右の図１のような２ｎ個のマスのそれぞれに〇、×のいずれかの記号を入れる入れ方を考える。ただし、１８０°回転して同じになるものは１通りと考えることにする。たとえばｎ＝１のとき、記号の入れ方は図２のように３通りある。
（１）ｎ＝２のとき、記号の入れ方は[ ]通りある。
（２）ｎ＝３のとき、記号の入れ方は[ ]通りある。
（３）ｎが自然数のとき、２ｎ個のマスに記号を入れる入れ方はｎを用いて[ ]通りと表せる。
（注）
２ｎ→２×ｎ
自然数→１以上の整数（小学生は無視して考えればよいでしょう。）
「１８０°回転して同じになるものは１通りと考える」という条件があるので、ダブりに注意する必要があります。
解説ではあえてダブらせて後で調整するという方針で解いています。
この方針は非常に大切なので、最難関中学校の受験生はしっかりマスターしておく必要があります。
下の問題を解いてみるとよいでしょう。
大阪星光の問題に戻ります。
ｎ＝１のとき（問題の例）とｎ＝２のとき（（１））を理論的にきっちり分析することができれば、メインの（３）の問題も同様にしてすぐに解けます。
（１）と（２）だけなら、書き出して解くという方針でも解けないこともないですが、その方針では、（３）は厳しいでしょう。
何も考えずに書き出しても意味はないですが、ｎ＝２の場合を書き出したときに、はじかれたものがどういうものであるかということと問題文の例ではじかれたものがどういうものであるかということを考えれば、解説の方針にたどり着ける可能性は十分あります。
ところで、解説では、ｎ＝１のときとｎ＝２のときにぎりぎりまで計算していませんが、これは非常に大切なことです。
計算してしまうと見えなくなってしまうことがありますからね。
例えば、次のような問題を低学年の子に解いてもらうことがあります。
最初の数が３で、２ずつ増えていく数を左から順に並べます。左から２０番目の数は何ですか。
初めて教えた子は、たいてい３、３＋２＝５、５＋２＝７、・・・というようなことをして答えを出そうとします。
これで答えを出せること自体はいいことですが、計算はしなくてもいいから、番号と式だけ書いてくれればいいよと必ず言います。
すると、
① ３
② ３＋２
③ ３＋２＋２
④ ３＋２＋２＋２
⑤ ３＋２＋２＋２＋２
というように書いてくれるので、⑤って数字が何個並んでいるか問うと、５個とすぐに答えてくれ、２は何個並んでいるか問うと、４個とすぐに答えてくれます。
これをいくつかの番号でやった後、⑳はどうかなと問うと、数字は全部で２０個で、２は１９個だと答えてくれ、３＋１９×２＝４１が答えだと言ってくれます。
最初が２だったら楽だったよねと言うと、２×２０＋１＝４１としたほうが楽だとたいていの子が気付いてくれます。
低学年のうちはこういう勉強法が非常に大切で、等差数列の□番目の公式を覚えせてそれを当てはめて解くなどという学習法では、高学年で破綻することがあります（公式を忘れたと言って手が（思考も）止まってしまうような状態です）。
もちろん、等差数列の□番目の公式を自分で導き出せるのであれば問題ありません。
詳しくは、下記ページで。
