5種類の正多面体の距離は、
| 距離・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距離 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 距離 2 | - | √2 1.4142 | √2 1.4142 | φ 1.6180 | φ 1.6180 |
| 距離 3 | - | √3 1.7321 | - | (√2)×φ 2.2882 | √(2+φ) 1.9021 |
| 距離 4 | - | - | - | φ² 2.6180 | - |
| 距離 5 | - | - | - | (√3)×φ 2.8025 | - |
です。距離1は辺の長さです。
φは黄金比で、φ²=φ+1を満たします。約1.6180です。
2点の選び方の数は、
| 距離・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距離 1 | 3点 6本 | 3点 12本 | 4点 12本 | 3点 30本 | 5点 30本 |
| 距離 2 | - | 3点 12本 | 1点 3本 | 6点 60本 | 5点 30本 |
| 距離 3 | - | 1点 4本 | - | 6点 60本 | 1点 6本 |
| 距離 4 | - | - | - | 3点 30本 | - |
| 距離 5 | - | - | - | 1点 10本 | - |
です。
(ある頂点からその距離の頂点の数)×(頂点の数)÷2
で求められます。全ての距離の本数を足すと、
vC₂=v(v-1)/2 本になります(vは頂点の数)。
頂点の数は順に、4,8,6,20,12個
線の合計本数は順に、6,28,15,190,66本となります。
外接球の半径は、
・正4面体…(√6)/4~0.6124
・立方体…(√3)/2~0.8660
・正8面体…(√2)/2~0.7071
・正12面体…{(√3)/2}×φ~1.4013
・正20面体…(1/2)×√(2+φ)~0.9511
です。
☆頂点間の中心角
頂点間の中心角は外接球の半径が等辺で2頂点間の距離が底辺である二等辺三角形の頂角です。
中心角およびその余弦は、(上：余弦、下：角度)
| 距離・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距離 1 | -1/3 109. 4712 | 1/3 70. 5288 | 0 90 | (√5)/3 41. 8103 | (√5)/5 63. 4349 |
| 距離 2 | - | -1/3 109. 4712 | -1 180 | 1/3 70. 5288 | -(√5)/5 116. 5651 |
| 距離 3 | - | -1 180 | - | -1/3 109. 4712 | -1 180 |
| 距離 4 | - | - | - | -(√5)/3 138. 1897 | - |
| 距離 5 | - | - | - | -1 180 | - |
です。