図のように立方体の３つの面ＡＢＣＤ、面ＢＥＦＣ、面ＣＦＧＤ上に等間隔（とうかんかく）の線がかかれています。図に見えている線の上を通ってＡからＦまで行きます。次のそれぞれの場合について、何通りの行き方があるか答えなさい。
（１）Ｃを通ってＡからＦまで最短距離（きょり）で行く場合
（２）ＡからＦまで最短距離で行く場合
南山女子頻出の最短経路の場合の数の問題です。
今回取り上げる問題は、京都大学１９９２年後期理系数学第２問・文系数学第３問をアレンジした問題です。
因みに、南女では、東大や京大の問題をアレンジした問題がたまに出されます。
さて、話を元に戻します。
メインの（２）の問題ですが、ＡからＦまで最短距離で行くためには、辺ＢＣと辺ＣＤの少なくとも一方を通る必要があることに着目して解きます。
その際、ダブルカウントが生じますが、それが（１）の場合で、誘導の（１）が使えるわけです。
詳しくは、下記ページで。
因みに、京大の問題は、立方体の６面すべてがｎ×ｎの格子状になっていましたが、解き方のベースはこの南女の問題と何も変わりません。
南女の図を使って説明すると次のようになります。
立方体の残りの頂点をＨとします。
ＡからＦまで最短距離で行くためには、辺ＢＣ、辺ＣＤ、辺ＤＧ、辺ＧＨ、辺ＨＥ、辺ＥＢの少なくとも１つの辺（要するに、頂点Ａと頂点Ｆが絡まない辺ですね）を通ることになります。
まず、Ａから辺ＢＣを通ってＦに行く場合について考えます。
ＡからＦまで行くのに右に２ｎ（ｎ×２のことです（以下同様））回、上にｎ回（合計３ｎ回）移動することになります。
３ｎ回のうちどのｎ回上に行くかを考えればよく、この場合は3nＣn通りあります。
他の５つの辺についても同様に3nＣn通りあります。
上記６つの場合には、辺ＢＣと辺ＥＢをともに通る場合、つまり点Ｂを通る場合（2nＣn通り））がダブルカウントされているので、取り除く必要があります。
点Ｃ、点Ｄ、点Ｇ、点Ｈ、点Ｅを通る場合も同様にダブルカウントされていますね。
（立方体の辺上のみ通る場合（例えば、点Ｂも点Ｃも通る場合など）が適切にカウントされているか一応心配になりますが、カウント回数をチェックすると適切にカウントされています（詳細は省略）。）
結局、求める場合は全部で６（3nＣn－2nＣn）通りとなります。
ｎという文字が入っているので、小学生にとっては難しく感じるかもしれませんが、例えば、ｎ＝４としてみれば、南女の問題と同じような問題であることがわかるはずです。
