今回は正n角形(n=3,4,5)の頂点を切り落として
正2n角形を作ります。
正n角形の辺の長さを1とした時
辺の両端から長さtずつ切り落とすと、
・残りの部分は1-2tで、
・新しくできる辺の長さは、
正n角形の内角の大きさを2θとすると、
2t×sinθと表せます。
これらの長さは等しいので、
1-2t=2t×sinθ
2t(1+sinθ)=1
t=1/{2(1+sinθ)}
と求まります。
また、正2n角形の辺の長さは1-2tです。
☆正3角形→正6角形
2θ=60°より、
t=1/{2(1+sin30°)}=1/3
正6角形の辺の長さは
1-2t=1/3
です。
正6角形の辺の長さを1にするには3倍します。
また、t:(1-2t)=1:1です。
☆正4角形→正8角形
2θ=90°より、
t=1/{2(1+sin45°)}=1/(2+√2)
正8角形の辺の長さは
1-2t=(√2)/(2+√2)
=1/(1+√2)
です。
正8角形の辺の長さを1にするには(1+√2)倍します。
また、t:(1-2t)=1:√2です。
☆正5角形→正10角形
2θ=108°より、
t=1/{2(1+sin54°)}=1/(2+φ)
正10角形の辺の長さは
1-2t=φ/(2+φ)
＝φ(3-φ)/5
=(2φ-1)/5＝1/(√5)
です。
正10角形の辺の長さを1にするには√5倍します。
また、t:(1-2t)=1:φです。