5種類の正多面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めました。
| 距離・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距離 1 | 1/2 | 7/12 | 5/12 | 19/30 | 11/30 |
| 距離 2 | - | 3/4 | 1/2 | 9/10 | 7/15 |
| 距離 3 | - | 5/6 | - | 16/15 | 1/2 |
| 距離 4 | - | - | - | 17/15 | - |
| 距離 5 | - | - | - | 7/6 | - |
分母を60とした時は、
| 距離・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距離 1 | 30 | 35 | 25 | 38 | 22 |
| 距離 2 | - | 45 | 30 | 54 | 28 |
| 距離 3 | - | 50 | - | 64 | 30 |
| 距離 4 | - | - | - | 68 | - |
| 距離 5 | - | - | - | 70 | - |
です。
☆正多面体(全5種)
・正4面体(正3角錐)
・正6面体(立方体)
・正8面体(正3反角柱)
・正12面体
・正20面体
☆正多面体
・正多面体の面は順に、正3,4,3,5,3角形です。
・正多面体の各頂点には順に、3,3,4,3,5本の辺が集まります。
・正多面体の辺の数は、
正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、2つの面が1つの辺を共有しているので、
(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷2=(6,12,12,30,30)本です。
・正多面体の頂点の数は、
正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、3,3,4,3,5つの面が1つの頂点を共有しているので、
(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷(3,3,4,3,5)=(4,8,6,20,12)個です。
・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の 辺の数はそれぞれ12、30本で同じです。
・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の頂点の数は、
それぞれ8と6本、20と12本で面の数と入れ替わります(双対)。
・正4面体の頂点の数と面の数はどちらも4つで同じです(自己双対)。
☆抵抗と電位と電流
◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。
今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。
◯2点間の合成抵抗を求めるときは、
片方の電位を1,他方を0とします。
また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。
◯ある2点間X→Yを流れる電流は、
電位差(電圧)、X-Yです。
◯キルヒホッフの法則
各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。
ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、
X₀ついての式は、抵抗が同じなので、
aX₀=X₁+…+Xₐ
と書けます。
◯合成抵抗
回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。
端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。
各正多面体の詳細はこちら↓
↓次回
