〇・△面体の座標

　今回は多面体から〇・△面体を作っていきます。

　〇・△面体は多面体の頂点部分を辺の中点まで切り落とすと、

多面体の面(正3,4,3,5,3角形)は形を変えずに向きだけが変わります。

　切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。

〇・△面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
正多面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
〇・△面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
〇・△面体 の断面	正3角形 4枚	正3角形 8枚	正方形 6枚	正3角形 20枚	正5角形 12枚
〇・△面体	正8面体	立方8面体	立方8面体	12・20面体	12・20面体
辺の長さ	1/2	(√2)/2	1/2	φ/2	1/2

　座標と外接球の半径

〇・△面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
正多面体 の外接球 の半径	(√6)/4	(√3)/2	1/(√2)	(3/2)×φ	(1/2)×√(2+φ)
正多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	1/(√2)	1/2	1/2
正多面体 の座標1	(1,1,1)	(±1,±1,±1)	-	(±φ,±φ,±φ)	-
正多面体 の座標2	(1,-1,-1)	-	(±1,0,0)	(0,±1,±φ²)	(0,±1,±φ)
正多面体 の座標3	(-1,1,-1)	-	(0,±1,0)	(±φ²,0,±1)	(±φ,0,±1)
正多面体 の座標4	(-1,-1,1)	-	(0,0,±1)	(±1,±φ²,0)	(±1,±φ,0)
◯・△面体 の外接球 の半径	1/√2 0.7071	1	1	φ 1.6180	φ 1.6180
◯・△面体 の係数	1/√2	1/√2	1/√2	1/2	1/2
◯・△面体 の座標1	(±1,0,0)	(0,±1,±1)	(0,±1,±1)	(±2φ,0,0)	(±2φ,0,0)
◯・△面体 の座標2	(0,±1,0)	(±1,0,±1)	(±1,0,±1)	(0,±2φ,0)	(0,±2φ,0)
◯・△面体 の座標3	(0,0,±1)	(±1,±1,0)	(±1,±1,0)	(0,0,±2φ)	(0,0,±2φ)
◯・△面体 の座標4	-	-	-	(±1,±φ,±φ²)	(±1,±φ,±φ²)
◯・△面体 の座標5	-	-	-	(±φ²,±1,±φ)	(±φ²,±1,±φ)
◯・△面体 の座標6	-	-	-	(±φ,±φ²,±1)	(±φ,±φ²,±1)

　〇・△面体の各頂点は同一球面上にあります。

外接球の半径を〇・△面体の頂点の座標から求めていきます。

　〇・△面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点の中点です。

　拡大率は正多面体の面の形によって変わります。

　・正3角形…倍率2

　・正4角形…倍率2/(√2)=√2

　・正5角形…倍率2/φ=2(φ-1)

☆正4面体

　正4面体の隣合う2点の座標は、

全ての2点の組み合わせである6組ですが、

符号が揃う点を含む2点、含まない2点で分けて考えます。

・(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)

・(1/2√2)×(1,-1,-1)と(1/2√2)×(-1,1,-1)

で、倍率2なので、

正8面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/2√2)×{(1,1,1)+(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(2,0,0)

　=(1/√2)×(1,0,0)

・2×(1/2)×(1/2√2)×{(1,-1,-1)+(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(0,0,-2)

　=(1/√2)×(0,0,-1)

で、(1/√2)×(±1,0,0) (複号同順)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(1²+0²+0²)

　=1/√2~0.7071

です。

☆正6面体

　正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、

1軸だけ符号が異なる2点です。

(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)

で、倍率√2なので、

立方8面体の頂点の座標は、

・(√2)×(1/2)×(1/2)×{(1,1,1)+(-1,1,1)}

　={(√2)/4}×(0, 2, 2)

　={(√2)/2}×(0, 1, 1)

で、{(√2)/2}×(0, ±1,±1)です。

よって、外接球の半径は、

　{(√2)/2}×√{0²+1²+1²}

　=1

です。

☆正8面体

　正8面体の隣合う2点の座標は、

符号が異なる点(対蹠点)以外です。

(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)

で、倍率2なので、

立方8面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/√2)×{(1,0,0)+(0,1,0)}

　=(1/√2)×(1,1,0)

で、(1/√2)×(1,1,0)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(1²+1²+0²}

　=1

です。

☆正12面体

　正12面体は立方体の各面の外側に2点ずつ存在します。

　正12面体の隣合う2点の座標は、

・外側の2点

　(1/2)×(1,φ²,0)と(1/2)×(-1,φ²,0)

・立方体の頂点と外側の点

　(1/2)×(φ,φ,φ)と(1/2)×(0,1,φ²)

の2通りあります。

倍率2(φ-1)なので、

12・20面体の頂点の座標は、

・{2(φ-1)}×(1/2)×(1/2)×{(1,φ²,0)+(-1,φ²,0)}

　={(φ-1)/2}×(0,2φ²,0)

　=(φ-1)×(0,φ²,0)

　=(0,φ,0)

で、(0, ±φ, 0)です。

・{2(φ-1)}×(1/2)×(1/2)×{(φ,φ,φ)+(0,1,φ²)}

　={(φ-1)/2}×(φ,φ+1,φ²+φ)

　={(φ-1)/2}×(φ,φ²,φ³)

　=(1/2)×(1,φ,φ²)

で、(1/2)×(±1,±φ,±φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+φ²+(φ²)²}

　=φ~1.6180

です。

☆正20面体

　正20面体の隣合う2点の座標は、

・1の符号が異なる2点

　(1/2)×(1,φ,0)と(1/2)×(-1,φ,0)

・符号が揃う2点

　(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(φ,0,1)

の2通りあります。

倍率2なので、

12・20面体の頂点の座標は、

・2×(1/2)×(1/2)×{(1,φ,0)+(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(0,2φ,0)

　=(0,φ,0)

で、(0,±φ,0)です。

・2×(1/2)×(1/2)×{(0,1,φ)+(φ,0,1)}

　=(1/2)×(φ,1,φ+1)

　=(1/2)×(φ,1,φ²)

で、(1/2)×(±φ,±1,±φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{φ²+1²+(φ²)²}

　=φ~1.6180

です。