3次関数f(x)=Ax³-Bx、その接線で囲まれた面積を計算します。
まず、2次の係数はx軸方向の平行移動で消せて、
定数項はy軸方向の平行移動で消せるので、
3次関数の形状は3次の係数Aと、1次の係数Bの2つで決まります。
次に、3次関数が極値を持つ時は、
3次の係数と、1次の係数の符号は反対になります。
上の図では、3次が正、1次が負です。
よって、1次の係数Bの前はマイナスにしています。
極値を取るxの値は、f'(x)=0になる所です。
f'(x)=3Ax²-Bx なので、x=±√(B/3A)です。
以下、この値をx=±Tと表記します。
f(±T)の値は、
=A×(±T)³-B×(±T)
=±T{AT²-B}
ここで、AT²=B/3なので、
=±(-2/3)BT と求まります。
f(x)=f(±T)となるxの値は、3次方程式を解くと、
自明なx=±Tの2重解と、x=±(-2T)と求まります。
組み立て除法とf'(T)=3AT²-B=0を使うと上手くいきます。
以上の通り、3次関数のグラフは格子状の点を通ります。
格子の横幅はT、縦幅は(2/3)BTです。
縦横ともに1にするには、
まず、横幅の式からB=3Aとなり、
縦幅の式からB=(3/2)と求まります。
よってA=1/2です。
y=f(x)のグラフ(緑)が各格子をどのような面積比で分割するかは、定積分で簡単に計算できます。
原点の近くの格子は、x軸側が5：y軸側が3の比で分割します。
その隣の格子は綺麗に2等分します。
x軸との交点は±T√3です。
そのまた隣の格子は7:1に分割します。
次に、紫の線は格子点を結んだものです。
3角形の面積は幾何的に簡単に求められ、格子の3/2倍です。
紫の線とグラフで囲まれた面積は、先程の緑のグラフでの分割比が分かればすぐに求められ、
y軸に近い部分は、大きい部分と格子の半分との差である、格子の1/8倍、
他方は、2マスの大きい部分から、2マスの半分(1マス分)を引いた、3/8倍になります。
最も大きい部分は、3角形と2つの部分の和である、格子の2倍です。
赤い線は、グラフの接線です。
傾きは、x=0の時が-B(=-3/2)、x=±Tの時が0、x=±2Tの時が3B(=9/2)です。
y軸との交点はそれぞれ、0、±(-2/3)BT=±(-1)、±(-16/3)BT=±(-8)です。
赤い接線と緑のグラフとの他の交点は、
x=0の時は0で重なり、x=±Tの時は±(-2T)、x=±2Tの時は±(-4T)となります。-2倍の関係になるようです。
この時の面積はそれぞれ、格子の0、27/8、54倍です。
次に、赤い線で囲まれた3角形は2種類あり、相似比は3倍、面積比は9倍です。
斜めの線どうしは、y=2で交わります。
面積は格子のそれぞれ、4/9、4倍です。
最後に赤い線2本とグラフで囲まれた面積は、
内側が1/24、外側が13/72、大きい部分が2/3です。
上の図では、格子の面積を72とした時の各部分の面積です。
