今回は２００１年のJMOの予選第１１問を取り上げます。
自然数というのは１以上の整数のことで、６ｎは６×ｎのことです。
下のページで紹介している約数の総和の求め方（最難関中学校の受験生であれば常識レベルのことです）をマスターしていれば小学生でも解けます。
以前取り上げた下の名古屋大学の入試問題が一部の素因数の約数の総和を減らすことを考えるのに対して、今回取り上げる数学オリンピックの問題は一部の素因数の約数の総和を増やすことを考える問題で、実質的には同じ問題と言えるでしょう。
さて、JMOの問題を解いていきましょう。
６の約数の総和が１＋２＋３＋６（あるいは、（１＋２）×（１＋３））＝１２であることに着目して解きます。
（あ）ｎと６の最大公約数が１（ｎと６が互いに素）のとき
Ｓ（６ｎ）＝（１＋２）×（１＋３）×Ｓ（ｎ）＝１２Ｓ（ｎ）となり、条件を満たします。
２でも３でも割り切れない数は連続する整数６個の中に２個あるから、３桁の整数９００個の中には９００×２/６＝３００個あり、これがこの場合のｎの個数となります。
（い）ｎと６の最大公約数が２のとき
ｎは２の倍数となります。
ｎの素因数２の個数を○（○は１以上の整数）個とします。
以下、２を○個かけ合わせた数を２の○乗と表記します。
Ｓ（６ｎ）＝（１＋３）×（１＋２＋・・・＋２の（○＋１）乗）/（１＋２＋・・・＋２の〇乗）Ｓ（ｎ）≧１２Ｓ（ｎ）より、（１＋２＋・・・＋２の（○＋１）乗）/（１＋２＋・・・＋２の〇乗）≧３・・・（☆）とならなければいけません。
ここで、（☆）は、
１＋２＋・・・＋２の（○＋１）乗≧（１＋２＋・・・＋２の〇乗）×３
２の（○＋１）乗≧（１＋２＋・・・＋２の〇乗）×２ （両辺から１＋２＋・・・＋２の○乗を取り除きました。）
となりますが、（１＋２＋・・・＋２の〇乗）×２≧（１＋２の○乗）×２＝２＋２の（○＋１）乗となり、与えられた条件を満たすことはありえません。
（う）ｎと６の最大公約数が３のとき
（い）の場合と同様にするだけなので、「同様にして」と述べて作業しないことも可能だと思いますが、一応作業をしておきます（ほぼコピペです）。
ｎは３の倍数となります。
ｎの素因数３の個数を△（△は１以上の整数）個とします。
以下、３を△個かけ合わせた数を２の○乗と表記します。
Ｓ（６ｎ）＝（１＋２）×（１＋３＋・・・＋３の（△＋１）乗）/（１＋２＋・・・＋３の△乗）Ｓ（ｎ）≧１２Ｓ（ｎ）より、（１＋３＋・・・＋３の（△＋１）乗）/（１＋３＋・・・＋３の△乗）≧４・・・（＊）とならなければいけません。
ここで、（＊）は、
（１＋２＋・・・＋３の（△＋１）乗）≧（１＋２＋・・・＋３の△乗）×４
３の（△＋１）乗≧（１＋３＋・・・＋３の△乗）×３ （両辺から１＋３＋・・・＋３の○乗を取り除きました。）
となりますが、（１＋３＋・・・＋３の△乗）×３≧（１＋３の△乗）×３＝３＋３の（△＋１）乗となり、与えられた条件を満たすことはありえません。
（あ）、（い）、（う）より、条件を満たすｎは３００個あります。
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