今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０１８年予選第３問を取り上げます。
中学受験生でも、ダブりの処理をきっちりすれば簡単に解けるでしょう。
特に、最難関中学校の受験生であれば解けることが望ましい問題です。
参加する集会の選び方から、３回連続休むことがある集会の選び方を引いて求めます（余事象の利用）。
参加する集会の選び方は、１０回の集会から参加しない４回の集会を選ぶと考えればよいから、
（１０×９×８×７）/（４×３×２×１）
＝２１０通り
あります。
あとは、３回連続休むことがある集会の選び方を求めることになりますが、以前取り上げたJJMO２０２３年予選第３問と同じ手法を利用します。
連続する欠席３回を１セットと考えてＡとし、残り１回のの欠席をＢとし、残り６回の出席をそれぞれＣとし、Ａ１個とＢ１個とＣ６個を並べると考えます。
この並べ方は、Ａがどこに来るかで８通りあり、そのそれぞれに対して、Ｂがどこに来るかで７通りあり、そのそれぞれに対して、Ｃがどこに来るかが確定するから、全部で８×７通りあります。
この中には、４回連続欠席する場合が含まれていて、ＡＢの並びの場合とＢＡの並びの場合でダブルカウントされているから、４回連続欠席する場合の数を引く必要があります。
連続する欠席４回を１セットと考えてＤとし、Ｄ１個とＣ６個を並べると考えます。
この並べ方は、Ｄがどこに来るかで７通りあり、そのそれぞれに対して、Ｃがどこに来るかが確定するから、全部で７通りあります。
したがって、求める場合の数は
２１０－（５６－７）
＝１６１通り
となります。
余事象を利用せずに解くこともできます。
まず、出席６回を並べ、その間と両端（下の図の７か所のvのところ）に連続する欠席が２回以下となるように差し込むと考えます。
v〇v〇v〇v〇v〇v〇v
２連続の欠席の回数により場合分けを行います。
（あ）２連続の欠席が２回ある場合
（い）２連続の欠席が１回だけある場合
（う）２連続の欠席がない場合
以下、説明の便宜上、２連続の欠席をA、連続しない欠席をBとします。
（あ）の場合
７か所から２か所選んでAを置くことになるから、
（７×６）/（２×１）
＝２１通り
あります。
（い）の場合
７か所から１か所選んでAを置き、残りの６か所から２か所選んでBを置くことになるから、
７×（６×５）/（２×１）
＝１０５通り
あります。
（う）の場合
７か所から３か所選んでＡを置かないようにすることになるから、
（７×６×５）/（３×２×１）
＝３５通り
あります。
（あ）、（い）、（う）より、求める場合の数は
２１＋１０５＋３５
＝１６１通り
あります。
なお、ラ・サール中学校で同じような問題が出されています。
ラ・サール中学校２０１８年算数第２問（２）
何枚かのコインを横一列に並べます。３枚以上表が連続するところがある並べ方は何通りですか。次の場合について答えなさい。
（ア）５枚を並べるとき
（イ）６枚を並べるとき
こういう問い方であれば、３枚以上表が連続するものを数え上げたほうがいいでしょうね。
（ア）はともかく（イ）は数え上げるのは面倒なので、計算で求めますが、その際ダブりを防ぐ工夫が必要です。
この問題については後日取り上げる予定です。
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