今回は正8面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めてみようと思います。
☆正8面体
・正8面体の面は正三角形です。
・正8面体の各頂点には4本の辺が集まります。
・正8面体の辺の数は、
正三角形が8枚で、2つの正三角形が1つの辺を共有しているので、
3×8÷2=12本です。
・正8面体の頂点の数は、
正三角形が8枚で、4つの正三角形が1つの頂点を共有しているので、
3×8÷4=6個です。
☆各頂点の位置関係
◯ある頂点Oから
・1番近い点は、辺で繋がっている4点です。
これらを順にA,B,C,Dとします。
・隣合う2点(AB,BC,CD,DA)が繋がっています。
◯半分の3点より2点多い、5点出てきました。
・5点の中でAとC、BとDが繋がっていないので、
この2組は対蹠点に当たります。
・よって、以降CをA'、DをB'とします。
◯残り1点はOの対蹠点O'です。
・O'もA,B,A',B'の4点とつながっています
よって、頂点間の距離は2種類です。
・O…A,B,A',B'
・A…O,B',B,O'
・B…O,A,A',O'
※各対蹠点については'の有無が変わるだけです。
☆抵抗と電位と電流
◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。
今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。
◯2点間の合成抵抗を求めるときは、
片方の電位を1,他方を0とします。
また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。
◯ある2点間X→Yを流れる電流は、
電位差(電圧)、X-Yです。
◯キルヒホッフの法則
各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。
ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、
X₀ついての式は、抵抗が同じなので、
aX₀=X₁+…+Xₐ
と書けます。
◯合成抵抗
回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。
端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。
☆対蹠点同士の合成抵抗
◯正8面体の頂点間の位置関係は2種類です。
◯点の振り方から、合成抵抗を求めるのが最も簡単なのが対蹠点だと思います。
◯対蹠点同士の2点、O(1),O'(0)からの距離を括弧内に表記します。
・A,B,A',B'(1,1)
の1種類で、O(1),O'(0)からの距離が等しいので電位は1/2です。
となります。
◯O(1)と繋がっている点はA,B,A',B'の4点です。
よって、電流の和は、
(O-A)+(O-B)+(O-A')+(O-B')
=(1-1/2)+(1-1/2)+(1-1/2)+(1-1/2)
=2
◯合成抵抗は1/2と求まりました。
また、各頂点の電位は、
・O(0,2)…1=2/2
・A,B,A',B'(1,1)…1/2
・O'(2,0)…0=0/2
です。
次回は辺の合成抵抗について求めていきます(5/12)。
正多面体 合成抵抗 まとめ
