今回は正4面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めてみようと思います。
☆正4面体
・正4面体の面は正三角形です。
・正4面体の各頂点には3本の辺が集まります。
・正4面体の辺の数は、
正三角形が4枚で、2つの正三角形が1つの辺を共有しているので、
3×4÷2=6本です。
・正4面体の頂点の数は、
正三角形が4枚で、3つの正三角形が1つの頂点を共有しているので、
3×4÷3=4個です。
☆各頂点の位置関係
◯4頂点から2つ選ぶ組み合わせは、₄C₂=6通りで辺の数と同じです。
つまり、全ての頂点同士が辺で繋がっています。
よって、頂点間の距離は1種類です。
・O…A,B,C
・A…O,B,C
・B…O,A,C
・C…O,A,B
です。
☆抵抗と電位と電流
◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。
今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。
◯2点間の合成抵抗を求めるときは、
片方の電位を1,他方を0とします。
また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。
◯ある2点間X→Yを流れる電流は、
電位差(電圧)、X-Yです。
◯キルヒホッフの法則
各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。
ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、
X₀ついての式は、抵抗が同じなので、
aX₀=X₁+…+Xₐ
と書けます。
◯合成抵抗
回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。
端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。
☆対蹠点同士の合成抵抗
◯正4面体の頂点間の位置関係は1種類です。
◯2点、O(1),A(0)からの距離を括弧内に表記します。
・B,C(1,1)
の1種類で、O(1),A(0)からの距離が等しいので電位は1/2です。
となります。
◯O(1)と繋がっている点はA,B,Cの3点です。
よって、電流の和は、
(O-A)+(O-B)+(O-C)
=(1-0)+(1-1/2)+(1-1/2)
=2
◯合成抵抗は1/2と求まりました。
また、各頂点の電位は、
・O(0,1)…1=2/2
・B,C(1,1)…1/2
・A(1,0)…0=0/2
です。
