今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００８年第２問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選がなかったころの問題で、前半の問題は実質的には予選の問題のようなものです。
中学入試、高校入試、大学入試でも同じような問題が出されています（四天王寺中学校２００５年算数Ｂ第１問（２）、筑波大学附属駒場高等学校２０１７年数学第２問、大阪市立大学（大阪公立大学）２０１８年前期文系数学第１問、京都大学２００９年数学文理共通第５問など）が、解説ページで紹介している解法を利用してこのJJMOの問題を解くのはあまり賢いやり方ではありません。
JJMOの出題者が簡単に解けるような数値設定をしてくれているのに、それを無にすることになりますからね。
なお、上の筑駒の問題の（２）が、２０１３から４０２４までの整数をすべてかけてできた数が２で最大何回割れるか問う問題であれば、下の解法で解くのがよいでしょう。
さて、JJMOの問題を解いてみましょう。
１から連続するｎ個の整数の積をｎ！と表記することにします。
１００４×１００５×１００６×・・・×２００８
＝２００８！/１００３！
＝２００８×２００７×２００６！/１００３！
＝８×２５１×２００７×２００６！/１００３！
ここで、
２００６！
＝１×２×３×４×５×６×・・・×２００５×２００６
＝（１×３×５×・・・×２００５）×（２×４×６×・・・×２００６） （奇数の積と偶数の積に分けました。）
＝（１×３×５×・・・×２００５）×（１×２×３×・・・×１００３）×２1003 （各偶数を２で割り、２を寄せ集めました。）
＝（１×３×５×・・・×２００５）×１００３！×２1003
だから、結局、
１００４×１００５×１００６×・・・×２００８
＝２1006×奇数
となり、２で最大１００６回割り切れることになります。
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