着いたのは、カメがゴールに着いた１分３０秒後でした。ウサギとカメはそれぞれ一定の速さで走るものとして、次の問いに答えなさい。
（１）ウサギがＢ地点を出発したのは、カメがＢ地点を通過した何分何秒後でしたか。
（２）もしウサギがＢ地点で休憩しなかったとすると、カメがＣ地点を折り返したのはウサギがＣ地点を折り返した何分何秒後だったでしょうか。
（３）Ａ地点からＢ地点までの距離（きょり）とＢ地点からＣ地点までの距離の比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

 

Ｃ地点で折り返すことに意味はなく、Ｃ地点からさらにＢＣ間の距離だけ進んだ地点Ｄをゴールと考えても問題ありません（このように考えなくても解けますが、わかりやすいとは思います）。

問題自体は、時間の差と距離が比例することを利用するだけの問題です。

出題者がこの解法へ誘導してくれているので簡単に解けるでしょう。

詳しくは、下記ページで。

　東大寺学園中学校２０２６年算数第２問（問題）

　東大寺学園中学校２０２６年算数第２問（解答・解説）

 

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