小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００５年第１０問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００５年の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第１０問を取り上げ解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子はもとより、最難関中学校の受験生も当然解けるはずの問題です。

等しい角度の条件に着目して、ＰＢ：ＰＣが２：２（＝１：１）であれば、三角形ＡＢＣが二等辺三角形となり、対称性が利用できるのになぁと感じることがスタートラインです。

　　
ＰＣを２：１に分ける点をＤとすると、三角形ＡＢＤは二等辺三角形となります。
ＰＲとＡＤが交わった点をＳとすると、対称性より、ＡＳ：ＳＤ＝ＡＱ：ＱＢ＝４：３となります。
あとは、いわゆる等高図形の面積比に関する知識を利用するだけです。
三角形ＡＰＳの面積を⑧とすると、三角形ＤＳＰの面積は⑧×ＳＤ/ＡＳ＝⑥となり、三角形ＣＳＤの面積は⑥×ＣＤ/ＰＤ＝③となります。
したがって、
　　ＡＲ：ＲＣ
　＝三角形ＡＰＳの面積：三角形ＣＳＰの面積
　＝⑧：（⑥＋③）
　＝８：９
となります。

中学生であれば、最後の面積比の処理のところでメネラウスの定理を使うと思いますが、この問題でメネラウスの定理を使っても楽になりません。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（場合の数）　大阪星光学院高等学校２０２６年数学第１問（３）

　さいころを３回投げて出た目を順にa、b、cとするとき、a+bが５の倍数となる確率は[　]であり、c/(a+b)が整数となる確率は[　]である。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。

 

大阪星光の高校入試問題ですが、中学入試で出されても何の不思議もない問題です。

さいころを３回（実質的には２回）振る問題だから、６×６の表をかいて解けばよいでしょう（この程度の問題であれば、６×６の表を思い浮かべたら十分でしょうが・・・）。

余裕のある人は下の阪大の問題も解いてみるとよいでしょう。

 

 

詳しくは、下記ページで。

　大阪星光学院高等学校２０２６年数学第１問（３）（問題）

　大阪星光学院高等学校２０２６年数学第１問（３）（解答・解説）

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（比と割合の問題）　ラ・サール高等学校２０２６年数学第３問

　ビーカーに２１０ｇの水と４０ｇの物質Ａを入れてよくかき混ぜたところ、すべては溶けきらずにＡの沈でんが生じた。このビーカーから溶液のみを１００ｇ取り除き、その後１００ｇの水をビーカーに加えてよくかき混ぜると、Ａはすべて溶け、溶液の濃度は１１％となった。このとき、最初に生じた沈でんは何ｇであったか。ただし、途中経過もかけ。

 

ラ・サール高校の入試問題ですが、中学入試の算数や理科で出されても何の不思議もない問題で、小学生でも解ける問題です。

とはいえ、問題文をしっかり分析して適切な解法を選択しなければ、厄介なことになります。

飽和水溶液の濃度が簡単に求められるので、それを求めて解くのがいいでしょう。

詳しくは、下記ページで。

　ラ・サール高等学校２０２６年数学第３問（問題）

　ラ・サール高等学校２０２６年数学第３問（解答・解説）

 

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平面図形（面積、角度）の問題　白陵中学校２０２６年後期算数第２問（１）

　１辺の長さが４cmの正三角形を、垂直に交わる２本の直線にそって図のように４つ並べます。角あの大きさは[　]°です。

 　また、四角形ＡＢＣＤの面積は[　]cm2です。

　　　

 

前半と後半は無関係な問題です。

前半の問題は受験生をミスリードしかねないので、後半の問題だけを出すべきだったと思います。

いずれの問題も解くのに１０秒もかかりません。

詳しくは、白陵中学校２０２６年後期算数第２問（１）の解答・解説で。

 

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比と割合の問題（食塩水）　渋谷教育学園渋谷中学校２０２６年算数第１回第１問（４）

　２つの食塩水Ａ、Ｂがあります。Ａを１５０ｇとＢを□ｇ混ぜると、６％の食塩水ができ、Ａを４００ｇとＢは□ｇより２５０ｇ多い量を混ぜると、５．５％の食塩水ができます。また、ＡとＢの２つの食塩水を同じ量ずつ混ぜると、５％の食塩水ができます。□にあてはまる数を答えなさい。ただし、□には同じ数が入ります。

解くのに３０秒もかかりません。
まず、１つ目の混ぜ方と２つ目の混ぜ方を比べます。
１つ目の混ぜ方でできた食塩水（６％の食塩水）に、ＡとＢを２５０ｇずつ混ぜた食塩水（合計５００ｇの食塩水（３つ目の混ぜ方の条件より、当然５％の食塩水ですね））を混ぜたものが２つ目の混ぜ方でできる食塩水（５．５％）になります。
６％の食塩水と５％の食塩水を混ぜると平均（真ん中）の５．５％の食塩水となるのだから、等量混ぜたことになり、□＝５００－１５０＝３５０となります。

親切な数値設定なので、天秤の図をかくまでもありませんね。

 

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