正2n角形 (n=3,4,5)

　今回は正n角形(n=3,4,5)の頂点を切り落として

正2n角形を作ります。

　正n角形の辺の長さを1とした時

辺の両端から長さtずつ切り落とすと、

・残りの部分は1-2tで、

・新しくできる辺の長さは、

　正n角形の内角の大きさを2θとすると、

　2t×sinθと表せます。

これらの長さは等しいので、

　1-2t=2t×sinθ

　2t(1+sinθ)=1

　t=1/{2(1+sinθ)}

と求まります。

　また、正2n角形の辺の長さは1-2tです。

☆正3角形→正6角形

　2θ=60°より、

　t=1/{2(1+sin30°)}=1/3

　正6角形の辺の長さは

　1-2t=1/3

です。

正6角形の辺の長さを1にするには3倍します。

また、t:(1-2t)=1:1です。

☆正4角形→正8角形

　2θ=90°より、

　t=1/{2(1+sin45°)}=1/(2+√2)

　正8角形の辺の長さは

　1-2t=(√2)/(2+√2)

　　　=1/(1+√2)

です。

正8角形の辺の長さを1にするには(1+√2)倍します。

また、t:(1-2t)=1:√2です。

☆正5角形→正10角形

　2θ=108°より、

　t=1/{2(1+sin54°)}=1/(2+φ)

　正10角形の辺の長さは

　1-2t=φ/(2+φ)

　　　＝φ(3-φ)/5

　　　=(2φ-1)/5＝1/(√5)

です。

正10角形の辺の長さを1にするには√5倍します。

また、t:(1-2t)=1:φです。

正角錐(正4面体・正4角錐・正5角錐)

　今回は底面が正多角形で各辺の長さ１の角錐について考えます。

・底面の形を正n角形(nは3以上の整数)とおきます。

・頂点の数は底面のn点と頂上の1点でn+1個です。

・辺の数は底面のn本と頂上に向かうn本の2n本です。

・各辺の長さ１なので、側面は正3角形です。

・側面の数は底面の辺の数なのでn面と、底面が1面で合わせてn+1面です。

・底面の各頂点に集まる辺は3本、頂上の点はn本です。

・正3角形の角の大きさは60°なので、

　正角錐になるには60°×n<360°となる必要があり、

　n=3,4,5と3種類のみとなります。

・n=3は正4面体です。

・n=4は正4角錐で正8面体の半分です。

・n=5は正5角錐で正20面体を頂点を通る平行な2平面で切ると出てきます。

『黄金比(フィボナッチ数列、正五角形、正20面体)』

☆正角錐の計量

計量・正〇角錐	正4面体	正4角錐	正5角錐
高さ	(√6)/3 0.8165	(√2)/2 0.7071	{(√5)/5}×√(3-φ) 0.5257
体積	(√2)/12 0.1179	(√2)/6 0.2357	(φ+2)/12 0.3015
表面積	√3 1.7321	1+√3 2.7321	{(√5)/4}×{√(3+4φ)+√15} 3.8855
内接球の半径	(√6)/12 0.2041	(√6-√2)/4 0.2588	{(3φ+1)/20}×{√15-√(3+4φ)} 0.2328
外接球の半径	(√6)/4 0.6124	(√2)/2 0.7071	{√(φ+2)}/2 0.9511

 ◯高さ

　錐体の高さ、辺および底面の外接円の半径で直角3角形ができます。

辺の長さが1のとき、外接円の半径は、

　・正3角形…(√3)/3 (高さの2/3)

　・正4角形…(√2)/2 (対角線の半分)

　・正5角形…{(√5)/5}×√(2+φ)

なので、高さは、

　・正4面体…(√6)/3

　・正4角錐…(√2)/2 (外接円の半径と同じ)

　・正5角錐…{(√5)/5}×√(3-φ)

となります。

◯体積

　正多角形の面積は、

　・正3角形…(√3)/4

　・正4角形…1

　・正5角形…{(√5)/4}×√(3+4φ)

なので、体積は、

　・正4面体…(√2)/12

　・正4角錐…(√2)/6

　・正5角錐…(φ+2)/12

となります。

◯表面積

　表面積は底面1面と正3角形n面の和です。

　・正4面体…正3角形+正3角形×3

　　=正3角形×4=4×(√3)/4=√3

　・正4角錐…正4角形+正3角形×4

　　=1+4×(√3)/4=1+√3

　・正5角錐…正5角形+正3角形×5

　　={(√5)/4}×√(3+4φ)+5×(√3)/4

　　={(√5)/4}×{√(3+4φ)+√15}

◯内接球の半径

　内接球の半径と表面積を掛けると体積の3倍になります。内接球の半径は、

　・正4面体…3×(√2)/12÷√3=(√6)/12

　・正4角錐…3×(√2)/6÷(1+√3)=(√6-√2)/4

　・正5角錐…3×(φ+2)/12÷({(√5)/4}×{√(3+4φ)+√15})

　　={(3φ+1)/20}×{√15-√(3+4φ)}

◯外接球の半径

　・正4面体…外接球の半径と内接球の半径の和が正四面体の高さになるので、外接球の半径は、

　　(√6)/3-(√6)/12=(√6)/4

　　正4面体の重心は中心と一致するので、

　　(外接球の半径):(内接球の半径)=3:1です。

　・正4角錐…正8面体の半分なので、正8面体のそれと同じです。

　　中心は底面にあり、半径は高さと等しく、(√2)/2です。

　・正5角錐…正20面体の一部なので、正20面体のそれと同じです。

　　中心は正5角錐の外側にあります。

　　{√(φ²+1)}/2={√(φ+2)}/2となります。

平均駅間距離

　京阪特急が淀屋橋〜出町柳51.6 kmで

淀屋橋 0.5 北浜 0.8 天満橋 1.7 京橋

18.8 枚方市 5.9 樟葉 12.0 中書島 1.6 丹波橋 5.7

七条 1.6 四条 0.7 三条 2.3 出町柳

の11駅で平均4.6909 km、

　阪急京都線(新京阪)梅田〜河原町47.7 kmで

梅田 2.4 十三 4.2 淡路

10.6 茨木市 5.8 高槻市 11.1 長岡天神 6.3 桂 6.4

烏丸 0.9 河原町

の8駅で平均5.9625 km

で平均駅間距離は阪急京都線の特急の方が長い。

という話があった。

　確かに単純に平均するとそうなるが、体感とは異なる結果であると思うだろう。

　何故このような数値が出てくるのかを考える。

・京都側の終点の選び方

　京都側の停車駅はそれぞれ、

　七条 1.6 祇園四条 0.7 三条 2.3 出町柳の4駅

　烏丸 0.9 河原町の2駅

　である。

　この中で近接しているのは祇園四条と京都河原町であり、鴨川(四条大橋)を挟んだ位置にある。名前が分かり難いのは今回は触れない。

　これを踏まえると48.6 km、9駅で5.4 kmとなる。0.9 km、1駅の差である。意外なことに距離の差は1 kmにも満たない。祇園四条の方が東(左)に存在し、淀屋橋の方が1駅ぶん南にあることを考えれば、印象は大きく変わるだろう。

　そもそも、三条・出町柳間は京阪本線ではなく鴨東線である。運転見合わせなどの放送程度でしか現れない名前だが、60円の加算運賃を取られているから知っている人がいるかも知れない。

・大阪側の停車駅

　大阪側の停車駅はそれぞれ、

　淀屋橋 0.5 北浜 0.8 天満橋 1.7 京橋 3.0 km

　梅田 2.4 十三 4.2 淡路 6.6 km

　であり、駅が1つ多いのにかかわらず距離は半分未満、差は3.6 kmである。ただし、梅田・淡路間はそんなに遠くなく、新京阪線の終点天六経由ならば、東梅田 1.8 天六 3.5 淡路の5.3 kmである。なお、東梅田の方が南にある。この差は梅田・淀屋橋間の距離と同じである。天六経由の距離で計算すると、46.4 km、8駅で5.8 kmとなる。

　また、淀屋橋・京橋間は7分、梅田・淡路間は8分と大差ないことや、乗降客が最も多いのが京橋であることが大きく影響しているだろう。

・ 京阪間

　途中区間は、それぞれ

18.8 枚方市 5.9 樟葉 12.0 中書島 1.6 丹波橋 5.7

10.6 茨木市 5.8 高槻市 11.1 長岡天神 6.3 桂 6.4

　であり、計44.0、40.2 km、平均8.8、8.04 kmとなる。

　特徴的なのは、京橋・枚方市間18.8 kmと中書島・丹波橋間 1.6 kmである。後者は梅田・十三 2.4 kmどころか、天満橋・京橋 1.6 kmより短い。前者は、淡路・茨木市間も10.6 kmとそこそこであるが、京橋・枚方市18.8 kmは圧巻である。これは、17駅あることに隠れがちである(逆に思ったより近いという感想を持つかもしれない)。

　体感的な平均間隔はばらついている程大きくなる。極端な例を挙げると、1箇所に近接している場合は実質2分割となる。

　平均というものは考え方によって種類が考えられる。数学的には相加平均・相乗平均・調和平均の3つが使われるが、この中では最も一般的(先程の平均はこれ)な相加平均が最も大きい値を出すので他を考える。

　散らばりを表すものは分散(平均平方誤差)などがあり、いずれも値を2乗して計算する。これは、各地点から駅までの平均距離と考えられ、意味のある数値である。

　仮定として、沿線に均一に需要が存在すると、駅までの平均距離は、(ΣΔi²/4)/(ΣΔi)と書ける。Δiは各駅間の距離である。これは等間隔のときは間隔の4分の1である。これを踏まえると、

　淀屋橋・出町柳間は11.2291 km

　梅田・河原町間は7.8421 km

　淀屋橋・祇園四条間は11.8033 kmとなった。

京阪本線 12分サイクルについて考えてみる(2)

　12分サイクルと他のパターンとの比較をしていきます。

前回

『京阪本線 12分サイクルについて考えてみる(1)』

☆10分サイクルとの比較

　一般的にラッシュ時を除いて60分の約数のサイクルのパターンダイヤが覚えやすく良いものとされています。1時間におけるサイクル数から、

1…60分、2…30分、3…20分、4…15分、5…12分、6…10分・・・

のようになります。これ以上は短すぎるので使いにくいです。

　1〜6まで整数分になるのは、60=2²×3×5で約数が12個と1/5もあるからです。1〜6で半分出てきたので次は6分10サイクルとなります。

　ところで日常的に十進法を用いているので、1サイクルが10の倍数分だと1の位が揃って非常に覚えやすくなります。特に10分サイクルは1の位だけ覚えればよいので好まれます。

　次いでわかりやすいのが10の約数である5を素因数とする15分サイクルです。5の倍数の1の位は0か5の2種類しかないのでまだ理解しやすいと思います。

　最後は12分サイクルで、10との最大公約数が2と小さいので覚えにくく、計算も面倒です。

〇10分サイクルの利点

・時刻が覚えやすい

・本数が毎時1本増える

・枚方市〜丹波橋〜京都三条の接続がスムーズ

・間隔が短いぶん、考慮されていない箇所でも乗り換えが短くなる(門真市内〜寝屋川市以北など)。

〇10分サイクルの欠点

・本数が多すぎる

・準急が枚方市まで先着させるには、

大阪京橋で接続をとって特急の直後に発車させるか、特急を減速させる必要がある。

　前者は大阪京橋以外からは大阪京橋で特急から乗り換えなければならず、不便で特急が混雑する。

　後者は最速の53分ならば12運用で7分ずつ折り返えせるが、枚方市で接続をとるには約2分遅くしなければならず、5分ずつしか残らない。不可能ではないが、遅延時には厳しく座席指定のある特急には難題である。13運用の場合はまたの機会に考える(少なくとも現行よりは余裕あると思われる)。

・香里園で待避させた場合、

　大阪市内〜光善寺・枚方公園は、待避の2分が入るぶん遅くなる。これは10分サイクルと12分サイクルの差であるが、待ち時間は平均すると半分になることを留意しなければならない。

　寝屋川市以西〜樟葉・中書島・丹波橋以北へは、準急の場合は香里園で特急を待避したあとの接続が丹波橋だと特急が詰まるので、準急を通しにするのは難がある。そこで、萱島付近で特急に追い越される普通を枚方市まで先着させて、丹波橋・京都三条で接続させるのが良い。準急を大阪府内で完結させると8両編成を投入できるので、普通よりかなり混雑する準急の混雑緩和に役立つ。しかし、枚方市まで18本を維持しなければならず、また、萱島止まりを30分間隔は入れる必要があるので、さらに萱島まで区間急行を2本必要とする。なお、普通・区間急行は準急より5分遅く、寝屋川市より先へは遅すぎるため準急を消すことは大きく利便を損なう。

・臨時列車を差し込む余裕がない

　準急が香里園で特急を待避するので、続行の臨時準急・急行・快速急行はそれより大阪側で待避することになる。寝屋川市には設備が無く、萱島は準急以外通過するので、守口市〜萱島の複々線区間か守口市で待避する必要がある。複々線区間では守口市で準急と普通が接続するので、普通の真後ろを走らなければならない。守口市で待避してA線(急行線)を走行することになる。しかし、守口市しか速達効果が期待できず、複線区間では普通とスジが被る。

　特急系の臨時列車の場合、枚方市〜丹波橋〜京都三条の接続が綺麗にできるが、逆に臨時列車を入れる余裕が無い。これがあるからか、香里園待避の準急が通し運用で、樟葉でも接続をとって余裕を作っていたのだろう。

〇12分サイクルについては逆であるので簡潔に。

　重要な問題点は門真市内の利便性の確保が難しいことである。準急と普通では守口市〜萱島の所要時間の差が5分である。準急が枚方市で接続するとき、普通は香里園まで先着できず、逆に複々線区間で抜かされることもできない。

　もしくは、萱島・大阪京橋で接続をとると綺麗になるが、大阪京橋〜守口市は駅が多いことで有名であり、実際6,7分余計に時間がかかるので好まれない。

　しかし、12分サイクルに急行系が2本入る夕方では、大阪京橋・守口市で後続の列車とも接続させることで、複々線区間で上手く特急に追い越され、準急との接続が短くて済むようになり、萱島止まりの普通から準急に乗り換える際にホームで特急の通過を待たなくてよく安全である。門真市内の利便性を確保するには本数を増やすしかないので、長サイクル(による1サイクル2本化)・短編成化による本数増加は良いのではないだろうか。

京阪本線 12分サイクルについて考えてみる(1)

　今回は京阪本線の12分サイクルについて考えていきます。

　まず、12分サイクルに含まれる列車が、

・特急…大阪淀屋橋〜京都出町柳(約53分)

・準急…大阪淀屋橋〜京都出町柳

・普通…大阪中之島〜萱島

の場合について考えます。

　特急と準急の接続は枚方市・丹波橋(・京都三条)です。

・大阪方

　特急は枚方市から大阪市内の大阪京橋まで停車しません。また、準急は途中6駅に停車します。

　特急と準急が枚方市で接続した場合、準急は大阪淀屋橋に特急の9分後に到着します。逆に、枚方市で接続するためには大阪淀屋橋を特急の9分前には発車しないと特急は徐行を強いられます。

　12分サイクルであるから、準急は大阪淀屋橋に特急の3分前に到着、3分後に発車と言い換えられます。

　特急は大阪淀屋橋〜京都出町柳を53分で走るので、大阪淀屋橋・京都出町柳での折り返し時間の合計が、10運用(2時間周期)だと14分、11運用(2時間12分周期)だと26分になります。

　大阪淀屋橋での折り返し時間を10運用で等分した場合の7分と仮定すると、特急は準急の到着2分前に発車するので、同じホームに入線できます。

　準急は特急の3分後の発車なので1分で折り返さなければならず、その次の準急として13分で折り返します。準急が2本停車しているのは特急発車2分後からの1分間なので、特急の居ない5分間に収まります。

　準急の発車番線が交互になるので、特急の発車番線も交互になります。

　10運用で折り返し時間を最大限大阪淀屋橋に振ると、10+4分になると考えられます。

大阪淀屋橋では、特急は準急の到着1分後に発車します。準急はその3分後なので4分での折り返しです。特急と準急の発車番線は固定されます。

　11運用で等分すると、13分の折り返しです。1分間両線に停車しています。

大阪淀屋橋では、準急は特急発車の4分前に到着するので非現実的です。特急が停車できるのは11分が限界だと考えられます。

　11運用で大阪淀屋橋に11分停車させると、京都出町柳では15分の折り返しです。

大阪淀屋橋では、準急は特急発車の2分前に到着し、3分後に発車するので折り返しは5分です。

京都方

　京都出町柳での特急の折り返しを4分、7分、15分の場合で考えてみます。

　京都方の接続を京都三条で行う場合は準急の到着が最速で特急の3分後で、丹波橋の場合は10分後です。

　一般的に上下のうち片方だけ接続を行うと、発着順が同じなので、折り返し時間がほぼ同じになります。

　今回は上下ともに京都三条で接続すると仮定します。

・4分の場合は、準急は特急発車の1分前に到着し、9分後に発車します。発着番線は固定されます。

・7分の場合は、準急は特急発車の4分前に到着し、9分後に発車するので13分停車します。この場合は準急の京都三条での発車を遅らせて折り返しを11分にすると問題なくなります。京都三条での接続が異様に長いことが多いのはこのためです。

・15分の場合は、準急は特急の発車12分前に到着し、3分前に発車します。同時に発着できるのは進路が交差しない片方の場合のみです。

↓参考　現行平日ダイヤ(711)15時付近

『京阪本線12分サイクルについて考える(2)』

京阪 '23平日ダイヤ下り3組目M0503A&R0505B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り3組目の列車

・準急M0503A…(淀5:03、萱島5:33発→大阪淀屋橋5:50着)

・普通R0505B…(萱島5:24発→大阪中之島6:04着)

について扱います。

◯車両

　準急は7両編成、普通は6両編成です。

◯準急は淀4番線発で前日の準急淀ゆきの停泊です。

◯接続

　普通は準急の4分後、前の普通の9分後である5:24に萱島を発車します。

　準急は萱島まで各駅に停車し、萱島を普通の9分後(前の準急の13分後)である5:33に発車します。

　普通と準急は守口市で接続します。

普通は5:33着、5:39発で6分停車します。前の普通(5:26発)の13分後です。

　大阪京橋では、普通は準急の8分後である5:50に到着します。4分間停車し、急行大阪淀屋橋ゆきと接続します。

◯後運用

　準急は大阪淀屋橋4番線に到着します。3番線には停泊の普通京都出町柳ゆき(5:52発)がいます。

なお、4番線は準急の到着2分前に急行京都出町柳ゆき(5:48発)が出ています。

後運用は準急京都出町柳ゆき(5:58発)で、8分の折り返しです。特急の10分前の発車です。

　普通は大阪中之島1番線に到着します。到着5分前に普通枚方市ゆきが出ています。

後運用は6:12発の普通京都出町柳ゆきで8分の折り返しです。

京阪 '23平日ダイヤ下り2組目M0501A&R0503B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り2組目の列車

・準急M0501A…(樟葉5:00、萱島5:20発→大阪淀屋橋5:37着)

・普通R0503B…(萱島5:15発→大阪中之島5:48着)

について扱います。

◯車両

　準急は通勤型8両編成、普通は7両編成です。

◯準急は樟葉3番線仕立てで前日の快速急行樟葉ゆきD2400R(最終)が分岐を渡って下りホームの3番線に到着します。

◯接続

　普通は区間急行の8分後である5:15に萱島を発車します。

　準急は萱島まで各駅に停車し、萱島を普通の5分後である5:20に発車します。

　普通と準急は守口市で接続します。

普通は5:24着、5:26発で2分停車します。前の普通(5:11発)の15分後です。

準急は5:25発で、区間急行の9分後です。

　大阪京橋には準急の8分後に普通が発着します。

◯後運用

　準急は大阪淀屋橋4番線に到着します。3番線には停泊の普通京都出町柳ゆき(5:52発)がいます。

なお、4番線は準急の到着4分前に普通京都出町柳ゆき(5:33発)が出ています。

後運用は急行京都出町柳ゆき(5:48発)で、11分の折り返しです。

　普通は大阪中之島1番線に到着します。到着10分前に普通京都出町柳ゆき(5:38発)が出ています。

後運用は5:59発の普通枚方市ゆきで11分の折り返しです。

京阪 '23平日ダイヤ下り初発 R0501A&P0501B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り初発である、

・普　　通R0501A(萱島5:02発→大阪淀屋橋5:28着)

・区間急行P0501B(萱島5:07発→大阪中之島5:32着)

について扱います。

◯車両

　車両はどちらも7両編成です。

◯接続

　区間急行は門真市内では、普通の5分後を走ります。

守口市→大阪京橋で普通を追い越します(大阪京橋着:区間急行…5:21、普通5:22)が、

互いに接続をとり(京橋5:22発)、それぞれの終点へ向かいます。

◯後運用

　普通は大阪淀屋橋4番線に到着します。3番線には停泊の7両編成(7:52発普通京都出町柳ゆき)がいます。

7:33発の普通京都出町柳ゆきとして5分で折り返します。なお、この列車が大阪淀屋橋の初発ですが、30分前(5:03発)に近くの大江橋駅から普通京都出町柳ゆきが出ています。急行出町柳ゆきの15分前の発車です。

　区間急行は大阪中之島1番線に到着します。1番線停泊の列車は5:00発の普通京都出町柳ゆきで既に出発しています。

なお、7:58着、8:04発までは1番線しか使いません。次の8:02着、8:13発は1番線が埋まっているので2番線発着です。

5:38発の普通京都出町柳ゆきとして6分の折り返しです。

体積0の四面体の6辺の長さ(1)

　前回は四面体O-ABCの6辺の長さから体積を求めた結果、

体積の12倍の2乗が、

-(ABR+ACQ+BCP+PQR)

+AP{B+C+Q+R-(A+P)}

+BQ{A+C+P+R-(B+Q)}

+CR{A+B+P+Q-(C+R)}

と求まりました。ただし、

A,P,B,Q,C,Rは各辺の長さの2乗で、

AとP、BとQ、CとRが向かい合う辺です。

今回は四面体O-ABCの体積が0のときの各辺の長さの関係を求めていきます。

設定は前回のと同じものを用います。

「

◯四面体は、

　・頂点が4つ

　・辺　が6つ

　・面　が4つ

　です。

◯6辺の長さを、

　・OA=a、・OB=b、・OC=c

　・AB=r、・BC=p、・CA=q

　とします。

　・Oを含む辺は他方の点の文字(a,b,c)

　・Oを含まない辺はA,B,C→p,q,rとし、辺に含まれない文字(p,q,r)

　です。

◯各辺の長さの2乗は辺の文字の大文字で表記します。

　・A=a²、・B=b²、・C=c²

　・R=r²、・P=p²、・Q=q²

　・途中からは辺の長さの2乗しか使いません

◯ある1辺は、他の5辺のうち、

　・辺の両端で2辺ずつ、4辺と接します。

　・残りの1辺とは接していません。

◯向かい合っている辺の組は3組あり、

　aとp、bとq、cとrです。

◯4頂点を座標空間に

　O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(x₂,y₂,0)、C(x₃,y₃,z)

　と置きます。

◯体積は(1/6)×a×y₂×zです。

◯自明なOAを除いた5辺について、

　・x₂²+y₂²=B…(1)　(OB)

　・(x₂-a)²+y₂²=R…(2)　(AB)

　・x₃²+y₃²+z²=C…(3)　(OC)

　・(x₃-a)²+y₃²+z²=Q…(4)　(AC)

　・(x₃-x₂)²+(y₃-y₂)²+z²=P…(5)　(BC)

　が成立します。

　この5式から、x₂,y₂,x₃,y₃,zの5つの値を求めます。

　見た目に反して面倒です。

」

◯体積が0ということは、4頂点が同一平面上にあるということです。

◯4頂点を座標空間に

　O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(x₂,y₂,0)、C(x₃,y₃,z)

　と置いていることで、C(x₃,y₃,z)以外の3点はxy平面上です。

　よって、C(x₃,y₃,z)もxy平面上に置きます。

　つまり、z=0です。

◯4頂点ともxy平面上なので、z座標は無視できます。

　O(0,0)、A(a,0)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)

　となり、

◯自明なOAを除いた5辺について、

　・x₂²+y₂²=B…(1)　(OB)

　・(x₂-a)²+y₂²=R…(2)　(AB)

　・x₃²+y₃²=C…(3)　(OC)

　・(x₃-a)²+y₃²=Q…(4)　(AC)

　・(x₃-x₂)²+(y₃-y₂)²=P…(5)　(BC)

　が成立します。

式(1),(2)は変更なしで、

式(3)~(5)は左辺の「+z²」が無くなっただけです。

これらから導かれる式は、

・x₂=(A+B-R)/2a…(6)

・y₂²={(A+B+R)²-2(A²+B²+R²)}/4A…(7)

・x₃=(A+C-Q)/2a…(8)

・y₃²={(A+C+Q)²-2(A²+C²+Q²)}/4A…(9)

・x₃-x₂= - {(B-C)+(Q-R)}/2a…(10)

・4Ay₂y₃={B+C+Q+R-(A+2P)}A-(B-R)(C-Q)…(11)

・16A²y₂²y₃²

　　=A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²+(B-R)²(C-Q)²

　　　-2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}…(12)

・16A²y₂²y₃²

　　=(A+B+R)²(A+C+Q)²

　　　-4(AB+AR+BR)(A²+C²+Q²)

　　　-4(A²+B²+R²)(AC+AQ+CQ)…(13)

で、

・式(6)~(12)は変更なし

・式(13)は左辺が16A²y₂²(y₃²+z²)から16A²y₂²y₃²に変わりました。

◯式(13)-式(12)は

　16A²y₂²y₃²-16A²y₂²y₃²

　　={

　　　(A+B+R)²(A+C+Q)²

　　　-4(AB+AR+BR)(A²+C²+Q²)

　　　-4(A²+B²+R²)(AC+AQ+CQ)

　　}-(

　　　A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²+(B-R)²(C-Q)²

　　　-2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}

　　)

　と右辺は変わりません

◯左辺の16A²y₂²y₃²を相殺すると、

　左辺は0となります。

　0=(A+B+R)²(A+C+Q)²

　　-4(AB+AR+BR)(A²+C²+Q²)

　　-4(A²+B²+R²)(AC+AQ+CQ)

　　-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²

　　+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}

◯この式を前回と同様に変形すると、　

　-(ABR+ACQ+BCP+PQR)

　+AP{B+C+Q+R-(A+P)}

　+BQ{A+C+P+R-(B+Q)}

　+CR{A+B+P+Q-(C+R)}

　=0

となります。

正四面体 抵抗 1/2

　今回は正4面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めてみようと思います。

☆正4面体

　・正4面体の面は正三角形です。

　・正4面体の各頂点には3本の辺が集まります。

　・正4面体の辺の数は、

　　正三角形が4枚で、2つの正三角形が1つの辺を共有しているので、

　　3×4÷2=6本です。

　・正4面体の頂点の数は、

　　正三角形が4枚で、3つの正三角形が1つの頂点を共有しているので、

　　3×4÷3=4個です。

☆各頂点の位置関係

◯4頂点から2つ選ぶ組み合わせは、₄C₂=6通りで辺の数と同じです。

　つまり、全ての頂点同士が辺で繋がっています。

よって、頂点間の距離は1種類です。

☆繋がっている点

◯4頂点をそれぞれO,A,B,Cとすると、

　・O…A,B,C

　・A…O,B,C

　・B…O,A,C

　・C…O,A,B

　です。

☆抵抗と電位と電流

◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。

　今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。

◯2点間の合成抵抗を求めるときは、

　片方の電位を1,他方を0とします。

　また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。

◯ある2点間X→Yを流れる電流は、

　電位差(電圧)、X-Yです。

◯キルヒホッフの法則

　各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。

　ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、

　X₀ついての式は、抵抗が同じなので、

　aX₀=X₁+…+Xₐ

　と書けます。

◯合成抵抗

　回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。

　端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。

☆対蹠点同士の合成抵抗

◯正4面体の頂点間の位置関係は1種類です。

◯2点、O(1),A(0)からの距離を括弧内に表記します。

　・B,C(1,1)

　　の1種類で、O(1),A(0)からの距離が等しいので電位は1/2です。

　となります。

◯O(1)と繋がっている点はA,B,Cの3点です。

　よって、電流の和は、

　(O-A)+(O-B)+(O-C)

　=(1-0)+(1-1/2)+(1-1/2)

　=2

◯合成抵抗は1/2と求まりました。

また、各頂点の電位は、

・O(0,1)…1=2/2

・B,C(1,1)…1/2

・A(1,0)…0=0/2

です。

正多面体　合成抵抗　まとめ

『正多面体 合成抵抗 まとめ+概論』