正多面体 合成抵抗 まとめ+概論

　5種類の正多面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めました。

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	1/2	7/12	5/12	19/30	11/30
距離 2	-	3/4	1/2	9/10	7/15
距離 3	-	5/6	-	16/15	1/2
距離 4	-	-	-	17/15	-
距離 5	-	-	-	7/6	-

分母を60とした時は、

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	30	35	25	38	22
距離 2	-	45	30	54	28
距離 3	-	50	-	64	30
距離 4	-	-	-	68	-
距離 5	-	-	-	70	-

です。

☆正多面体(全5種)

　・正4面体(正3角錐)

　・正6面体(立方体)

　・正8面体(正3反角柱)

　・正12面体

　・正20面体

☆正多面体

　・正多面体の面は順に、正3,4,3,5,3角形です。

　・正多面体の各頂点には順に、3,3,4,3,5本の辺が集まります。

　・正多面体の辺の数は、

　　正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、2つの面が1つの辺を共有しているので、

　　(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷2=(6,12,12,30,30)本です。

　・正多面体の頂点の数は、

　　正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、3,3,4,3,5つの面が1つの頂点を共有しているので、

　　(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷(3,3,4,3,5)=(4,8,6,20,12)個です。

　・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の　辺の数はそれぞれ12、30本で同じです。

　・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の頂点の数は、

　　それぞれ8と6本、20と12本で面の数と入れ替わります(双対)。

　・正4面体の頂点の数と面の数はどちらも4つで同じです(自己双対)。

☆抵抗と電位と電流

◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。

　今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。

◯2点間の合成抵抗を求めるときは、

　片方の電位を1,他方を0とします。

　また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。

◯ある2点間X→Yを流れる電流は、

　電位差(電圧)、X-Yです。

◯キルヒホッフの法則

　各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。

　ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、

　X₀ついての式は、抵抗が同じなので、

　aX₀=X₁+…+Xₐ

　と書けます。

◯合成抵抗

　回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。

　端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。

各正多面体の詳細はこちら↓

『正四面体 抵抗 1/2』

『立方体 抵抗(1) 概論+対蹠点 5/6』

『正八面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 1/2』

『正12面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 7/6』

『正20面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 1/2』

↓次回

『正多面体 合成抵抗 外接球補正』

正多面体の頂点間の距離ごとの距離・本数・中心角

　5種類の正多面体の距離は、

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	1	1	1	1	1
距離 2	-	√2 1.4142	√2 1.4142	φ 1.6180	φ 1.6180
距離 3	-	√3 1.7321	-	(√2)×φ 2.2882	√(2+φ) 1.9021
距離 4	-	-	-	φ² 2.6180	-
距離 5	-	-	-	(√3)×φ 2.8025	-

です。距離1は辺の長さです。

φは黄金比で、φ²=φ+1を満たします。約1.6180です。

2点の選び方の数は、

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	3点 6本	3点 12本	4点 12本	3点 30本	5点 30本
距離 2	-	3点 12本	1点 3本	6点 60本	5点 30本
距離 3	-	1点 4本	-	6点 60本	1点 6本
距離 4	-	-	-	3点 30本	-
距離 5	-	-	-	1点 10本	-

です。

(ある頂点からその距離の頂点の数)×(頂点の数)÷2

で求められます。全ての距離の本数を足すと、

vC₂=v(v-1)/2 本になります(vは頂点の数)。

頂点の数は順に、4,8,6,20,12個

線の合計本数は順に、6,28,15,190,66本となります。

外接球の半径は、

・正4面体…(√6)/4~0.6124

・立方体…(√3)/2~0.8660

・正8面体…(√2)/2~0.7071

・正12面体…{(√3)/2}×φ~1.4013

・正20面体…(1/2)×√(2+φ)~0.9511

です。

☆頂点間の中心角

　頂点間の中心角は外接球の半径が等辺で2頂点間の距離が底辺である二等辺三角形の頂角です。

中心角およびその余弦は、(上：余弦、下：角度)

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	-1/3 109. 4712	1/3 70. 5288	0 90	(√5)/3 41. 8103	(√5)/5 63. 4349
距離 2	-	-1/3 109. 4712	-1 180	1/3 70. 5288	-(√5)/5 116. 5651
距離 3	-	-1 180	-	-1/3 109. 4712	-1 180
距離 4	-	-	-	-1/3 138. 1897	-
距離 5	-	-	-	-1 180	-

です。

切頂多面体の座標

　今回は多面体から切頂多面体を作っていきます。

　切頂多面体は多面体の頂点部分を少し切り落とすことで、

多面体の面(正3,4,3,5,3角形)を正2n角形(正6,8,6,10,6角形)にします。

　切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
正多面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
切頂多面体 　の面	正6角形 4枚	正8角形 6枚	正6角形 8枚	正10角形 12枚	正6角形 20枚
切頂多面体 の断面	正3角形 4枚	正3角形 8枚	正方形 6枚	正3角形 20枚	正5角形 12枚
切落とす長さ 　　残る長さ	1/3 1/3	1/(2+√2) (√2)/(2+√2)	1/3 1/3	1/(2+φ) φ/(2+φ)	1/3 1/3
拡大率	3倍	(1+√2)倍	3倍	√5倍	3倍

　切り落とす長さは正多面体の面の形で変わります。

　・正3角形…1/3

　・正方形…1/(2+√2)

　・正5角形…1/(2+φ)

　切り落とした残りの辺の長さが1になるように、

全体を拡大します。拡大率は、

　・正3角形…3倍

　・正方形…(1+√2)倍

　・正5角形…(√5)倍

です。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
正多面体 の外接球 の半径	(√6)/4	(√3)/2	1/(√2)	(3/2)×φ	(1/2)×√(2+φ)
正多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	1/(√2)	1/2	1/2
正多面体 の座標1	(1,1,1)	(±1,±1,±1)	-	(±φ,±φ,±φ)	-
正多面体 の座標2	(1,-1,-1)	-	(±1,0,0)	(0,±1,±φ²)	(0,±1,±φ)
正多面体 の座標3	(-1,1,-1)	-	(0,±1,0)	(±φ²,0,±1)	(±φ,0,±1)
正多面体 の座標4	(-1,-1,1)	-	(0,0,±1)	(±1,±φ²,0)	(±1,±φ,0)
切頂多面体 の外接球 の半径	(√22)/4 1.1726	(1/2)×√(7+4√2) 1.7788	(√10)/2 1.5811	(1/2)×√(15φ+11) 2.9694	(1/2)×√(9φ+10) 2.4780
切頂多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	(1/√2)	1/2	1/2
切頂多面体 の座標1	(3,±1,±1) 複号同順	(±1,±(1+√2),±(1+√2))	(0,±1,±2)	(0,±1,±(3φ+1))	(0,±1,±3φ)
切頂多面体 の座標2	(±1,3,±1) 複号同順	(±(1+√2),±1,±(1+√2))	(0,±2,±1)	(±(3φ+1),0,±1)	(±3φ,0,±1)
切頂多面体 の座標3	(±1,±1,3) 複号同順	(±(1+√2),±(1+√2),±1)	(±1,0,±2)	(±1,±(3φ+1),0)	(±1,±3φ,0)
切頂多面体 の座標4	(-3,±1,∓1) 複号同順	-	(±1,±2,0)	(±φ²,±2φ,±φ³)	(±φ,±2,±φ³)
切頂多面体 の座標5	(∓1,-3,±1) 複号同順	-	(±2,0,±1)	(±φ³,±φ²,±2φ)	(±φ³,±φ,±2)
切頂多面体 の座標6	(±1,∓1,-3) 複号同順	-	(±2,±1,0)	(±2φ,±φ³,±φ²)	(±2,±φ³,±φ)
切頂多面体 の座標7	-	-	-	(±1,±φ²,±2φ²)	(±2φ,±1,±(φ+2))
切頂多面体 の座標8	-	-	-	(±2φ²,±1,±φ²)	(±(φ+2),±2φ,±1)
切頂多面体 の座標9	-	-	-	(±φ²,±2φ²,±1)	(±1,±(φ+2),±2φ)

　切頂多面体の各頂点は同一球面上にあります。

外接球の半径を切頂多面体の頂点の座標から求めていきます。

　切頂多面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点を内分した点です。

　拡大率と内分する比は正多面体の面の形によって変わります。

　・正3角形…倍率3、内分比2:1

　・正4角形…倍率1+√2、内分比(1+√2):1

　・正5角形…倍率√5、内分比(φ+1):1

◯切頂4面体

　正4面体の隣合う2点の座標は、

全ての2点の組み合わせ6組ですが、

符号が揃う点を含む2点、含まない2点で分けて考えます。

・(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)

・(1/2√2)×(1,-1,-1)と(1/2√2)×(-1,1,-1)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂4面体の頂点の座標は、

・3×(1/3)×(1/2√2)×{2(1,1,1)+(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(3,1,1)

・3×(1/3)×(1/2√2)×{(1,1,1)+2(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(3,-1,-1)

で、(1/2√2)×(3,±1,±1) (複号同順)です。

・3×(1/3)×(1/2√2)×{2(1,-1,-1)+(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(1,-1,-3)

・3×(1/3)×(1/2√2)×{(1,-1,-1)+2(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(-1,1,-3)

で、(1/2√2)×(±1,∓1,-3) (複号同順)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2√2)×√(3²+1²+1²)

　=(√22)/4~1.1726

です。

◯切頂6面体

　正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、

1軸だけ符号が異なる2点です。

(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)

で、倍率1+√2、内分比(1+√2):1なので、

切頂6面体の頂点の座標は、

・(1+√2)×{1/(2+√2)}×(1/2)×{(1+√2)(1,1,1)+(-1,1,1)}

　=(1/2√2)×(√2, 2+√2, 2+√2)

　=(1/2)×(1, 1+√2, 1+√2)

・(1+√2)×{1/(2+√2)}×(1/2)×{(1,1,1)+(1+√2)(-1,1,1)}

　=(1/2√2)×(-√2, 2+√2, 2+√2)

　=(1/2)×(-1, 1+√2, 1+√2)

で、(1/2)×(±1, ±(1+√2),±(1+√2))です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(1+√2)²+(1+√2)²}

　=(1/2)×√(7+4√2)~1.7788

です。

◯切頂8面体

　正8面体の隣合う2点の座標は、

符号が異なる点(対蹠点)以外です。

(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂8面体の頂点の座標は、

・3×(1/3)×(1/√2)×{2(1,0,0)+(0,1,0)}

　=(1/√2)×(2,1,0)

・3×(1/3)×(1/√2)×{(1,0,0)+2(0,1,0)}

　=(1/√2)×(1,2,0)

で、(1/2√2)×(±1,±2,0)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(2²+1²+0²}

　=(√10)/2~1.5811

です。

◯切頂12面体

　正12面体は立方体の各面の外側に2点ずつ存在します。

　正12面体の隣合う2点の座標は、

・外側の2点

　(1/2)×(1,φ²,0)と(1/2)×(-1,φ²,0)

・立方体の頂点と外側の点

　(1/2)×(φ,φ,φ)と(1/2)×(0,1,φ²)

の2通りあります。

で、倍率√5、内分比(1+φ):1なので、

切頂12面体の頂点の座標は、

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1+φ)(1,φ²,0)+(-1,φ²,0)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(φ, (2+φ)φ² ,0)

　= {(√5)/(2×5)}×(3-φ)×(φ, (2+φ)(φ+1), 0)

　=(2φ-1)(3-φ)÷10×(φ, 4φ+3, 0)

　=(5φ-5)÷10×(φ, 4φ+3, 0)

　={(φ-1)/2}×(φ, 4φ+3, 0)

　前にある定数部分は(φ-1)/2=φ⁻¹/2です。

　=(1/2)×(φ(φ-1), (4φ+3)(φ-1), 0)

　=(1/2)×(1, 3φ+1, 0)

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1,φ²,0)+(1+φ)(-1,φ²,0)}

　=(φ⁻¹/2)×(-φ, (2+φ)φ² ,0)

　=(φ⁻¹/2)×(-φ, 4φ+3, 0)

　=(1/2)×(-1, (4φ+3)(φ-1), 0)

　=(1/2)×(-1, 3φ+1, 0)

で、(1/2)×(±1, ±(3φ+1), 0) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1+φ)(φ,φ,φ)+(0,1,φ²)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(φ³,φ³+1,φ⁴)

　= (φ⁻¹/2)×(φ³,φ³+1,φ⁴)

　=(1/2)×(φ², φ²+(φ-1), φ³)

　=(1/2)×(φ², 2φ, φ³)

で、(1/2)×(±φ², ±2φ, ±φ³) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(φ,φ,φ)+(1+φ)(0,1,φ²)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(φ, φ²+φ, φ⁴+φ)

　= (φ⁻¹/2)×(φ, φ²+φ, φ⁴+φ)

　=(1/2)×(1, φ+1, φ³+1)

　=(1/2)×(1, φ², 2φ²)

で、(1/2)×(±1, ±φ², ±2φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(3φ+1)²+0²}

　=(1/2)×√(15φ+11)~2.9694

です。

◯切頂20面体

　正20面体の隣合う2点の座標は、

・1の符号が異なる2点

　(1/2)×(1,φ,0)と(1/2)×(-1,φ,0)

・符号が揃う2点

　(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(φ,0,1)

の2通りあります。

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂20面体の頂点の座標は、

・3×(1/3)×(1/2)×{2(1,φ,0)+(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(1,3φ,0)

・3×(1/3)×(1/2)×{(1,φ,0)+2(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(-1,3φ,0)

で、(1/2)×(±1,±3φ,0) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・3×(1/3)×(1/2)×{2(0,1,φ)+(φ,0,1)}

　=(1/2)×(φ,2,φ³)

で、(1/2)×(±φ,±2,±φ³) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・3×(1/3)×(1/2)×{(0,1,φ)+2(φ,0,1)}

　=(1/2)×(±2φ,±1,±(φ+2))

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(3φ)²+0²}

　=(1/2)×√(9φ+10)~2.4780

です。

切頂多面体の頂点間の距離

　前回は切頂多面体の座標を求めました。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
切頂多面体 の外接球 の半径	(√22)/4 1.1726	(1/2)×√(7+4√2) 1.7788	(√10)/2 1.5811	(1/2)×√(15φ+11) 2.9694	(1/2)×√(9φ+10) 2.4780
切頂多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	(1/√2)	1/2	1/2
切頂多面体 の座標1	(3,±1,±1) 複号同順	(±1,±(1+√2),±(1+√2))	(0,±1,±2)	(0,±1,±(3φ+1))	(0,±1,±3φ)
切頂多面体 の座標2	(±1,3,±1) 複号同順	(±(1+√2),±1,±(1+√2))	(0,±2,±1)	(±(3φ+1),0,±1)	(±3φ,0,±1)
切頂多面体 の座標3	(±1,±1,3) 複号同順	(±(1+√2),±(1+√2),±1)	(±1,0,±2)	(±1,±(3φ+1),0)	(±1,±3φ,0)
切頂多面体 の座標4	(-3,±1,∓1) 複号同順	-	(±1,±2,0)	(±φ²,±2φ,±φ³)	(±φ,±2,±φ³)
切頂多面体 の座標5	(∓1,-3,±1) 複号同順	-	(±2,0,±1)	(±φ³,±φ²,±2φ)	(±φ³,±φ,±2)
切頂多面体 の座標6	(±1,∓1,-3) 複号同順	-	(±2,±1,0)	(±2φ,±φ³,±φ²)	(±2,±φ³,±φ)
切頂多面体 の座標7	-	-	-	(±1,±φ²,±2φ²)	(±2φ,±1,±(φ+2))
切頂多面体 の座標8	-	-	-	(±2φ²,±1,±φ²)	(±(φ+2),±2φ,±1)
切頂多面体 の座標9	-	-	-	(±φ²,±2φ²,±1)	(±1,±(φ+2),±2φ)

　今回は切頂多面体の各頂点間の距離を求めます。

・各頂点には多面体由来の辺1本と断面との辺2本の計3本の辺が集まります。

・切頂4面体以外は対蹠点が存在します。

　外接球の半径は対蹠点(最も遠い距離)の半分になります。

　円周角の定理から、2辺の距離の番号の和が対蹠点の番号ならば、

　距離の2乗和が対蹠点の距離の2乗になります。

　対応している長さの本数は同じです。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
切頂多面体 の外接球 の半径	(√22)/4 1.1726	(1/2)×√(7+4√2) 1.7788	(√10)/2 1.5811	(1/2)×√(15φ+11) 2.9694	(1/2)×√(9φ+10) 2.4780
距離01	1 3本	1 3本	1 3本	1 3本	1 3本
距離02	√3 1.7321 4本	√(2+√2) 1.8478 4本	√2 1.4142 1本	√(φ+2) 1.9021 4本	φ 1.6180 2本
距離03	2 4本	1+√2 2.4142 4本	√3 1.7321 4本	φ² 2.6180 4本	√3 1.7321 4本
距離04	√5 2.2361 4本	√(4+2√2) 2.6131 4本	2 2本	(√3)×φ 2.8025 2本	2 2本
距離05	-	√(5+3√2) 3.0402 4本	√5 2.2361 2本	√(4φ+3) 3.0777 4本	√(2φ+3) 2.4972 4本
距離06	-	2+√2 3.4142 3本	√6 2.4495 2本	2φ 3.2361 2本	√(φ+5) 2.5726 2本
距離07	-	√(7+4√2) 3.5576 1本	√7 2.6458 4本	√(5φ+4) 3.4771 4本	√(2φ+5) 2.8699 4本
距離08	-	-	2√2 2.8284 1本	√(6φ+5) 3.8351 4本	2φ 3.2361 2本
距離09	-	-	3 3本	√(7φ+6) 4.1625 2本	√(4φ+5) 3.3871 6本
距離10	-	-	√10 3.1623 1本	φ³ 4.2361 2本	(√5)×φ 3.6180 6本
距離11	-	-	-	(√3)×φ² 4.5346 4本	√(5φ+6) 3.7537 2本
距離12	-	-	-	√(10φ+7) 4.8146 2本	√(7φ+5) 4.0406 4本
距離13	-	-	-	√(11φ+7) 4.9798 2本	φ³ 4.2361 2本
距離14	-	-	-	√(11φ+8) 5.0792 4本	(√7)×φ 4.2809 4本
距離15	-	-	-	2φ² 5.2361 2本	(√3)×φ² 4.5346 2本
距離16	-	-	-	(√3)×√(4φ+3) 5.3307 4本	√(9φ+7) 4.6435 4本
距離17	-	-	-	√(14φ+9) 5.6261 4本	√(8φ+9) 4.6845 2本
距離18	-	-	-	(√5)×φ² 5.8541 3本	3φ 4.8541 3本
距離19	-	-	-	√(15φ+11) 5.9389 1本	√(9φ+10) 4.9560 1本

次回は中心角について扱います。

切頂4面体

切頂6面体

切頂8面体

切頂12面体

切頂20面体

〇・△面体の座標

　今回は多面体から〇・△面体を作っていきます。

　〇・△面体は多面体の頂点部分を辺の中点まで切り落とすと、

多面体の面(正3,4,3,5,3角形)は形を変えずに向きだけが変わります。

　切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。

〇・△面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
正多面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
〇・△面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
〇・△面体 の断面	正3角形 4枚	正3角形 8枚	正方形 6枚	正3角形 20枚	正5角形 12枚
〇・△面体	正8面体	立方8面体	立方8面体	12・20面体	12・20面体
辺の長さ	1/2	(√2)/2	1/2	φ/2	1/2

　座標と外接球の半径

〇・△面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
正多面体 の外接球 の半径	(√6)/4	(√3)/2	1/(√2)	(3/2)×φ	(1/2)×√(2+φ)
正多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	1/(√2)	1/2	1/2
正多面体 の座標1	(1,1,1)	(±1,±1,±1)	-	(±φ,±φ,±φ)	-
正多面体 の座標2	(1,-1,-1)	-	(±1,0,0)	(0,±1,±φ²)	(0,±1,±φ)
正多面体 の座標3	(-1,1,-1)	-	(0,±1,0)	(±φ²,0,±1)	(±φ,0,±1)
正多面体 の座標4	(-1,-1,1)	-	(0,0,±1)	(±1,±φ²,0)	(±1,±φ,0)
◯・△面体 の外接球 の半径	1/√2 0.7071	1	1	φ 1.6180	φ 1.6180
◯・△面体 の係数	1/√2	1/√2	1/√2	1/2	1/2
◯・△面体 の座標1	(±1,0,0)	(0,±1,±1)	(0,±1,±1)	(±2φ,0,0)	(±2φ,0,0)
◯・△面体 の座標2	(0,±1,0)	(±1,0,±1)	(±1,0,±1)	(0,±2φ,0)	(0,±2φ,0)
◯・△面体 の座標3	(0,0,±1)	(±1,±1,0)	(±1,±1,0)	(0,0,±2φ)	(0,0,±2φ)
◯・△面体 の座標4	-	-	-	(±1,±φ,±φ²)	(±1,±φ,±φ²)
◯・△面体 の座標5	-	-	-	(±φ²,±1,±φ)	(±φ²,±1,±φ)
◯・△面体 の座標6	-	-	-	(±φ,±φ²,±1)	(±φ,±φ²,±1)

　〇・△面体の各頂点は同一球面上にあります。

外接球の半径を〇・△面体の頂点の座標から求めていきます。

　〇・△面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点の中点です。

　拡大率は正多面体の面の形によって変わります。

　・正3角形…倍率2

　・正4角形…倍率2/(√2)=√2

　・正5角形…倍率2/φ=2(φ-1)

☆正4面体

　正4面体の隣合う2点の座標は、

全ての2点の組み合わせである6組ですが、

符号が揃う点を含む2点、含まない2点で分けて考えます。

・(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)

・(1/2√2)×(1,-1,-1)と(1/2√2)×(-1,1,-1)

で、倍率2なので、

正8面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/2√2)×{(1,1,1)+(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(2,0,0)

　=(1/√2)×(1,0,0)

・2×(1/2)×(1/2√2)×{(1,-1,-1)+(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(0,0,-2)

　=(1/√2)×(0,0,-1)

で、(1/√2)×(±1,0,0) (複号同順)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(1²+0²+0²)

　=1/√2~0.7071

です。

☆正6面体

　正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、

1軸だけ符号が異なる2点です。

(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)

で、倍率√2なので、

立方8面体の頂点の座標は、

・(√2)×(1/2)×(1/2)×{(1,1,1)+(-1,1,1)}

　={(√2)/4}×(0, 2, 2)

　={(√2)/2}×(0, 1, 1)

で、{(√2)/2}×(0, ±1,±1)です。

よって、外接球の半径は、

　{(√2)/2}×√{0²+1²+1²}

　=1

です。

☆正8面体

　正8面体の隣合う2点の座標は、

符号が異なる点(対蹠点)以外です。

(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)

で、倍率2なので、

立方8面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/√2)×{(1,0,0)+(0,1,0)}

　=(1/√2)×(1,1,0)

で、(1/√2)×(1,1,0)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(1²+1²+0²}

　=1

です。

☆正12面体

　正12面体は立方体の各面の外側に2点ずつ存在します。

　正12面体の隣合う2点の座標は、

・外側の2点

　(1/2)×(1,φ²,0)と(1/2)×(-1,φ²,0)

・立方体の頂点と外側の点

　(1/2)×(φ,φ,φ)と(1/2)×(0,1,φ²)

の2通りあります。

倍率2(φ-1)なので、

12・20面体の頂点の座標は、

・{2(φ-1)}×(1/2)×(1/2)×{(1,φ²,0)+(-1,φ²,0)}

　={(φ-1)/2}×(0,2φ²,0)

　=(φ-1)×(0,φ²,0)

　=(0,φ,0)

で、(0, ±φ, 0)です。

・{2(φ-1)}×(1/2)×(1/2)×{(φ,φ,φ)+(0,1,φ²)}

　={(φ-1)/2}×(φ,φ+1,φ²+φ)

　={(φ-1)/2}×(φ,φ²,φ³)

　=(1/2)×(1,φ,φ²)

で、(1/2)×(±1,±φ,±φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+φ²+(φ²)²}

　=φ~1.6180

です。

☆正20面体

　正20面体の隣合う2点の座標は、

・1の符号が異なる2点

　(1/2)×(1,φ,0)と(1/2)×(-1,φ,0)

・符号が揃う2点

　(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(φ,0,1)

の2通りあります。

倍率2なので、

12・20面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/2)×{(1,φ,0)+(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(0,2φ,0)

　=(0,φ,0)

で、(0,±φ,0)です。

・2×(1/2)×(1/2)×{(0,1,φ)+(φ,0,1)}

　=(1/2)×(φ,1,φ+1)

　=(1/2)×(φ,1,φ²)

で、(1/2)×(±φ,±1,±φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{φ²+1²+(φ²)²}

　=φ~1.6180

です。

〇・△面体の頂点間の中心角

　今回は〇・△面体の各頂点間の中心角を求めます。

・〇・△面体の頂点の数は正多面体の辺の数(12,30点)です。

・〇・△面体の面の数は2種類の正多面体の面の数の和(14,32枚)です。

・〇・△面体の辺の数は2種類の正多面体の辺の数の和(24,60本)です。

　なお、正〇面体・正△面体の辺の数は同じです。

・各頂点には正〇面体由来の辺2本と正△面体由来の辺2本の

　計4本の辺が集まります。

　なお、正〇面体由来の辺2本と正△面体由来の辺2本は交互に並びます。

・各頂点には正〇面体由来の面2枚と正△面体由来の面2枚の

　計4枚の面が集まります。

　なお、正〇面体由来の面2枚と正△面体由来の面2枚は交互に並びます。

・〇・△面体は対蹠点が存在します。

　外接球の半径は対蹠点(最も遠い距離)の半分になります。

　円周角の定理から、2辺の距離の番号の和が対蹠点の番号ならば、

　距離の2乗和が対蹠点の距離の2乗になります。

　対応している長さの本数は同じです。

〇・△面体	立方8面体	20・12面体
切頂多面体 の外接球 の半径	1	φ １.6180
距離01	1 4本 Cos⁻¹(1/2) 60	１ 4本 Cos⁻¹(φ/2) 36
距離02	√2 1.4142 2本 Cos⁻¹(0) 90	φ １.6180 4本 Cos⁻¹(1/2) 60
距離03	√3 1.7321 4本 Cos⁻¹(-1/2) 120	√(φ+2) 1.9021 4本 Cos⁻¹(φ⁻¹/2) 72
距離04	2 １本 Cos⁻¹(-1) 180	(√2)×φ 2.6131 4本 Cos⁻¹(0) 90
距離05	-	φ² 2.6180 4本 Cos⁻¹(-φ⁻¹/2) 108
距離06	-	(√3)×φ 2.8025 4本 Cos⁻¹(-1/2) 120
距離07	-	√(4φ+3) 2.4972 4本 Cos⁻¹(-φ/2) 144
距離08	-	2φ 3.2361 2本 Cos⁻¹(-1) 180

中心角はキリのいい角度になりました。

切頂多面体の頂点間の中心角

　今回は切頂多面体の各頂点間の中心角を求めます。

・各頂点には多面体由来の辺1本と断面との辺2本の計3本の辺が集まります。

・切頂4面体以外は対蹠点が存在します。

　外接球の半径は対蹠点(最も遠い距離)の半分になります。

　円周角の定理から、2辺の距離の番号の和が対蹠点の番号ならば、

　距離の2乗和が対蹠点の距離の2乗になります。

　対応している長さの本数は同じです。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
切頂多面体 の外接球 の半径	(√22)/4 1.1726	(1/2)×√(7+4√2) 1.7788	(√10)/2 1.5811	(1/2)×√(15φ+11) 2.9694	(1/2)×√(9φ+10) 2.4780
距離01	1 3本 Cos⁻¹(7/11) 50.4788	１ 3本 Cos⁻¹((3+8√2)/17) 32.6499	1 3本 Cos⁻¹(4/5) 36.8699	1 3本 Cos⁻¹((30φ+9)/61) 19.3874	1 3本 Cos⁻¹((18φ+71)/109) 23.2814
距離02	√3 1.7321 4本 Cos⁻¹(-1/11) 95.2159	√(2+√2) 1.8478 4本 Cos⁻¹((5+2√2)/17) 62.5809	√2 1.4142 1本 Cos⁻¹(3/5) 53.1301	√(φ+2) 1.9021 4本 Cos⁻¹((38φ-13)/61) 37.3598	φ 1.6180 2本 Cos⁻¹((-2φ+89)/109) 38.1102
距離03	2 4本 Cos⁻¹(-5/11) 117.0357	1+√2 2.4142 4本 Cos⁻¹((7-4√2)/17) 85.4684	√3 1.7321 4本 Cos⁻¹(2/5) 66.4218	φ² 2.6180 4本 Cos⁻¹((-6φ+47)/61) 52.3135	√3 1.7321 4本 Cos⁻¹((54φ-5)/109) 40.9114
距離04	√5 2.2361 4本 Cos⁻¹(-9/11) 144.9032	√(4+2√2) 2.6131 4本 Cos⁻¹((-7+4√2)/17) 94.5316	2 2本 Cos⁻¹(1/5) 78.4630	(√3)×φ 2.8025 2本 Cos⁻¹((24φ-5)/61) 56.3143	2 2本 Cos⁻¹((72φ-43)/109) 47.6004
距離05	-	√(5+3√2) 3.0402 4本 Cos⁻¹((-5-2√2)/17) 117.4191	√5 2.2361 2本 Cos⁻¹(0) 90	√(4φ+3) 3.0777 4本 Cos⁻¹((2φ+25)/61) 62.4265	√(2φ+3) 2.4972 4本 Cos⁻¹((14φ+31)/109) 60.5131
距離06	-	2+√2 3.4142 3本 Cos⁻¹((-3-8√2)/17) 147.3501	√6 2.4495 2本 Cos⁻¹(-1/5) 101.5370	2φ 3.2361 2本 Cos⁻¹((32φ-27)/61) 66.0348	√(φ+5) 2.5726 2本 Cos⁻¹((70φ-63)/109) 62.5404
距離07	-	√(7+4√2) 3.5576 1本 Cos⁻¹(-1) 180	√7 2.6458 4本 Cos⁻¹(-2/5) 113.5782	√(5φ+4) 3.4771 4本 Cos⁻¹((10φ+3)/61)	√(2φ+5) 2.8699 4本 Cos⁻¹((50φ-45)/109) 70.7693
距離08	-	-	2√2 2.8284 1本 Cos⁻¹(-3/5) 126.8699	√(6φ+5) 3.8351 4本 Cos⁻¹((18φ-19)/61) 71.6735	2φ 3.2361 2本 Cos⁻¹((-8φ+29)/109) 81.5295
距離09	-	-	3 3本 Cos⁻¹(-4/5) 143.1301	√(7φ+6) 4.1625 2本 Cos⁻¹((26φ-41)/61) 88.9960	√(4φ+5) 3.3871 6本 Cos⁻¹((10φ-9)/109) 86.2229
距離10	-	-	√10 3.1623 1本 Cos⁻¹(-1) 180	φ³ 4.2361 2本 Cos⁻¹((-26φ+41)/61) 91.0040	(√5)×φ 3.6180 6本 Cos⁻¹((-10φ+9)/109) 93.7771
距離11	-	-	-	(√3)×φ² 4.5346 4本 Cos⁻¹((-18φ+19)/61) 99.5540	√(5φ+6) 3.7537 2本 Cos⁻¹((8φ-29)/109) 98.4705
距離12	-	-	-	√(10φ+7) 4.8146 2本 Cos⁻¹((-10φ-3)/61) 108.3265	√(7φ+5) 4.0406 4本 Cos⁻¹((-50φ+45)/109) 109.2307
距離13	-	-	-	√(11φ+7) 4.9798 2本 Cos⁻¹((-32φ+27)/61) 113.9652	φ³ 4.2361 2本 Cos⁻¹((-70φ+63)/109) 117.4596
距離14	-	-	-	√(11φ+8) 5.0792 4本 Cos⁻¹((-2φ-25)/61) 117.5735	(√7)×φ 4.2809 4本 Cos⁻¹((-14φ-31)/109) 119.4869
距離15	-	-	-	2φ² 5.2361 2本 Cos⁻¹((-24φ+5)/61) 123.6857	(√3)×φ² 4.5346 2本 Cos⁻¹((-72φ+43)/109) 132.3996
距離16	-	-	-	(√3)×√(4φ+3) 5.3307 4本 Cos⁻¹((6φ-47)/61) 127.6865	√(9φ+7) 4.6435 4本 Cos⁻¹((-54φ+5)/109) 139.0886
距離17	-	-	-	√(14φ+9) 5.6261 4本 Cos⁻¹((-38φ+13)/61) 142.6402	√(8φ+9) 4.6845 2本 Cos⁻¹((2φ-89)/109) 141.8898
距離18	-	-	-	(√5)×φ² 5.8541 3本 Cos⁻¹((-30φ-9)/61) 160.6125	3φ 4.8541 3本 Cos⁻¹((-18φ-71)/109) 156.7186
距離19	-	-	-	√(15φ+11) 5.9389 1本 Cos⁻¹(-1) 180	√(9φ+10) 4.9560 1本 Cos⁻¹(-1) 180

切頂多面体と立方8面体、20,12面体

　前回は多面体から切頂多面体を作りました。

　今回は切り落とす量を大きくするとどのような立体ができるか考えていきます。

切断量 立体の名称 辺の長さ	正4面体	正6面体 (立方体)	正8面体	正12面体	正20面体
切頂〇面体	1/3 0.3333 切頂4面体 1/3 0.3333	(2-√2)/2 0.2929 切頂6面体 -1+√2 0.4142	1/3 0.3333 切頂8面体 1/3 0.3333	(3-φ)/5 0.2764 切頂12面体 (2φ-1)/5 0.4772	1/3 0.3333 切頂20面体 1/3 0.3333
〇・△面体 (1/2切頂)	1/2 0.5 正8面体 1/2 0.5	1/2 0.5 立方8面体 (√2)/2 0.7071	1/2 0.5 立方8面体 1/2 0.5	1/2 0.5 12・20面体 φ/2 0.8090	1/2 0.5 12・20面体 1/2 0.5
切頂△面体	3/5 0.6 切頂4面体 1/5 0.2	3/4 0.75 切頂8面体 (√2)/4 0.3536	2-√2 0.5858 切頂6面体 -4+3√2 0.2426	3(φ+4)/19 0.8871 切頂20面体 (5φ+1)/19 0.4784	(8-φ)/11 0.5802 切頂12面体 (3φ-2)/11 0.2595
正△面体 (面の重心)	2/3 0.6667 正4面体 1/3 0.3333	1 1 正8面体 (√2)/2 0.7071	2/3 0.6667 立方体 (√2)/3 0.4714	2(2+φ)/5 1.4772 正20面体 (3φ+1)/5 1.1708	2/3 0.6667 正12面体 φ/3 0.5393
消滅 (立体の重心)	3/4 0.75	3/2 1.5	1 1	(3/2)×φ² 3.9271	(2+φ)/2 1.8090

☆立方8面体の体積

　辺の長さ1/2の立方8面体は正8面体から辺の長さ1/2の正4角錐6個を切り落とした立体です。

辺の長さ1の正4角錐の体積は(√2)/6なので、

立方8面体の体積は、

　({(√2)/3} - 6×{(√2)/6}×(1/2)³)÷(1/2)³

　=(5√2)/3です。

☆12・20面体の体積

　辺の長さ1/2の12・20面体は正20面体から辺の長さ1/2の正5角錐12個を切り落とした立体です。

辺の長さ1の正5角錐の体積は(φ+2)/12なので、

12・20面体の体積は、

　({(5/6)×φ²} - 12×{(φ+2)/12}×(1/2)³)÷(1/2)³

　=(17φ+14)/3です。

◯立方体

　立方体の頂点を1/(2+√2)=(1/2)×(2-√2)切り落とすと切頂6面体になりました。

この値は斜め45°の辺が縦=横の√2倍になるからです。

　この付近の立体は、1辺が切り落とす量tの√2倍の正3角形の断面8枚と、

tの√2倍の4辺および1からtを両端ぶん引いた4辺でできる8角形6枚からできる立体です。

8角形は斜め45°の長さt√2の辺と縦・横の長さ(1-2t)の辺でできています。

　この2つの長さが揃うときが切頂6面体です。

　次に1-2tが0になるとき、t=1/2について考えます。

　このとき、断面は1辺がt√2=(√2)/2の正3角形8枚で、

正面は縦・横の辺が消えて、斜め45°のt√2=(√2)/2の4辺が残ります。

正面の形状は正方形ですが、斜め45°の向きです。枚数は6枚です。

　この立体は立方8面体と呼ばれます。

立方8面体は立方体の正方形6枚と正8面体の正3角形8枚で作られる立体です。

また、後述の通り正8面体の頂点を半分切り落とすことでも出現します。

　次にtが1/2より大きいときについて考えます。

正面の斜め45°の正方形がどんどん小さくなっていきます。

具体的には、正方形が消えるときが対角線で切り落としたとき(t=1)なので、

斜め45°の正方形の辺の長さは(1-t)√2です。

　断面については、正3角形の断面は隣の頂点のものと交差してしまいます。

実際の断面は正3角形を交差するところで切り落とした形(内角が全て120°の6角形)になります。

　断面の長さについては、まず、どの正面についても同じ形です。よって正面の方の辺は(1-t)√2です。

　正面の辺と断面の頂点までの距離は、t=1/2のときは0で、t=1のときが1/2なのでt-(1/2)です。

　よって、隣の正面の頂点との距離は、{t-(1/2)}√2であり、断面の他方の長さです。

　6角形の辺の長さ、(1-t)√2と{t-(1/2)}√2が等しいとき(t=3/4)、6角形の断面は正6角形になります。

断面が8枚の正6角形、正面が6枚の正方形なので、この立体は切頂8面体になります。

　正面の部分が無くなるところ(t=1)では、各面の中心を結んだ立体である正8面体になります。

正8面体の辺の長さは(√2)/2です。

　tがさらに大きくなると正8面体が小さくなり、t=3/2のときに消えて無くなります。

◯正8面体

　正8面体の頂点をtだけ切り落とすと、

断面は1辺がtの正方形、正面は長さt、1-2tで内角が120°の6角形になります。

　6角形の辺の長さ(t、1-2t)が等しい(t=1/3)とき、切頂8面体になります。

　6角形の辺の長さの一方の1-2tが0(t=1/2)のとき、

正面は長さ1/2の正3角形になります。向きは元の面と反対です。

断面は1辺1/2の正方形6枚で、正面は正3角形8枚なので、この立体は立方8面体です。

　tが1/2より大きいとき、正面は逆さの正3角形になります。

この逆さの正3角形が無くなるときは、切断する線が重心を通るとき(t=2/3)です。

よって正面の逆さの正3角形の辺の長さは2-3tです。

　断面は正方形の4隅を切り落とした形である、角の大きさが全て135°の8角形です。

断面の正面側の辺の長さは2-3tです。

　断面は元が正方形なので、他方の長さは端の長さの√2倍です。

正面の切断する線の長さはtで逆さの正3角形の辺の長さは2-3tです。

よって両端の部分の長さは、{t-(2-3t)}/2=2t-1となります。

したがって、他方の辺の長さは(2t-1)√2です。

　これらの辺の長さ(2-3t、(2t-1)√2)が等しいときのtの値は、

2-3t=(2t-1)√2

-(3+2√2)t=-(2+√2)

t=(2+√2)/(3+2√2)=(2+√2)(3-2√2)=2-√2

です。このときの辺の長さは-4+3√2です。この立体は切頂6面体です。

　正面(辺の長さ2-3tの正3角形)が消えるとき(t=2/3)、

この立体は立方体になります。辺の長さは(t/2)×√2=(√2)/3です。

　tがさらに大きくなると立方体は小さくなり、t=1のときに消えて無くなります。

◯正20面体

　正20面体の頂点をtだけ切り落とすと、断面は1辺がtの正5角形です。

正面は長さt、1-2tで内角が120°の6角形になります。

　6角形の辺の長さ(t、1-2t)が等しい(t=1/3)とき、切頂20面体になります。

　6角形の辺の長さの一方である1-2tが0になるとき(t=1/2)は、

辺の長さが1/2の20・12面体になります。正3角形20枚と正5角形12枚です。

　tが1/2より大きいとき、断面の正5角形の角が干渉するので、

断面は正5角形の角を切り落とした、全ての角が144°の10角形です。

　正面は逆向きの1辺2-3tの正3角形です。

　正5角形の頂角は108°であり、頂角108°の二等辺三角形の底辺の長さは等辺のφ倍です。

両端の長さは2t-1なので、10角形の辺の長さは(2t-1)φ、(2-3t)です。

　10角形の辺の長さ(2t-1)φ、(2-3t)が等しいときのtの値は、

(2t-1)φ=2-3t

(2φ+3)t=2+φ

t=(2+φ)/(2φ+3)=(2+φ)(-2φ+5)/11

t=(-2φ²+φ+10)/11=(8-φ)/11

　となり、1辺の長さが(3φ-2)/11の切頂12面体になります。

　正面(辺の長さ2-3tの正3角形)が消えるとき(t=2/3)、

この立体は正12面体になります。辺の長さは(t/2)×φ=φ/3です。

　tがさらに大きくなると正12面体は小さくなり、立体が消えて無くなるのは、

tが、20面体の外接球半径の正5角錐の高さに対する比、

{(1/2)×√(2+φ)}/({(√5)/5}×{√(3-φ)})=(1/2)×(2+φ)

になる時です。

◯正12面体

　正12面体の頂点をtだけ切り落とすと、断面は辺の長さがφtの正3角形です。

正面は長さt、1-2tで内角が120°の6角形になります。

正面は長さφt、1-2tで内角が144°の10角形になります。

　10角形の辺の長さ(φt、1-2t)が等しいときのtの値は、

φt=1-2t

(2+φ)t=1

t=1/(2+φ)=(3-φ)/5です。

この時の立体は、1辺の長さが(2φ-1)/5の切頂12面体です。

　10角形の辺の長さの一方である1-2tが0になるとき(t=1/2)は、

辺の長さが1/2の20・12面体になります。正3角形20枚と正5角形12枚です。

　tが1/2より大きいとき、正面は逆さの正5角形になります。

逆さの正5角形の辺の長さは断面の線の長さからを両端の長さを引いたものです。

断面の線の長さはφtです。両端の部分は頂角108°の二等辺三角形の等辺です。

二等辺三角形の底辺の長さは重なった部分なので2t-1です。

よって両端の長さは(2t-1)φ⁻¹です。

したがって、逆さの正5角形の辺の長さは、

φt-2×(2t-1)(φ-1)=(4-3φ)t+2φ-2です。

　断面は6角形で辺の長さは(4-3φ)t+2φ-2、(2t-1)(φ-1)です。

　6角形の辺の長さ(4-3φ)t+2φ-2、(2t-1)(φ-1)が等しいときのtの値は、

(4-3φ)t+2φ-2=(2t-1)(φ-1)

(6-5φ)t=3-3φ

t=(3-3φ)/(6-5φ)=(3-3φ)(5φ+1)/(-19)

t=3(φ+4)/19です。

このときの立体は辺の長さが(5φ+1)/19の切頂20面体です。

　正面(辺の長さ(4-3φ)t+2φ-2の正5角形)が消えるときのtの値は、

(4-3φ)t+2φ-2=0

t=(-2φ+2)/(4-3φ)=(-2φ+2)(3φ+1)/(-5)

t=2(2+φ)/5です。

このとき、立体は正20面体で辺の長さはφt/2=(3φ+1)/5です。

　tがさらに大きくなると正20面体は小さくなり、立体が消えて無くなるのは、

tが、12面体の外接球半径の三角錐(頂角108°)の高さに対する比、

{(1/2)×φ√3}/({(√3)/3}×φ⁻¹)=(3/2)×φ²

になる時です。

◯正4面体

　正4面体の頂点をtだけ切り落とすと、

断面は1辺がtの正3角形です。

正面は長さt、1-2tで内角が120°の6角形になります。

　6角形の辺の長さ(t、1-2t)が等しい(t=1/3)とき、切頂4面体になります。

　6角形の辺の長さの一方である1-2tが0になるとき(t=1/2)は、

辺の長さ1/2の4・4面体、つまり正8面体になります。

　tが1/2より大きいとき、

断面の正3角形の角が干渉するので、

　断面は正3角形の角を切り落とした、全ての角が120°の6角形です。

　正面は逆向きの1辺2-3tの正3角形です。

　正3角形の頂角は60°であり、頂角60°の二等辺三角形の底辺の長さは等辺と等しいです。

　両端の長さは2t-1なので、6角形の辺の長さは2t-1、2-3tです。

　6角形の辺の長さ2t-1、2-3tが等しいときのtの値は、

t=3/5となり、1辺の長さが1/5の切頂4面体になります。

　正面(辺の長さ2-3tの正3角形)が消えるとき(t=2/3)、

この立体は正4面体になります。辺の長さはt/2=1/3です。

　tがさらに大きくなると正4面体は小さくなり、

立体が消えて無くなるのは、正4面体の重心を通るときで、t=3/4です。

正多面体 合成抵抗 外接球補正

　5種類の正多面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めました。

『正多面体 合成抵抗 まとめ+概論』

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	1/2	7/12	5/12	19/30	11/30
距離 2	-	3/4	1/2	9/10	7/15
距離 3	-	5/6	-	16/15	1/2
距離 4	-	-	-	17/15	-
距離 5	-	-	-	7/6	-

分母を60とした時は、

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	30	35	25	38	22
距離 2	-	45	30	54	28
距離 3	-	50	-	64	30
距離 4	-	-	-	68	-
距離 5	-	-	-	70	-

です。

　正多面体を含めた球に内接する立体の特徴を比較する時は、

辺の長さを揃えるより外接球の半径を揃える方がよいかもしれません。

　正多面体の外接球の半径は、

・正4面体…(√6)/4~0.6124

・立方体…(√3)/2~0.8660

・正8面体…(√2)/2~0.7071

・正12面体…{(√3)/2}×φ~1.4013

・正20面体…(1/2)×√(2+φ)~0.9511

です。

　外接球の半径を1になるようにすると、

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	(1/3)×√6 0.8165	(7/18)×√3 0.6736	(5/12)×√2 0.5893	19φ⁻¹(√3)/45 0.4520	11(√{5(3-φ)})/75 0.3855
距離 2	-	(1/2)×√3 0.8660	(1/2)×√2 0.7071	3φ⁻¹(√3)/5 0.6423	14(√{5(3-φ)})/75 0.4907
距離 3	-	(5/9)×√3 0.9623	-	32φ⁻¹(√3)/45 0.7612	(√{5(3-φ)})/5 0.5257
距離 4	-	-	-	34φ⁻¹(√3)/45 0.8088	-
距離 5	-	-	-	7φ⁻¹(√3)/9 0.8326	-

　次に、使用する導体の量を揃えるために辺の長さと本数のぶんだけ細くします。

抵抗は細さに比例するので、

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	8	28/3 9.3333	10	76φ⁻²/3 9.6765	44(3-φ)/5 12.1613
距離 2	-	12	12	36φ⁻² 13.7508	56(3-φ)/5 15.4780
距離 3	-	40/3 13.3333	-	128φ⁻²/3 16.2972	12(3-φ) 16.5836
距離 4	-	-	-	136φ⁻²/3 17.3158	-
距離 5	-	-	-	140φ⁻²/3 17.8251	-

　中心角およびその余弦は、(上：余弦、下：角度)

距離・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
距離 1	-1/3 109. 4712	1/3 70. 5288	0 90	(√5)/3 41. 8103	(√5)/5 63. 4349
距離 2	-	-1/3 109. 4712	-1 180	1/3 70. 5288	-(√5)/5 116. 5651
距離 3	-	-1 180	-	-1/3 109. 4712	-1 180
距離 4	-	-	-	-1/3 138. 1897	-
距離 5	-	-	-	-1 180	-

なので、中心角と抵抗は、

となりました。

〇・△面体(立方8面体、12・20面体)の座標と外接球

　今回は多面体から〇・△面体(立方8面体、12・20面体)を作っていきます。

　〇・△面体は多面体の頂点部分を辺の中点まで切り落とすと、

多面体の面(正3,4,3,5,3角形)は形を変えずに向きだけが変わります。

　切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。

☆〇・△面体の特徴量

〇・△面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
正多面体 の　面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
〇・△面体 の　面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
〇・△面体 の断面	正3角形 4枚	正3角形 8枚	正方形 6枚	正3角形 20枚	正5角形 12枚
〇・△面体	正8面体	立方8面体	立方8面体	12・20面体	12・20面体
辺の長さ	1/2	(√2)/2	1/2	φ/2	1/2

☆座標と外接球の半径

〇・△面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
正多面体 の外接球 の半径	(√6)/4	(√3)/2	1/(√2)	(3/2)×φ	(1/2)×√(2+φ)
正多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	1/(√2)	1/2	1/2
正多面体 の座標1	(1,1,1)	(±1,±1,±1)	-	(±φ,±φ,±φ)	-
正多面体 の座標2	(1,-1,-1)	-	(±1,0,0)	(0,±1,±φ²)	(0,±1,±φ)
正多面体 の座標3	(-1,1,-1)	-	(0,±1,0)	(±φ²,0,±1)	(±φ,0,±1)
正多面体 の座標4	(-1,-1,1)	-	(0,0,±1)	(±1,±φ²,0)	(±1,±φ,0)
切頂多面体 の外接球 の半径	1/√2 0.7071	1	1	φ 1.6180	φ 1.6180
切頂多面体 の係数	1/√2	1/√2	1/√2	1/2	1/2
〇・△面体 の座標1	(±1,0,0)	(0,±1,±1)	(0,±1,±1)	(±2φ,0,0)	(±2φ,0,0)
〇・△面体 の座標2	(0,±1,0)	(±1,0,±1)	(±1,0,±1)	(0,±2φ,0)	(0,±2φ,0)
〇・△面体 の座標3	(0,0,±1)	(±1,±1,0)	(±1,±1,0)	(0,0,±2φ)	(0,0,±2φ)
〇・△面体 の座標4	-	-	-	(±1,±φ,±φ²)	(±1,±φ,±φ²)
〇・△面体 の座標5	-	-	-	(±φ²,±1,±φ)	(±φ²,±1,±φ)
〇・△面体 の座標6	-	-	-	(±φ,±φ²,±1)	(±φ,±φ²,±1)

　〇・△面体の各頂点は同一球面上にあります。

外接球の半径を〇・△面体の頂点の座標から求めていきます。

　〇・△面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点の中点です。

　拡大率は正多面体の面の形によって変わります。

　・正3角形…倍率2

　・正4角形…倍率2/(√2)=√2

　・正5角形…倍率2/φ=2(φ-1)

☆正4面体

　正4面体の隣合う2点の座標は、

全ての2点の組み合わせ6組ですが、

符号が揃う点を含む2点、含まない2点で分けて考えます。

・(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)

・(1/2√2)×(1,-1,-1)と(1/2√2)×(-1,1,-1)

で、倍率2なので、

正8面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/2√2)×{(1,1,1)+(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(2,0,0)

　=(1/√2)×(1,0,0)

・2×(1/2)×(1/2√2)×{(1,-1,-1)+(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(0,0,-2)

　=(1/√2)×(0,0,-1)

で、(1/√2)×(±1,0,0) (複号同順)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(1²+0²+0²)

　=1/√2~0.7071

です。

☆正6面体(立方体)

　正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、

1軸だけ符号が異なる2点です。

(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)

で、倍率√2なので、

立方8面体の頂点の座標は、

・(√2)×(1/2)×(1/2)×{(1,1,1)+(-1,1,1)}

　={(√2)/4}×(0, 2, 2)

　={(√2)/2}×(0, 1, 1)

で、{(√2)/2}×(0, ±1,±1)です。

よって、外接球の半径は、

　{(√2)/2}×√{0²+1²+1²}

　=1

です。

☆正8面体

　正8面体の隣合う2点の座標は、

符号が異なる点(対蹠点)以外です。

(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)

で、倍率2なので、

立方8面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/√2)×{(1,0,0)+(0,1,0)}

　=(1/√2)×(1,1,0)

で、(1/√2)×(1,1,0)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(1²+1²+0²}

　=1

です。

☆正12面体

　正12面体は立方体の各面の外側に2点ずつ存在します。

　正12面体の隣合う2点の座標は、

・外側の2点

　(1/2)×(1,φ²,0)と(1/2)×(-1,φ²,0)

・立方体の頂点と外側の点

　(1/2)×(φ,φ,φ)と(1/2)×(0,1,φ²)

の2通りあります。

で、倍率2(φ-1)なので、

12・20面体の頂点の座標は、

・{2(φ-1)}×(1/2)×(1/2)×{(1,φ²,0)+(-1,φ²,0)}

　={(φ-1)/2}×(0,2φ²,0)

　=(φ-1)×(0,φ²,0)

　=(0,φ,0)

で、(0,±φ,0)です。

・{2(φ-1)}×(1/2)×(1/2)×{(φ,φ,φ)+(0,1,φ²)}

　={(φ-1)/2}×(φ,φ+1,φ²+φ)

　={(φ-1)/2}×(φ,φ²,φ³)

　=(1/2)×(1,φ,φ²)

で、(1/2)×(±1,±φ,±φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+φ²+(φ²)²}

　=φ~1.6180

です。

☆正20面体

　正20面体の隣合う2点の座標は、

・1の符号が異なる2点

　(1/2)×(1,φ,0)と(1/2)×(-1,φ,0)

・符号が揃う2点

　(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(φ,0,1)

の2通りあります。

で、倍率2なので、

12・20面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/2)×{(1,φ,0)+(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(0,2φ,0)

　=(0,φ,0)

で、(0,±φ,0)です。

・2×(1/2)×(1/2)×{(0,1,φ)+(φ,0,1)}

　=(1/2)×(φ,1,φ+1)

　=(1/2)×(φ,1,φ²)

で、(1/2)×(±φ,±1,±φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{φ²+1²+(φ²)²}

　=φ~1.6180

です。