切頂多面体の座標

　今回は多面体から切頂多面体を作っていきます。

　切頂多面体は多面体の頂点部分を少し切り落とすことで、

多面体の面(正3,4,3,5,3角形)を正2n角形(正6,8,6,10,6角形)にします。

　切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
正多面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
切頂多面体 　の面	正6角形 4枚	正8角形 6枚	正6角形 8枚	正10角形 12枚	正6角形 20枚
切頂多面体 の断面	正3角形 4枚	正3角形 8枚	正方形 6枚	正3角形 20枚	正5角形 12枚
切落とす長さ 　　残る長さ	1/3 1/3	1/(2+√2) (√2)/(2+√2)	1/3 1/3	1/(2+φ) φ/(2+φ)	1/3 1/3
拡大率	3倍	(1+√2)倍	3倍	√5倍	3倍

　切り落とす長さは正多面体の面の形で変わります。

　・正3角形…1/3

　・正方形…1/(2+√2)

　・正5角形…1/(2+φ)

　切り落とした残りの辺の長さが1になるように、

全体を拡大します。拡大率は、

　・正3角形…3倍

　・正方形…(1+√2)倍

　・正5角形…(√5)倍

です。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
正多面体 の外接球 の半径	(√6)/4	(√3)/2	1/(√2)	(3/2)×φ	(1/2)×√(2+φ)
正多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	1/(√2)	1/2	1/2
正多面体 の座標1	(1,1,1)	(±1,±1,±1)	-	(±φ,±φ,±φ)	-
正多面体 の座標2	(1,-1,-1)	-	(±1,0,0)	(0,±1,±φ²)	(0,±1,±φ)
正多面体 の座標3	(-1,1,-1)	-	(0,±1,0)	(±φ²,0,±1)	(±φ,0,±1)
正多面体 の座標4	(-1,-1,1)	-	(0,0,±1)	(±1,±φ²,0)	(±1,±φ,0)
切頂多面体 の外接球 の半径	(√22)/4 1.1726	(1/2)×√(7+4√2) 1.7788	(√10)/2 1.5811	(1/2)×√(15φ+11) 2.9694	(1/2)×√(9φ+10) 2.4780
切頂多面体 の係数	1/(2√2)	1/2	(1/√2)	1/2	1/2
切頂多面体 の座標1	(3,±1,±1) 複号同順	(±1,±(1+√2),±(1+√2))	(0,±1,±2)	(0,±1,±(3φ+1))	(0,±1,±3φ)
切頂多面体 の座標2	(±1,3,±1) 複号同順	(±(1+√2),±1,±(1+√2))	(0,±2,±1)	(±(3φ+1),0,±1)	(±3φ,0,±1)
切頂多面体 の座標3	(±1,±1,3) 複号同順	(±(1+√2),±(1+√2),±1)	(±1,0,±2)	(±1,±(3φ+1),0)	(±1,±3φ,0)
切頂多面体 の座標4	(-3,±1,∓1) 複号同順	-	(±1,±2,0)	(±φ²,±2φ,±φ³)	(±φ,±2,±φ³)
切頂多面体 の座標5	(∓1,-3,±1) 複号同順	-	(±2,0,±1)	(±φ³,±φ²,±2φ)	(±φ³,±φ,±2)
切頂多面体 の座標6	(±1,∓1,-3) 複号同順	-	(±2,±1,0)	(±2φ,±φ³,±φ²)	(±2,±φ³,±φ)
切頂多面体 の座標7	-	-	-	(±1,±φ²,±2φ²)	(±2φ,±1,±(φ+2))
切頂多面体 の座標8	-	-	-	(±2φ²,±1,±φ²)	(±(φ+2),±2φ,±1)
切頂多面体 の座標9	-	-	-	(±φ²,±2φ²,±1)	(±1,±(φ+2),±2φ)

　切頂多面体の各頂点は同一球面上にあります。

外接球の半径を切頂多面体の頂点の座標から求めていきます。

　切頂多面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点を内分した点です。

　拡大率と内分する比は正多面体の面の形によって変わります。

　・正3角形…倍率3、内分比2:1

　・正4角形…倍率1+√2、内分比(1+√2):1

　・正5角形…倍率√5、内分比(φ+1):1

◯切頂4面体

　正4面体の隣合う2点の座標は、

全ての2点の組み合わせ6組ですが、

符号が揃う点を含む2点、含まない2点で分けて考えます。

・(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)

・(1/2√2)×(1,-1,-1)と(1/2√2)×(-1,1,-1)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂4面体の頂点の座標は、

・3×(1/3)×(1/2√2)×{2(1,1,1)+(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(3,1,1)

・3×(1/3)×(1/2√2)×{(1,1,1)+2(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(3,-1,-1)

で、(1/2√2)×(3,±1,±1) (複号同順)です。

・3×(1/3)×(1/2√2)×{2(1,-1,-1)+(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(1,-1,-3)

・3×(1/3)×(1/2√2)×{(1,-1,-1)+2(-1,1,-1)}

　=(1/2√2)×(-1,1,-3)

で、(1/2√2)×(±1,∓1,-3) (複号同順)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2√2)×√(3²+1²+1²)

　=(√22)/4~1.1726

です。

◯切頂6面体

　正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、

1軸だけ符号が異なる2点です。

(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)

で、倍率1+√2、内分比(1+√2):1なので、

切頂6面体の頂点の座標は、

・(1+√2)×{1/(2+√2)}×(1/2)×{(1+√2)(1,1,1)+(-1,1,1)}

　=(1/2√2)×(√2, 2+√2, 2+√2)

　=(1/2)×(1, 1+√2, 1+√2)

・(1+√2)×{1/(2+√2)}×(1/2)×{(1,1,1)+(1+√2)(-1,1,1)}

　=(1/2√2)×(-√2, 2+√2, 2+√2)

　=(1/2)×(-1, 1+√2, 1+√2)

で、(1/2)×(±1, ±(1+√2),±(1+√2))です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(1+√2)²+(1+√2)²}

　=(1/2)×√(7+4√2)~1.7788

です。

◯切頂8面体

　正8面体の隣合う2点の座標は、

符号が異なる点(対蹠点)以外です。

(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂8面体の頂点の座標は、

・3×(1/3)×(1/√2)×{2(1,0,0)+(0,1,0)}

　=(1/√2)×(2,1,0)

・3×(1/3)×(1/√2)×{(1,0,0)+2(0,1,0)}

　=(1/√2)×(1,2,0)

で、(1/2√2)×(±1,±2,0)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(2²+1²+0²}

　=(√10)/2~1.5811

です。

◯切頂12面体

　正12面体は立方体の各面の外側に2点ずつ存在します。

　正12面体の隣合う2点の座標は、

・外側の2点

　(1/2)×(1,φ²,0)と(1/2)×(-1,φ²,0)

・立方体の頂点と外側の点

　(1/2)×(φ,φ,φ)と(1/2)×(0,1,φ²)

の2通りあります。

で、倍率√5、内分比(1+φ):1なので、

切頂12面体の頂点の座標は、

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1+φ)(1,φ²,0)+(-1,φ²,0)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(φ, (2+φ)φ² ,0)

　= {(√5)/(2×5)}×(3-φ)×(φ, (2+φ)(φ+1), 0)

　=(2φ-1)(3-φ)÷10×(φ, 4φ+3, 0)

　=(5φ-5)÷10×(φ, 4φ+3, 0)

　={(φ-1)/2}×(φ, 4φ+3, 0)

　前にある定数部分は(φ-1)/2=φ⁻¹/2です。

　=(1/2)×(φ(φ-1), (4φ+3)(φ-1), 0)

　=(1/2)×(1, 3φ+1, 0)

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1,φ²,0)+(1+φ)(-1,φ²,0)}

　=(φ⁻¹/2)×(-φ, (2+φ)φ² ,0)

　=(φ⁻¹/2)×(-φ, 4φ+3, 0)

　=(1/2)×(-1, (4φ+3)(φ-1), 0)

　=(1/2)×(-1, 3φ+1, 0)

で、(1/2)×(±1, ±(3φ+1), 0) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1+φ)(φ,φ,φ)+(0,1,φ²)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(φ³,φ³+1,φ⁴)

　= (φ⁻¹/2)×(φ³,φ³+1,φ⁴)

　=(1/2)×(φ², φ²+(φ-1), φ³)

　=(1/2)×(φ², 2φ, φ³)

で、(1/2)×(±φ², ±2φ, ±φ³) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(φ,φ,φ)+(1+φ)(0,1,φ²)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(φ, φ²+φ, φ⁴+φ)

　= (φ⁻¹/2)×(φ, φ²+φ, φ⁴+φ)

　=(1/2)×(1, φ+1, φ³+1)

　=(1/2)×(1, φ², 2φ²)

で、(1/2)×(±1, ±φ², ±2φ²) (軸は順に動かしたもののみ)です。

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(3φ+1)²+0²}

　=(1/2)×√(15φ+11)~2.9694

です。

◯切頂20面体

　正20面体の隣合う2点の座標は、

・1の符号が異なる2点

　(1/2)×(1,φ,0)と(1/2)×(-1,φ,0)

・符号が揃う2点

　(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(φ,0,1)

の2通りあります。

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂20面体の頂点の座標は、

・3×(1/3)×(1/2)×{2(1,φ,0)+(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(1,3φ,0)

・3×(1/3)×(1/2)×{(1,φ,0)+2(-1,φ,0)}

　=(1/2)×(-1,3φ,0)

で、(1/2)×(±1,±3φ,0) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・3×(1/3)×(1/2)×{2(0,1,φ)+(φ,0,1)}

　=(1/2)×(φ,2,φ³)

で、(1/2)×(±φ,±2,±φ³) (軸は順に動かしたもののみ)です。

・3×(1/3)×(1/2)×{(0,1,φ)+2(φ,0,1)}

　=(1/2)×(±2φ,±1,±(φ+2))

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(3φ)²+0²}

　=(1/2)×√(9φ+10)~2.4780

です。