速さ（旅人算（Ｎ回目の出会い））の問題　滝中学校２０２５年算数第５問

　２つの地点ＳとＴを結ぶ道があります。ＡさんはＳからＴへ、ＢさんはＴからＳへそれぞれ一定の速さで歩きます。ＡさんはＢさんより時速２km速く歩き、２人はそれぞれ一定の速さで歩きます。そして、Ａさん、Ｂさんは、それぞれＴ、Ｓに着くとすぐに引き返し、最初にすれ違った時刻から５４分後に、Ｓから９００ｍの地点で再びすれ違いました。次の問いに答えなさい。
（１）２人が同時に歩き始めてから最初にすれ違うまでにかかった時間は何分か求めなさい。
（２）Ａさんの歩く速さは時速何kmか求めなさい。また、２つの地点ＳとＴの距離は何kmか求めなさい。

 

旅人算の有名問題（Ｎ回目の出会いの問題）で、昔から様々な中学校で出されています（神戸女学院中学部２００３年算数第７問、洛南高等学校附属中学校２０２４年算数第２問など）。

（１）も（２）も比例を使うとすぐに解決します。

解説では（２）を相当算で処理していますが、下のように消去算に持ち込んで解いてもよいでしょう。

ＳＴ間の距離を□ｍとします。

Ｂに着目します。

　　（□－２０００×２７/６０）×１/２×３＝□＋９００（なぜこの式を作ることができるのか自分で考えてみるとよいでしょう。）

　　□×３/２－１３５０＝□＋９００

　　□×１/２＝２２５０

　　□＝４５００（以下略）

詳しくは、下記ページで。

　滝中学校２０２５年算数第５問（問題）

　滝中学校２０２５年算数第５問（解答・解説）

 

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中学入試算数の計算問題　ラ・サール中学校２０２５年算数第１問（２）

　次の□にあてはまる数を求めなさい。
　　３７×１０．７－１１１×０．９＋４×１８．５＝□

 

ラ・サール中学校で繰り返し出されている計算の工夫の問題です（ラ・サール中学校２０２４年算数第１問（３）、ラ・サール中学校２０２３年算数第１問（２）など）。

３７、１１１、１８．５を見た瞬間にどのようにすればわかるはずです。

詳しくは、ラ・サール中学校２０２５年算数第１問（２）の解答・解説で。

 

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数学の中学準備講座の授業から（００１）

数学の中学準備講座の授業の内容を少し紹介します。

 

　(-14)×5÷(-7/2)-(-3)×(-14)÷(-6/11)
　まずどこから計算？　　(-14)×5÷(-7/2)
　符号は？　　マイナスとマイナスでプラス
　じゃあ、あとは１４×５×２/７を計算するだけで　　２０
　次に、-(-3)×(-14)÷(-6/11)の部分の符号は？　　マイナスが４個でプラス
　じゃあ、あとは３×１４×１１/６を計算するだけ　　７７
　じゃあ、答えは？　　２０＋７７＝９７

ちまちまの計算式を書くのではなく、かたまりを見つけてその部分を一気に処理します。

まず、符号を判定して慣れ親しんだ小学生の計算にいち早く持ち込みます。

最初は符号のミスが起こりやすいので、それをしっかり確認することが大切です。

細かいことですが、(-3)×(-14)÷(-6/11)の部分で符号判定するのではなく、引き算の記号も含めて符号判定するのもポイントです。


　(-6)5÷24×(-52)÷(-3)3÷(-10)2

　まず、それぞれの符号は？　マイナス、プラス、マイナス、マイナス、プラス

　全体の符号は？　マイナス３個でマイナス

　じゃあ、あとは65÷24×52÷33÷102を計算して、マイナスをつけるだけ。

　6=2×3、10=2×5だよね。2,3,5はそれぞれ何個残る？　　２は分母に１個、３は分子に２個、５は０個

　じゃあ、答えは？　　－９/２

指数については、例えば、(-52)と(-5)2の違いを確認するため、パーツごとに符号をいったん確認しています。

 

洛南高等学校２０２４年数学第１問（１）
　{1-(2)3÷(-4)}×56÷(-7/8)+9を計算しなさい。
　まず、どこから計算？　-(2)3÷(-4)

　符号は？　　マイナスが１個、３個、１個の合計５個でマイナス

　数字は？　　２

　結局、{　}の中は？　　-1

　次に、どこを計算？　　-1×56÷(-7/8)

　符号は？　　マイナス２個でプラス

　じゃあ、あとは56×8/7を計算するだけで　　64

　じゃあ、答えは？　　64+9=73

 

　(-5x3)×(-6y2)÷(-3x2y/2)+(-6x4y)÷(-xy)2×(-3x)

　まず、どこから計算？　(-5x3)×(-6y2)÷(-3x2y/2)

　符号は？　　マイナス３個でマイナス

　数字は？　　５×６×２/３で２０

　文字は？　　xが１個、yが１個

　それで？　　-20xy

　次に、+(-6x4y)÷(-xy)2×(-3x)の符号は？　　マイナスが１個、２個、１個の合計４個でプラス

　数字は？　　６×３＝１８

　文字は？　　ｘが３個、ｙが分母に１個

　それで？　　１８x3/y

　じゃあ、答えは書き並べるだけだね。

文字式になったところで、正と負の数の計算と指数の計算などの組合せにすぎません。

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（場合の数）　北海道大学２０２５年前期文系数学第２問（一部略）

　整数a、b、cは条件
　　２≦a＜b＜c≦６
を満たすとする。
（１）不等式a＋b＞cを満たすような(a,b,c)をすべて挙げよ。
（２）不等式a2＋b2≧c2を満たすような(a,b,c)をすべて挙げよ。
（３）省略
（注）

a2→a×a（他も同様）


（３）は、（２）で求めた(a,b,c)が三角形の成立条件（（１）がそうですが、これは小学生でも知っていますね）を満たすことを確認して高校で習う余弦定理を使うだけの計算問題だから、省略しています。
（１）と（２）は小学生でも簡単に解けます（記号の意味を教えれば、低学年の子でも普通に解けるでしょう）。

手を動かすだけですからね。

（１）
与えられた不等式より、aは２以上で、bは３以上だから、cは４以上（６以下）となります。
cの値で分類して書き出します。
　c b a
　４３２
　５４３
　　　２
　６５４
　　　３
　　　２
　　４３
上の７通りが答えですね。
実際には、(２,３,４)などというように書かないといけないですが、面倒なだけなので省略します。

解く作業より答えを書く作業の方が時間がかかりますし、答えが７通りもあると採点が大変そうですね。
（２）
２以上６以下の整数をそれぞれ２乗した（２回掛け合わせた）ものは４、９、１６、２５、３６となります。
c2の値で分類して書き出します。
９＋２５＜３６＜２５＋１６、２５＝１６＋９、１６＞９＋４だから条件を満たす数はほとんどないですね（というより、この時点で答えが求められてしまいますが・・・）。

　　c2　　b2　　a2
　３６　２５　１６
　２５　１６　　９
(a,b,c)＝（４，５，６）、（３，４，５）が答えとなります。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（場合の数）　慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第３問

　〇と書いてあるカードと、△と書いてあるカードが、それぞれたくさんある。これらのカードを、△と書いてあるカードが隣り合わないように横一列に並べていく。例えば３枚のカードの並べ方は〇〇〇、〇〇△、〇△〇、△〇〇、△〇△の５通りである。次の問に答えよ。
（１）４枚のカードの並べ方が何通りあるか求めよ。
（２）５枚のカードの並べ方が何通りあるか求めよ。
（３）ｎ枚のカードの並べ方がはじめて２００通りを超えるときのｎの値を求めよ。

 

高校入試だけでなく、中学入試や大学入試でも昔からよく出される問題です。

（出題例）

　京都大学１９９９年前期文系数学第５問

　京都大学２００７年理系乙数学第１問 問２

　大阪星光学院高等学校２０２２年数学第４問

　大阪星光学院中学校２００７年算数第４問（ラ・サール中学校１９９６年算数１日目第５問の表記が変わっただけの問題）

　灘中学校１９９６年算数１日目第９問

　ラ・サール中学校１９９７年算数１日目第４問

　ラ・サール中学校２００４年算数第４問

　洛南高等学校附属中学校２０２４年算数第５問

上の出題例からわかるように、カードを並べるという表面的なことに本質があるわけではありません。

最難関中学校の受験生であればルーティーンワークと言える問題で、表（のようなもの）をかいておしまいです。

（３）はともかく、（１）と（２）は低学年の子でも解ける問題です。

因みに、この問題を小学生向けの表現にしたものを教え子に出して、まず１枚の場合から考えてみようかとヒントを出したら、次のようにして解けていました。

　１枚・・・〇、△の２通り

　２枚・・・〇〇、〇△、△〇の３通り

　３枚・・・５通り

　４枚・・・〇〇〇〇、〇〇〇△、〇〇△〇、〇△〇〇、△〇〇〇、△〇△〇、△〇〇△、〇△〇△の８通り

ここで、何か思うことはある？って尋ねると、２＋３＝５、３＋５＝８という規則性に気付いて、（３）も解けていました。

低学年の場合、こういう風に手を動かして解くということが非常に大切です。

受験生なら、この程度の問題はもっと理論的にさっと解けないといけませんが。

詳しくは、下記ページで。

　慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第３問（問題）

　慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第３問（解答・解説）

 

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