文章題（特殊算の問題） 東海中学校２０２５年算数第３問

　Ｔさんが昨年、商品Ａと商品Ｂを合わせて１０個買ったところ、全部の代金は２０４００円でした。今年になって、商品Ａの値段が１．１倍に、商品Ｂの値段が１．５倍に値上がりしたため、商品Ａを昨年の２倍の個数、商品Ｂを昨年の１/３倍の個数だけ買ったところ、商品Ａと商品Ｂを合わせた個数も、全部の代金も昨年と同じになりました。
（１）今年は商品Ａを何個買いましたか。
（２）今年の商品Ｂは１個いくらですか。

基本的な文章題です。

消去算で解くこともできますが、解説では、（１）も（２）もてんびん算で処理しています。

なお、（１）は整数条件（倍数条件）に着目しても簡単に解けます。

割合のつるかめ算として処理すると、次のようになります。

（１）

Ｂの個数も昨年の２倍であれば、ＡとＢの合計個数も２倍の２０個となったはずですが、実際は、Ｂの個数が１/３倍になっているから１０個となっていて、２０－１０＝１０個少なくなっています。

これが昨年のＢの個数の２－１/３＝５/３倍に相当するから、昨年のＢの個数は１０×３/５＝６個となり、今年のＡの個数は（１０－６）×２＝８個となります。

説明のために長々と書いただけで、実際には、昨年のＢの個数は（１０×２－１０）÷（２－１/３）＝６個というように式だけですぐに求めることができます。

（２）

今年は、Ａの代金総額が１．１×２＝２．２倍、Ｂの代金総額が１．５×１/３＝０．５倍となっています。

昨年のAの代金総額は

　　（２０４００－２０４００×０．５）÷（２．２－０．５）

　＝１０２００×１０/１７

　＝６０００円

となり、昨年のＢの代金総額は

　　２０４００－６０００

　＝１４４００円

となります。

したがって、今年のＢの値段は

　　１４４００×１/６×１．５

　＝３６００円

となります。

詳しくは、下記ページで。

　東海中学校２０２５年算数第３問（問題）

　東海中学校２０２５年算数第３問（解答・解説）

下の割合のつるかめ算の問題もぜひ解いてみましょう。

プロ家庭教師のＰＴ | ノートルダム女学院中学校２０１０年前期II算数第４問

解説ページでは３つの解法を紹介しています。

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（角度の問題） 九州大学２０２５年前期理系数学第４問（１）

　半径１の円周上に反時計回りに点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを順にとり、線分ＡＤは直径で、ＡＣ＝ＣＤ、ＡＢ＝ＢＣが成り立つとする。
（１）∠ＡＣＢを求めよ。
（２）略
（３）略

（２）と（３）は三平方の定理とルートがからむので、省略しています。
一応高校の三角比の問題ですが、三平方の定理を利用して中学生の範囲で解けます。

（１）は小学生でも解ける角度の基本問題です。
図をかくと下のようになります。
　　
三角形ＡＣＤは角Ｃが直角の直角二等辺三角形ですね。
２点Ｂ、Ｄを直線で結び、円周角の定理を利用すると、角ＡＣＢ＝角ＡＤＢ＝４５/２度というように一瞬で解けますが、小学生の場合、円周角の定理を知らないので、円周角の定理を知らないふりをして解くことにします（西大和学園中学校など数学的な問題が出されることがある中学校を受験するのであれば、円周角の定理を知っておいた方が時間の短縮になっていいとは思いますが・・・）。
点Ｂ、Ｃと円の中心（点Ｏとします）をそれぞれ直線で結びます。
三角形ＣＯＡは角ＣＯＡが直角の直角二等辺三角形となりますね。
ＡＢ＝ＢＣだから、角ＣＯＢ＝９０/２＝４５度となります。
三角形ＯＢＣはＯＢ＝ＯＣの二等辺三角形だから、角ＢＣＯ＝（１８０－４５）/２＝１３５/２度となり、角ＡＣＢ＝１３５/２－４５＝４５/２度となります。

『生徒募集のお知らせ』

目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）

目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）

目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）

小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題） 九州大学２０２５年前期文理共通数学第３問

　以下の問いに答えよ。
（１）ｎを整数とするとき、ｎ²を８で割った余りは０、１、４のいずれかであることを示せ。
（２）２^m＝ｎ²＋３をみたす０以上の整数の組（ｍ,ｎ）をすべて求めよ。
（注）
ｎ²→ｎ×ｎ
２^m→２をｍ個かけあわせた数

灘中などでよく出されるタイプの問題です（灘中学校２０１９年算数１日目第４問、灘中学校２０２１年算数１日目第５問など）。

ご丁寧に８の平方剰余・非剰余を考えなさいというヒントまでついているので、差がつかないような気がしますが・・・

中学受験をしていない中学生でも、文字式の利用を習っていれば（１）を機械的に解くことができますからね。

（１）があれば、（２）は落としようがないですしね。

　〇は整数です。〇×〇を８で割った余りは０か１か４です。

　このとき、２×・・・×２（２を□個かけた数）＝〇×〇＋３となる□と〇を求めなさい。

こういう問題にして、小４の教え子に解いてもらったら、すぐに□＝２、〇＝１という答えを求められましたからね。

□がもっと大きくなることはないのとこちらが言うと、ちょっと（３０秒ぐらいかな）考えて、８で割り切れちゃうからと答えてくれました。

なお、問題文に「すべて」と書いてあるのははったりで、むしろ答えが１つかもしれないと警戒すべきでしょうね（下の問題を参照）。

数学では何も書いていなくもすべて求めるのが当たり前で、わざわざ「すべて」と書くのは、答えが複数あるから気を付けてねという親切な出題者か・・・（あえて言いません）。

東京大学２００５年前期文科第２問・理科第４問（問題）

名古屋大学２０１６年前期文系第３問（問題）

九州大学２０１７年前期文系第４問（問題）

詳しくは、下記ページで。

　九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（問題）

　九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（解答・解説）

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マスター・オブ・整数 （大学への数学）

小学生でも解ける大学入試数学の問題（確率） 名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問

　コイン①、…、⑥が下図のようにマス目の中に置かれている。
　　　

　これらのコインから無作為にひとつを選び、選んだコインはそのままにし、そのコインのあるマス目と辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す操作を考える。例えば、①を選べば、②、④を裏返し、②を選べば、①、③、⑤を裏返す。最初はすべてのコインが表向きに置かれていたとする。正の整数ｎに対し、ｎ回目のの操作終了時点ですべてのコインが裏向きである確率をp_nとするとき、以下の問に答えよ。
（１）p₂を求めよ。
（２）コイン①、…、⑥をグループＡ、Ｂに分けることによって、ｎ回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きであるための必要十分条件を次の形に表すことができる。
　ｎ回目の操作終了時点までにＡに属する各コインはそれぞれ奇数回選ばれ、Ｂに属する各コインはそれぞれ偶数回選ばれる。
　どのようにグループ分けすればよいか答えよ。
（３）p₄を求めよ。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
正の→０より大きい
（２）の問題文が小学生にはわかりにくいですが、要するに、コイン①、…、⑥をそれぞれ選んだ回数は奇数回か偶数回か答えなさいということです。（３）を解くためのヒントに過ぎないので、小学生の場合無視してもよいでしょう。（３）を解こうとすれば、このことを考えることになりますからね。

メインの（３）の問題は、確率の問題を場合の数の問題にすれば、中学入試にそのまま出せそうな問題です。

実際、同じような考え方で解ける問題が中学入試で出されていますからね（ラ・サール中学校１９９４年算数２日目第３問、慶應義塾中等部２０１６年算数第７問など）。

本質的には何も変わりません。

（１）は簡単すぎますね。

文系の人が大問を丸々落としたらかわいそうという出題者の配慮かもしれませんね。

（２）は、（３）を解こうとしたら当然考えることで、名大の理系に合格するようなレベルの受験生ならこのヒントがなくても解けるでしょうね。

（３）は、上で紹介した慶應中等部の解説のように、式を作って消去算に持ち込むこともできますが、慶應中等部の問題ほど設定が複雑ではないので、わざわざ式を作るまでもないということで、式を作らずに解いています。

詳しくは、下記ページで。

　名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問（問題）

　名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問（解答・解説）

因みに、今年の名古屋大学の問題は、文系は３問中２問、理系は４問中２問が小学生が解けるものでした（いずれの問題も高１で配当される数Ａの問題）。

『小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題）　名古屋大学２０２５年文理共通数学第２問』

文系の残り１問は数Ⅱの微積で、理系の残り２問は数Ⅲの微積で、出題範囲がかなり偏っていますね。

『生徒募集のお知らせ』

マスター・オブ・場合の数 （大学への数学　分野別重点シリーズ2）

小学生でも解ける大学入試数学の問題（場合の数・確率） 東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問

　次の[　]にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ。
　１個のさいころを３回続けて投げるとき、ｋ回目に出る目をＸ_k（ｋ＝１、２、３）とする。このとき、
　・積Ｘ₁Ｘ₂Ｘ₃が１０の倍数になる確率は[ア]、
　・和Ｘ₁＋Ｘ₂、Ｘ₂＋Ｘ₃、Ｘ₃＋Ｘ₁が、いずれも６の倍数にならない確率は[イ]
である。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。

いずれの問題も小学生でも解ける問題です。

前半の問題は東京工業大学（現在は、東京科学大学）の過去問（東京工業大学２０１２年数学第１問（２））と同じ問題です。

余事象を考えて解いています。

後半の問題は前半の問題と比べるとかなり面倒そうなので、６×６の表をかいてねじ伏せています。

さいころを３個振る問題で、６×６の表をかいて処理する方法をマスターしていれば、２、３分でできますよ。

因みに、前半の問題を６×６の表をかいて解くと、｛６×６＋３×５＋１×（６×６－４－５－６）｝/（６×６×６）＝１/３となります。

　
解くのに１分もかかりません。
図を見ながらこの式の意味を考えてみるとよいでしょう。

詳しくは、下記ページで。

　東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問（問題）

　東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問（解答・解説）

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マスター・オブ・場合の数 （大学への数学　分野別重点シリーズ2）