前回は四面体O-ABCの6辺の長さから体積を求めた結果、
体積の12倍の2乗が、
-(ABR+ACQ+BCP+PQR)
+AP{B+C+Q+R-(A+P)}
+BQ{A+C+P+R-(B+Q)}
+CR{A+B+P+Q-(C+R)}
と求まりました。ただし、
A,P,B,Q,C,Rは各辺の長さの2乗で、
AとP、BとQ、CとRが向かい合う辺です。
今回は四面体O-ABCの体積が0のときの各辺の長さの関係を求めていきます。
設定は前回のと同じものを用います。
「
◯四面体は、
・頂点が4つ
・辺 が6つ
・面 が4つ
です。
◯6辺の長さを、
・OA=a、・OB=b、・OC=c
・AB=r、・BC=p、・CA=q
とします。
・Oを含む辺は他方の点の文字(a,b,c)
・Oを含まない辺はA,B,C→p,q,rとし、辺に含まれない文字(p,q,r)
です。
◯各辺の長さの2乗は辺の文字の大文字で表記します。
・A=a²、・B=b²、・C=c²
・R=r²、・P=p²、・Q=q²
・途中からは辺の長さの2乗しか使いません
◯ある1辺は、他の5辺のうち、
・辺の両端で2辺ずつ、4辺と接します。
・残りの1辺とは接していません。
◯向かい合っている辺の組は3組あり、
aとp、bとq、cとrです。
◯4頂点を座標空間に
O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(x₂,y₂,0)、C(x₃,y₃,z)
と置きます。
◯体積は(1/6)×a×y₂×zです。
◯自明なOAを除いた5辺について、
・x₂²+y₂²=B…(1) (OB)
・(x₂-a)²+y₂²=R…(2) (AB)
・x₃²+y₃²+z²=C…(3) (OC)
・(x₃-a)²+y₃²+z²=Q…(4) (AC)
・(x₃-x₂)²+(y₃-y₂)²+z²=P…(5) (BC)
が成立します。
この5式から、x₂,y₂,x₃,y₃,zの5つの値を求めます。
見た目に反して面倒です。
」
◯体積が0ということは、4頂点が同一平面上にあるということです。
◯4頂点を座標空間に
O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(x₂,y₂,0)、C(x₃,y₃,z)
と置いていることで、C(x₃,y₃,z)以外の3点はxy平面上です。
よって、C(x₃,y₃,z)もxy平面上に置きます。
つまり、z=0です。
◯4頂点ともxy平面上なので、z座標は無視できます。
O(0,0)、A(a,0)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)
となり、
◯自明なOAを除いた5辺について、
・x₂²+y₂²=B…(1) (OB)
・(x₂-a)²+y₂²=R…(2) (AB)
・x₃²+y₃²=C…(3) (OC)
・(x₃-a)²+y₃²=Q…(4) (AC)
・(x₃-x₂)²+(y₃-y₂)²=P…(5) (BC)
が成立します。
式(1),(2)は変更なしで、
式(3)~(5)は左辺の「+z²」が無くなっただけです。
これらから導かれる式は、
・x₂=(A+B-R)/2a…(6)
・y₂²={(A+B+R)²-2(A²+B²+R²)}/4A…(7)
・x₃=(A+C-Q)/2a…(8)
・y₃²={(A+C+Q)²-2(A²+C²+Q²)}/4A…(9)
・x₃-x₂= - {(B-C)+(Q-R)}/2a…(10)
・4Ay₂y₃={B+C+Q+R-(A+2P)}A-(B-R)(C-Q)…(11)
・16A²y₂²y₃²
=A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²+(B-R)²(C-Q)²
-2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}…(12)
・16A²y₂²y₃²
=(A+B+R)²(A+C+Q)²
-4(AB+AR+BR)(A²+C²+Q²)
-4(A²+B²+R²)(AC+AQ+CQ)…(13)
で、
・式(6)~(12)は変更なし
・式(13)は左辺が16A²y₂²(y₃²+z²)から16A²y₂²y₃²に変わりました。
◯式(13)-式(12)は
16A²y₂²y₃²-16A²y₂²y₃²
={
(A+B+R)²(A+C+Q)²
-4(AB+AR+BR)(A²+C²+Q²)
-4(A²+B²+R²)(AC+AQ+CQ)
}-(
A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²+(B-R)²(C-Q)²
-2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
)
と右辺は変わりません
◯左辺の16A²y₂²y₃²を相殺すると、
左辺は0となります。
0=(A+B+R)²(A+C+Q)²
-4(AB+AR+BR)(A²+C²+Q²)
-4(A²+B²+R²)(AC+AQ+CQ)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
◯この式を前回と同様に変形すると、
-(ABR+ACQ+BCP+PQR)
+AP{B+C+Q+R-(A+P)}
+BQ{A+C+P+R-(B+Q)}
+CR{A+B+P+Q-(C+R)}
=0
となります。