京阪 '23平日ダイヤ下り7組目S0501S+B0501A&K0503A&R0603B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り7組目の列車

・普通S0501S…(出町柳5:36発→三条5:39着)

→特急B0501A…(三条5:40発→淀屋橋6:31着)

・準急K0503A…(出町柳5:21、萱島6:24発→淀屋橋6:40着)

・普通R0603B…(萱島6:17発→中之島6:56着)

について扱います。

◯車両

　3列車とも7両編成です。7両編成の特急はこの列車のみです(休日も同じ列車が7両編成)。

◯前運用と概要

　準急は三条2番線5:07発→出町柳5:11着の普通からの折り返しです。1番線に停泊しているのは8両編成(最終の特急三条ゆき→普通出町柳ゆき)、2番線の7両編成は5:00発の準急として出発済みなので、7両編成を三条から確保します(淀〜三条を含む各駅停車は8両編成充当不可)。

　普通→特急の前運用は淀5:00発の普通(5:29着)です。出町柳〜三条の特急通過駅が神宮丸太町のみなので、特急の特別停車という形です。理由として、次の各駅停車が三条仕立(5:46)で、出町柳仕立の各駅停車は5:21発の準急の次が5:52発の急行(七条まで各駅停車)と31分開くのを15,16分にするためです。

◯接続

　準急は枚方市まで前の準急の約20分後を走り、枚方市で出町柳を15分後に出発した普通→特急と接続します。4分停車します。

枚方市からは枚方市仕立の準急の約12分後を走ります。守口市・京橋で普通と接続します。

　普通→特急は準急の15分後に発車します。枚方市で準急と接続します。

　普通は萱島を準急の5分後、前の普通の11分後である6:17に発車します。

守口市で3分間(6:26~6:29)停車し、準急と接続します。

京橋では準急および枚方市仕立の特急と接続します。準急は約8分間隔です。

◯後運用

　普通→特急は前の準急の3分後に4番線に到着します。

後運用は6:36発の普通出町柳ゆきです。このため、8両編成は充てられません。特急(8000系、回送から)の2分前の発車です(京橋で接続せず、京橋→守口市で抜かれます)。

　準急は淀屋橋4番線に特急の9分後に到着します。

後運用は6:43発の準急樟葉ゆきで、3分の折り返しです。普通の7分後の発車で守口市で接続します。

また、特急(3000系、回送から)の6分前の発車です。

　普通は中之島1番線に到着します。到着6分前に普通樟葉ゆきが出ています。

後運用は7:04発の普通萱島ゆきで8分の折り返しです。

立方8面体 抵抗(4) 3つ離れた点 5/8

　前回は正12面体の正方形の対角線の合成抵抗を求めた結果、7/12となりました。

『立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24』

　今回は3番目に近い点の合成抵抗を求めます(5/8)。

◯3番目に近い点は図の中央付近のO(1)とC'(0)を選びます。

◯O(1),C'(0)からの距離は、

　・A(1,1)、A'(3,3)

　　…この2点は両点からの距離が等しいので電位は1/2です。

　・B(1,2)、E'(2,1)

　・C(1,4)、O'(4,1)

　・D(1,3)、D'(3,1)

　・E(2,3)、B'(3,2)

　です。

◯O(1)と辺で繋がっている頂点はA(1,1),B(1,2),C(1,4),D(1,3)の4点なので、

　電流の和は、

　(O-A)+(O-B)+(O-C)+(O-D)

　=(7/2)-(B+C+D)…(0)

　です。

◯B(1,2)についての式

　4B=O+A+E+D'=(3/2)+E+(1-D)

　E=4B+D-5/2…(1)

◯C(1,4)についての式

　4C=O+C+E+A'

　D=4C-E-3/2…(2)

◯D(1,3)についての式

　4D=O+C+E'+B'=1+C+(1-B)+(1-E)

　C=4D+B+E-3…(3)

◯E(2,3)についての式

　4E=B+C+D'+A'=B+C+(1-D)+1/2

　4E+D=B+C+3/2…(4)

B(1,2),C(1,4),D(1,3),E(2,3)の4文字についての

(1)~(4)の4本の式が立ちました。

連立方程式を解きます。

◯式(1)を式(3)に代入

　C=4D+B+E-3

　C=4D+B+(4B+D-5/2)-3

　C=5D+5B-11/2…(5)

◯式(1),(5)を式(2)に代入

　D=4C-E-3/2

　D=4×(5D+5B-11/2)-(4B+D-5/2)-3/2

　D=19D+16B-21

　18D+16B=21…(6)

◯式(1),(5)を式(4)に代入

　4E+D=B+C+3/2

　4×(4B+D-5/2)+D=B+(4D+B+E-3)+3/2

　16B+4D-10+D=4D+2B+E-3/2

　14B+D=E+17/2

◯式(1)を代入

　14B+D=(4B+D-5/2)+17/2

　10B=6

　B=3/5…(7)

◯式(7)を式(6)に代入

　18D+16B=21

　18D+16×(3/5)=21

　18D=21-48/5

　18D​​​​​​​=57/5

　D​​​​​​​=19/30…(8)

◯式(7),(8)を式(1)に代入

　E=4B+D-5/2

　E=4×(3/5)+19/30-5/2

　E=(72+19-75)/30

　E=8/15…(9)

◯式(7),(8)を式(5)に代入

　C=5D+5B-11/2

　C=5×(19/30)+5×(3/5)-11/2

　C=(19+18-33)/6

　C=2/3…(10)

◯式(7),(8),(10)を式(0)に代入すると、電流の和は、

　(7/2)-(B+C+D)

　=(7/2)-{(3/5)+(2/3)+(19/30)}

　=(105-18-20-19)/30

　=48/30=8/5

◯よって合成抵抗は5/8になりました。

　対蹠点の値2/3より小さくなっています。

◯各頂点の電位

・O(0,3)…1=30/30

・C(1,4)…2/3=20/30

・D(1,3)…19/30

・B(1,2)…3/5…18/30

・E(2,3)…8/15…16/30

・A(1,1)、A'(3,3)…1/2=15/30

・B'(3,2)…7/15=14/30

・E'(2,1)…2/5…12/30

・O'(4,1)…1/3…10/30

・C'(3,0)…0=0/30

になりました。

立方8面体の合成抵抗は、

・1…11/24

・2…7/12=14/24

・3…5/8=15/24

・4…2/3=16/24

と求まりました。

立方8面体　抵抗

『立方8面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 2/3』

『立方8面体 抵抗(2) 辺 11/24』

『立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24』

立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24

　前回は正12面体の辺の合成抵抗を求めた結果、11/24となりました。

『立方8面体 抵抗(2) 辺 11/24』

　今回は正方形の対角線の合成抵抗を求めます(7/12)。 

◯正方形の対角線は図の中央付近のO(1)とE(0)を選びます。

◯O(1),E(0)からの距離は、

　・B,C(1,1)、B',C'(3,3)

　　…この2点は両点からの距離が等しいので電位は1/2です。

　・A,D(1,3)、A',D'(3,1)

　・E'(2,4)、O'(4,2)

　です。

◯O(1)と辺で繋がっている頂点はA(1,3),B(1,1),C(1,1),D(1,3)の4点なので、

　電流の和は、

　(O-A)+(O-B)+(O-C)+(O-D)

　=3-2A…(0)

　です。

◯A(1,3)についての式

　4A=O+B+E'+C'=2+E'

　E'=4A-2…(1)

◯E'(2,4)についての式

　4E'=A+D+B'+C'

　4E'=2A+1…(2)

A(1,3),E'(2,4)の2文字についての

(1)~(2)の4本の式が立ちました。

連立方程式を解きます。

◯式(1)を式(2)に代入

　4E'=2A+1

　4×(4A-2)=2A+1

　14A=9

　A=9/14…(3)

◯式(3)を式(1)に代入

　E'=4A-2

　E'=4×(9/14)-2

　E'=4/7…(4)

◯式(3)を式(0)に代入すると、電流の和は、

　3-2A

　=3-2×(9/14)

　=12/7

◯よって合成抵抗は7/12になりました。

　前回の辺の値11/24より大きくなっています。

◯各頂点の電位

・O(0,2)…1=14/14

・A,D(1,3)…9/14

・E'(2,4)…4/7=8/14

・B,C(1,1),B',C'(3,3)…1/2=7/14

・O'(4,2)…3/7=6/14

・A',D'(3,1)…5/14

・E(2,0)…0=0/14

になりました。

　次回は3番目の距離の合成抵抗を求めていきます(5/8)。

『立方8面体 抵抗(4) 3つ離れた点 5/8』

立方8面体　抵抗

『立方8面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 2/3』

『立方8面体 抵抗(2) 辺 11/24』

立方8面体 抵抗(2) 辺 11/24

　前回は正12面体の対蹠点同士の合成抵抗を求めた結果、2/3となりました。

『立方8面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 2/3』

　今回は隣合う2点の合成抵抗を求めます(11/24)。

◯隣合う2点は図の中央付近のO(1)とB(0)を選びます。

◯O(1),B(0)からの距離は、

　・A(1,1)、A'(3,3)

　　…この2点は両点からの距離が等しいので電位は1/2です。

　・C(1,2)、E(2,1)

　・D(1,3)、D'(3,1)

　・E'(2,3)、C'(3,2)

　・B'(3,4)、O'(4,3)

　です。

◯O(1)と辺で繋がっている頂点はA(1,1),B(0),C(1,2),D(1,3)の4点なので、

　電流の和は、

　(O-A)+(O-B)+(O-C)+(O-D)=4-(1/2+0+C+D)

　=(7/2)-(C+D)…(0)

　です。

◯C(1,2)についての式

　4C=O+D+E+A'=1+1/2+D+(1-C)

　D=5C-(5/2)…(1)

◯D(1,3)についての式

　4D=O+C+E'+B'

　4D=1+C+E'+B'…(2)

◯E'(2,3)についての式

　4E'=A+D+B'+C'=(1/2)+D+B'+(1-E')

　5E'=D+B'+3/2…(3)

◯B'(3,4)についての式

　4B'=D+E'+A'+O'=D+E'+(1/2)+(1-B')

　5B'=D+E'+3/2…(4)

C(1,2),D(1,3),E'(2,3),B'(3,4)の4文字についての

(1)~(4)の4本の式が立ちました。

連立方程式を解きます。

◯式(1)を式(2)に代入

　4D=1+C+E'+B'

　4×(5C-5/2)=1+C+E'+B'

　19C=E'+B'+11…(5)

◯式(1)を式(3)に代入

　5E'=D+B'+3/2

　5E'=(5C-5/2)+B'+3/2

　5E'=5C+B'-1…(6)

◯式(1)を式(4)に代入

　5B'=D+E'+3/2

　5B'=(5C-5/2)+E'+3/2

　5B'=5C+E'-1

　E'=5B'-5C+1…(7)

◯式(7)を式(5)に代入

　19C=E'+B'+11

　19C=(5B'-5C+1)+B'+11

　24C-6B'=12

　4C-B'=2

　B'=4C-2…(8)

◯式(7)を式(6)に代入

　5E'=5C+B'-1

　5×(5B'-5C+1)=5C+B'-1

　24B'-30C=-6

　4B'-5C=-1…(9)

◯式(8)を式(9)に代入

　4B'-5C=-1

　4×(4C-2)-5C​​​​​​​=-1

　11C​​​​​​​=7

　C​​​​​​​=7/11…(10)

◯式(10)を式(8)に代入

　B'=4C-2

　B'=4×(7/11)-2

　B'=6/11…(11)

◯式(10),(11)を式(7)に代入

　E'=5B'-5C​​​​​​​+1

　E'=5×(6/11)-5×(7/11)​​​​​​​+1

　E'=6/11…(12)

◯式(10)を式​​​​​​​(1)に代入

　D=5C-(5/2)

　D=5×(7/11)-(5/2)

　D=15/22…(13)

◯式(10),(13)を式​​​​​​​(0)に代入すると、電流の和は、

　(7/2)-(C+D)

　=(7/2)-(7/11+15/22)

　=48/22=24/11

◯よって合成抵抗は11/24になりました。

　前回の対蹠点の値2/3=16/24より小さくなっています。

◯各頂点の電位

・O(0,1)…1=22/22

・D(1,3)…15/22

・C(1,2)…7/11=14/22

・E'(2,3),B'(3,4)…6/11=12/22

・A(1,1),A'(3,3)…1/2=11/22

・C'(3,2),O'(4,3)…5/11=10/22

・E(2,1)…4/11=8/22

・D'(3,1)…7/22

・B'(1,0)…0=0/22

になりました。

E'(2,3)とB'(3,4)、C'(3,2)とO'(4,3)が等しくなりました。​​​​​​​

　次回は面の対角線の合成抵抗を求めていきます(7/12)。

『立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24』

 立方8面体　抵抗

『立方8面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 2/3』

『立方8面体 抵抗(4) 3つ離れた点 5/8』

立方8面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 2/3

　今回は立方8面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めてみようと思います。

☆立方8面体

　・立方8面体の面は正方形6枚と正3角形8枚です。

　・立方8面体の各頂点には4本の辺が集まり、

　　正3角形2枚と正方形2枚が交互に集まります。

　・正12面体の辺の数は、

　　正方形6枚と正3角形8枚で、2つの面が1つの辺を共有しているので、

　　(4×6+3×8)÷2=24本です。

　・正12面体の頂点の数は、

　　頂点が立方体・正8面体の辺の中点なので、12点です。

☆各頂点の位置関係

　・ある頂点Oから

　　・1番近い点は、辺で繋がっている4点です。

　　　これらをA,B,C,Dとします。

　　　この4点を結んでできる長方形は、​縦横比1:√2です。

　　　AB,CDを1、BC,DAを√2とします。

　　　AB,CDは辺で繋がっています。

　　・2番目に近い点は、正方形の対角線となる2点です。

　　　この2点は対蹠点同士になっています。

　　　B,Cと繋がっている方をE、D,Aと繋がっている方をE'とします。

　・3番目に近い点は、

　　1番近い点の対蹠点である、A',B',C',D'の4点です。

　　A,B,C,Dと同様にA'B',C'D'が繋がっています。

　・1番近い点と3番目に近い点では、

　　4個のうち反対の文字(2つ違い)同士が繋がっています。

　・4番目に近い点はOの対蹠点O'です。

よって、頂点間の距離は4種類です。

☆繋がっている点

　・O…A,B,C,D

　・A…O,B,E',C'

　・B…O,A,E,D'

　・C…O,D,E,A'

　・D…O,C,E',B'

※各対蹠点については'の有無が変わるだけです。

☆抵抗と電位と電流

◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。

　今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。

◯2点間の合成抵抗を求めるときは、

　片方の電位を1,他方を0とします。

　また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。

◯ある2点間X→Yを流れる電流は、

　電位差(電圧)、X-Yです。

◯キルヒホッフの法則

　各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。

　ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、

　X₀ついての式は、抵抗が同じなので、

　aX₀=X₁+…+Xₐ

　と書けます。

◯合成抵抗

　回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。

　端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。

☆対蹠点同士の合成抵抗

◯立方8面体の頂点間の位置関係は4種類です。

◯点の振り方から、合成抵抗を求めるのが最も簡単なのが対蹠点だと思います。

◯対蹠点同士の2点、O(1),O'(0)からの距離を括弧内に表記します。

　・A(1,3)、B(1,3)、C(1,3)、D(1,3)

　・E(2,2)、E'(2,2)

　・A'(3,1)、B'(3,1)、C'(3,1)、D'(3,1)

となります。

◯距離が同じ点同士は電位が等しいので、

　・A=B=C=D

　・E=E'=1/2

　・A'=B'=C'=D'

です。

◯距離が逆な点同士の電位を足すと1になるので、

　・A+A'=1

です。

◯O(1)と繋がっている点はA,B,C,Dの4点です。

　よって、電流の和は、

　(O-A)+(O-B)+(O-C)+(O-D)=(1-A)+(1-A)+(1-A)+(1-A)

　=4(1-A)…(0)

　です。

◯A(1,3)についての式

　4A=O+B+E'+C'=1+A+1/2+(1-A)

　4A=5/2

　A=5/8…(1)

◯式(1)を式(0)に代入すると電流の和は、

　4(1-A)

　=4×(1-5/8)=3/2

◯合成抵抗は2/3と求まりました。

また、各頂点の電位は、

・O(0,4)…1=8/8

・A,B,C,D(1,3)…5/8

・A',B',C',D'(3,1)…3/8

・O'(4,0)…0=0/8

です。

次回は辺の合成抵抗について求めていきます(11/24)。

『立方8面体 抵抗(2) 辺 11/24』

『立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24』

『立方8面体 抵抗(4) 3つ離れた点 5/8』

京阪 '23平日ダイヤ下り6組目M0601A&R0601B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り6組目の列車

・準急M0601A…(枚方市3番線6:00、萱島6:12発→淀屋橋6:28着)

・普通R0601B…(萱島6:06発→中之島6:44着)

について扱います。

◯車両

　準急は7両編成、普通は8両編成です。

◯準急は枚方市3番線の停泊です。

　なお、淀6:00仕立(2本あと)の準急も存在しますが、枚方市仕立がM0601A、淀仕立てがM0603Aです。

◯接続

　準急は前の準急の約12分後を走り、守口市・京橋で普通と接続します。

　普通は準急の6分後、前の普通の11分後(6:06)に萱島を発車します。

守口市・京橋でそれぞれ4分(6:15~19)、4分(6:30~34)停車し、準急と接続します。

守口市→京橋で特急に抜かれます。準急は約12分間隔です。

◯後運用

　準急は淀屋橋3番線に到着します。なお、3番線は到着5分前に快速急行出町柳ゆき(6:23発)が出ています。

4番線は区間急行萱島ゆき(6:19発)なので、5分間は在線なしになります。

後運用は準急出町柳ゆきで4分の折り返しです。快速急行の9分後、特急の6分前です。

　普通は中之島1番線に到着します。到着7分前に普通樟葉ゆきが出ています。

後運用は6:50発の普通樟葉ゆきで6分の折り返しです。

京阪 '23平日ダイヤ下り5組目K0501A&R0509B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り5組目の列車

・準急K0501A…(出町柳5:00、萱島6:00発→淀屋橋6:16着)

・普通R0509B…(萱島5:55発→中之島6:33着)

について扱います。

◯車両

　準急は7両編成、普通は8両編成です。

◯準急は出町柳2番線の停泊(7両編成)です。1番線は8両編成(5:52発急行淀屋橋ゆき)が停泊しています。

◯接続

　この列車が出町柳〜中書島の下り初発です。

　準急は淀まで30分、樟葉まで40分、萱島まで1時間かけて各駅に停まります。

　淀は前の準急の27分後、樟葉・香里園・守口市は区間急行の18・13・7分後を走ります。

　普通は区間急行の7分後、準急の5分前(5:55)に萱島を発車します。

守口市・京橋でそれぞれ3分(6:03~06)、6分(6:17~23)停車し、準急と接続します。準急は約12分間隔です。

◯後運用

　準急は淀屋橋4番線に到着します。なお、4番線は到着5分前に急行出町柳ゆき(6:11発)が出ています。

後運用は区間急行萱島ゆき(6:19発)で、3分の折り返しです。3番線での区間急行→快速急行(6:10→6:23)の折り返しの間に出発します。

　普通は中之島1番線に到着します。到着11分前に普通枚方市ゆきが出ています。

後運用は6:37発の普通樟葉ゆきで4分の折り返しです。

京阪 '23平日ダイヤ下り4組目P0503A&F0501A&R0507B

　今回は平日ダイヤ(711)の下り4組目の列車

・区間急行P0503A…(樟葉5:22、萱島5:48発→淀屋橋6:10着)

・急行F0501A…(樟葉5:27発→淀屋橋6:00着)

・普通R0507B…(萱島5:36発→中之島6:15着)

について扱います。

◯車両

　区間急行・急行は8両編成、普通は7両編成です。

◯区間急行・急行はともに淀から樟葉への回送からの運用です。区間急行は3番線、急行は4番線発です。

◯接続

　区間急行と急行はどちらも樟葉仕立であり、連続して樟葉仕立が走ります。なお、朝に4組存在します。

　区間急行は準急の9分後(5:22)に発車します。香里園で4分停車し、樟葉時点で5分後(5:27)の急行と接続します。

京橋では急行の10分後(6:03)に発着し、普通中之島ゆきと接続します。

　急行は樟葉を区間急行の5分後(5:27)に発車します。

香里園で区間急行と、守口市・京橋で普通中之島ゆきと接続します。

　普通は準急の3分後、前の普通の8分後である5:36に萱島を発車します。

　普通は守口市で6分(45~51)停車し、急行と接続します。また、京橋で3分(02~05)停車し、

守口市を6分後に発車した区間急行と接続します。

◯後運用

　急行は淀屋橋4番線に到着します。なお、4番線は急行の到着2分前に準急出町柳ゆき(5:58発)が出ています。

後運用は急行出町柳ゆき(6:11発)で、13分の折り返しです。

　区間急行は淀屋橋3番線に到着します。停泊の5:52発の普通出町柳ゆきと当列車の間に3000系の特急(回送→6:08発)が発車します。

後運用は6:23発の快速急行出町柳ゆきで13分の折り返しです。この折返しの間に4番線で準急→区間急行(6:16→19)の折り返しが行われます。

　普通は中之島1番線に到着します。到着3分前に普通出町柳ゆきが出ています。

後運用は6:22発の普通枚方市ゆきで8分の折り返しです。

正多面体の座標・体積・表面積・内外接球の半径・中心角

正多面体についてまとめてみました

☆正多面体(全5種)

　・正4面体(正3角錐)

　・正6面体(立方体)

　・正8面体(正3反角柱)

　・正12面体

　・正20面体

☆正多面体の面・辺・頂点と双対関係

特徴・正〇面体	正4面体	正6面体 立方体	正8面体	正12面体	正20面体
面の形 と数	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
辺の数	6本	12本	12本	30本	30本
頂点ごとの 辺の数	3本	3本	4本	3本	5本
頂点の数	4個	8個	6個	20個	12個

　・正多面体の面の形は順に、正3,4,3,5,3角形です。

　・正多面体の各頂点には順に、3,3,4,3,5本の辺が集まります。

　・正多面体の辺の数は、

　　正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、2つの面が1つの辺を共有しているので、

　　(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷2=(6,12,12,30,30)本です。

　・正多面体の頂点の数は、

　　正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、3,3,4,3,5つの面が1つの頂点を共有しているので、

　　(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷(3,3,4,3,5)=(4,8,6,20,12)個です。

　・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の　辺の数はそれぞれ12、30本で同じです。

　・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の頂点の数は、

　　それぞれ8と6本、20と12本で面の数と入れ替わります(双対)。

　・正4面体の頂点の数と面の数はどちらも4つで同じです(自己双対)。

☆正多面体の座標

座標・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
係数	1/2√2	1/2	1/√2	1/2	1/2
座標1	(1,1,1)	(±1,±1,±1)	-	(±φ,±φ,±φ)	-
座標2	(1,-1,-1)	-	(±1,0,0)	(0,±1,±φ²)	(0,±1,±φ)
座標3	(-1,1,-1)	-	(0,±1,0)	(±φ²,0,±1)	(±φ,0,±1)
座標4	(-1,-1,1)	-	(0,0,±1)	(±1,±φ²,0)	(±1,±φ,0)

　・正4面体(正3角錐)

　　…(1/2√2)×{(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)}

　・正6面体(立方体)

　　…(1/2)×(±1,±1,±1)

　・正8面体(正3反角柱)

　　…(1/√2)×{(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)}

　・正12面体

　　…(1/2)×{(±φ,±φ,±φ),(±1,±φ²,0),(0,±1,±φ²),(±φ²,0,±1)}

　・正20面体

　　…(1/2)×{(±1,±φ,0),(0,±1,±φ),(±φ,0,±1)}

・立方体は各頂点、x,y,zの3座標の絶対値が揃っています。

　3つの座標軸の符号が正負2種類ずつの8点です。

　各座標の絶対値を１とした時、隣合う2点の距離が2なので、

　座標全体を2で割り、係数を1/2とします。

・正4面体の頂点は、立方体の8頂点のうち互いに隣り合わない4頂点です。

　正4面体の辺は立方体の面の対角線(辺の√2倍)なので、

　立方体(係数1/2)からさらに√2で割るので、係数は1/(2√2)~0.3536です。

　各頂点の座標の符号は、1点は全て揃い、

　　他の3点は各1座標のみ、揃った1点の符号になります。

・正8面体の頂点は、各軸上に正負2点ずつの6点です。

　各頂点の座標の絶対値は等しく、

　各座標の絶対値を１とした時、隣合う2点の距離が√2なので、

　座標全体を√2で割るので、係数は1/(√2)~0.7071です。

・正20面体の頂点間の距離は3種類あり、

　辺(長さ1、5点)、5角形の対角線(長さφ、5点)、対蹠点(1点)です。

　正20面体の各頂点は同一球面上にあるので、

　円周角の定理より、辺と5角形の対角線は垂直です。

　よって、正20面体の4頂点を結ぶと長方形になることがあります。

　また、1²+φ²+(φ-1)²=φ⁻²+1+φ²

　　={F(2)+(-1)²⁺¹F(2)}φ+F(2-1)+(-1)²F(2+1)+1

　　=(1-1)φ+1+2+1=4=2²

　1²+φ²+(φ+1)²=1+φ²+φ⁴=(2φ)²

　より、座標の軸を1つずつずらすと、これら3種類の長さのみ出現します。

・正12面体

　正12面体の頂点間の距離は5種類あり、

　最も短いのは辺で長さを1とすると、次に短いのは面の対角線で長さはφです。

　隣合う2面について考えると、正5角形全体、正5角形の台形部分と三角形の部分の高さの比は(φ+1=φ²):φ:1なので、

　4番目に短いのは面の対角線φのφ倍である、φ²となります。

　対蹠点の距離は、円周角の定理より、辺と4番目に短い距離でできる直角三角形の斜辺なので、

　√{1²+(φ²)²}=√(3φ+3)=(√3)×φとなります。

　また、2,3,5番目の距離も直角三角形なので、3番目の辺の長さは、

　√({(√3)×φ}²-φ²)=(√2)×φとなります。

　　φ²+φ²+0²={(√2)×φ}²

　　φ²+φ²+φ²={(√3)×φ}²

　　1²+(φ²)²+0²={(√3)×φ}²

　　1²+(φ²)²+(φ²+1)²={(2√2)×φ}²

　　1²+(φ²)²+(φ²-1)²=(2φ)²

　　φ²+(φ+φ²)²+(φ+1)²=(2φ²)²

　　φ²+(φ+φ²)²+(φ-1)²={(2√2)×φ}²

　　φ²+(φ-φ²)²+(φ+1)²=(2φ)²

　　φ²+(φ-φ²)²+(φ-1)²=2²

　より、1辺φの立方体と正20面体のようなもの(φ→φ²)を組合せたものになります。

☆正多面体の計量

計量・正〇面体	正4面体	正6面体	正8面体	正12面体	正20面体
体積	(√2)/12 0.1179	1	(√2)/3 0.4714	(7/2)φ+2 7.6631	(5/6)φ² 2.1817
表面積	√3 1.7321	6	2√3 3.4641	(3√5)×√(3+4φ) 20.6457	5√3 8.6603
内接球の半径	(√6)/12 0.2041	1/2 0.5	(√6)/6 0.4082	{(√5)/10}×√(7+11φ) 1.1135	{(√3)/6}×φ² 0.7558
外接球の半径	(√6)/4 0.6124	(√3)/2 0.8660	(√2)/2 0.7071	{(√3)/2}×φ 1.4013	(1/2)×√(2+φ) 0.9511

☆正多面体の体積

　・正4面体(正3角錐)…(2³-4×2³/6)/(2√2)³

　　=(√2)/12~0.1179

　・正6面体(立方体)…2³/2³=1

　・正8面体(正3反角柱)…(2³/6)/(√2)³

　　=(√2)/3~0.4714

　・正12面体…{(2φ)³+6×(φ²-φ)×{(2φ)×(2φ-2)/3+(2φ)×2/2}}/2³

　　=(8φ³+6×1×{(4φ²-4φ)/3+4φ/2})/2³

　　=(8φ³+{2×(4φ²-4φ)+3×4φ})/2³

　　=(8φ³+8φ²-8φ+12φ)/2³

　　={8(2φ+1)+8(φ+1)+4φ}/2³

　　=(16φ+8+8φ+8+4φ)/2³

　　=(28φ+16)/2³

　　=(7/2)φ+2~7.6631

　・正20面体…(20×2×φ×φ/6)/2³

　　=(5/6)φ²=(5/6)×(φ+1)~2.1817

☆正多面体の表面積

　◯正多角形の面積は、

　　・正3角形…(1/2)×1²×sin60°

　　　=(√3)/4~0.4330

　　・正方形…1²=1

　　・正5角形…{(√5)/4}×√(3+4φ)~1.7205

　　なので、

　・正4面体…4×(√3)/4

　　=√3~1.7321

　・立方体…6×1=6

　・正八面体…8×(√3)/4

　　=2√3~3.4641

　・正12面体…12×{(√5)/4}×√(3+4φ)

　　=(3√5)×√(3+4φ)~20.6457

　・正20面体…20×(√3)/4

　　=5√3~8.6603

☆正多面体の内接球の半径

　内接球の半径は体積の3倍を表面積で割ったものです。

　・正4面体…3×{(√2)/12}÷(√3)

　　=(√6)/12~0.2041

　・立方体…3×1÷6=1/2=0.5

　・正8面体…3×{(√2)/3}÷(2√3)

　　=(√6)/6~0.4082

　・正12面体…3×{(7/2)φ+2}÷{(3√5)×√(3+4φ)}

 　　={(√5)/10}×√(7+11φ)~1.1135

　・正20面体…3×{(5/6)×(φ+1)}÷(5√3)

 　　={(√3)/6}×(φ+1)~0.7558

☆正多面体の外接球の半径

　・正4面体

　　内接球の半径と外接球の半径の和が高さになります。高さは(√6)/3であるから、外接球の半径は、

　　{(√6)/3} - {(√6)/12}

　　=(√6)/4~0.6124

　・正4面体以外

　　外接球の直径は最も遠い点(対蹠点)同士の距離です。

　　対蹠点と他の1点で作られる三角形は円周角の定理より直角三角形です。

　・立方体…(1/2)×√{1²+(√2)²}

　　=(√3)/2~0.8660

　・正8面体…(1/2)×√(1²+1²)

　　=(√2)/2~0.7071

　・正12面体…(1/2)×√{1²+(φ²)²}

　　={(√3)/2}×φ~1.4013

　・正20面体…(1/2)×√(1²+φ²)

　　=(1/2)×√(2+φ)~0.9511

☆頂点の中心角

　頂点の中心角は等辺が外接球の半径で底辺が2点間の距離である二等辺三角形の頂角です。

　・正4面体…Cos⁻¹{(2×{(√6)/4}²-1²)/(2×{(√6)/4}²)}

　　=Cos⁻¹(-1/3)~109.4712

　・立方体…Cos⁻¹{(2×{(√3)/2}²-1²)/(2×{(√3)/2}²)}

　　=Cos⁻¹(1/3)~70.5288

　・正8面体…Cos⁻¹{(2×{(√2)/2}²-1²)/(2×{(√2)/2}²)}

　　=Cos⁻¹(0)=90°

　・正12面体…Cos⁻¹{(2×({(√3)/2}φ)²-1²)/(2×({(√3)/2}φ)²)}

　　=Cos⁻¹{(2φ-1)/3}=Cos⁻¹{(√5)/3}~41.8103

　・正20面体…Cos⁻¹{(2×{(1/2)×√(2+φ)}²-1²)/(2×{(1/2)×√(2+φ)}²)}

　　=Cos⁻¹{(2φ-1)/5}=Cos⁻¹{(√5)/5}~63.4349

切頂多面体(体積、外接球の半径)

　今回は多面体から切頂多面体を作っていきます。

　切頂多面体は多面体の頂点部分を少し切り落とすことで、

多面体の面(正3,4,3,5,3角形)を正2n角形(正6,8,6,10,6角形)にします。

　切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。

〇切頂多面体の面の数は多面体の面の数(4,6,8,12,20枚) (正6,8,6,10,6角形)

　と多面体の頂点の数(=断面の数)(4,8,6,20,12枚) (正3,3,4,3,5角形)

　の和(8,12,12,32,32枚)です。

　双対な多面体は面の数と頂点の数が入れ替わるので、

　切頂6面体と切頂8面体、切頂12面体と切頂20面体の面の数は等しいです。

〇切頂多面体の頂点の数は多面体の辺の数(6,12,12,30,30本)

　の2倍(12,24,24,60,60個)です。

　双対な多面体は辺の数が等しいので、

　切頂6面体と切頂8面体、切頂12面体と切頂20面体の頂点の数は等しいです。

　各頂点には、多面体由来の正6,8,6,10,6角形2枚

　と断面の正3,3,4,3,5角形1枚の3枚が集まります。

〇切頂多面体の辺の数は、多面体の辺の数(6,12,12,30,30本)

　の3倍(18,36,36,90,90個)です。

　多面体由来の辺(6,12,12,30,30本)は、多面体由来の正6,8,6,10,6角形2枚

　他の辺(12,24,24,60,60本)は、断面の正3,3,4,3,5角形

　と多面体由来の正6,8,6,10,6角形にはさまれます。

『正2n角形 (n=3,4,5)』

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
正多面体 　の面	正3角形 4枚	正方形 6枚	正3角形 8枚	正5角形 12枚	正3角形 20枚
切頂多面体 　の面	正6角形 4枚	正8角形 6枚	正6角形 8枚	正10角形 12枚	正6角形 20枚
切頂多面体 の断面	正3角形 4枚	正3角形 8枚	正方形 6枚	正3角形 20枚	正5角形 12枚
切落とす 立体 とその体積	正3角錐 (正4面体) (√2)/12 4個	3角錐 (頂角90°) (√2)/24 8個	正4角錐 (√2)/6 6個	3角錐 (頂角108°) (2-φ)/12 20個	正5角錐 (φ+2)/12 12個
切落とす長さ 　　残る長さ	1/3 1/3	1/(2+√2) (√2)/(2+√2)	1/3 1/3	1/(2+φ) φ/(2+φ)	1/3 1/3
拡大率 拡大率の3乗	3倍 27倍	(1+√2)倍 (7+5√2)倍	3倍 27倍	√5倍 5√5倍	3倍 27倍

　切り落とす長さは正多面体の面の形で変わります。

　・正3角形…1/3

　・正方形…1/(2+√2)

　・正5角形…1/(2+φ)

　切り落とした残りの辺の長さが1になるように、

全体を拡大します。拡大率は、

　・正3角形…3倍

　・正方形…(1+√2)倍

　・正5角形…(√5)倍

です。

　このとき、切り落とした部分の形は底面が正多角形で側面が二等辺三角形の錐体であり、
個数は正多面体の頂点の数(4,8,6,20,12個)です。

　底面は辺の長さが1で、形は頂点に集まる辺の数で変わります(正3,3,4,3,5角形)。

　側面は底辺の長さが1で頂角は正多面体の面の頂角と同じです(60,90,60,108,60°)。

◯頂角が60°(正4,8,20面体)の二等辺三角形は正3角形で、底面はそれぞれ正3,4,5角形です。

『正角錐』

体積は、

　・正3角錐(正4面体)…(√2)/12

　・正4角錐…(√2)/6

　・正5角錐…(φ+2)/12

です。

◯頂角が90°なのは正6面体(立方体)で、底面は正3角形です。

　側面が直角二等辺三角形になるので、側面の辺の長さは1/(√2)です。

　正3角形の中心から頂点への距離は1/(√3)なので、高さは、

　√{(1/2)-(1/3)}=(√6)/6で、

正3角形の面積が(√3)/4なので、体積は、

　(1/3)×{(√3)/4}×{(√6)/6}=(√2)/24です。

これは、直交する3軸の長さが(1/√2)の三角錐なので、

(1/6)×(1/√2)³=(√2)/24と求めることもできます。

◯頂角が108°なのは正12面体で、底面は正3角形です。

　正5角形の対角線の長さは辺のφ倍なので、

対角線の長さが1のとき、辺の長さはφ⁻¹=φ-1です。

　正3角形の中心から頂点への距離は1/(√3)なので、高さは、

　√{(φ-1)²-(1/3)}

　=√{(2-φ)-(1/3)}

　={(√3)/3}×√{3(2-φ)-1}

　={(√3)/3}×√(5-3φ)

　={(√3)/3}×φ⁻²

　={(√3)/3}×(2-φ)で、

正3角形の面積が(√3)/4なので、体積は、

　(1/3)×{(√3)/4}×{(√3)/3}×(2-φ)=(2-φ)/12です。

切頂〇面体	切頂4面体	切頂6面体	切頂8面体	切頂12面体	切頂20面体
正多面体 の体積	(√2)/12 0.1179	1	(√2)/3 0.4714	(7φ+4)/2 7.6631	(5/6)×φ² 2.1817
切頂多面体 の体積	(23/12)×√2 2.7106	(7/3)×(3+2√2) 13.5997	8√2 11.3137	(5/6)×(47φ+26) 85.0397	(43φ+41)/2 55.2877
切頂多面体 の体積 (拡大なし)	(23/324)×√2 0.1004	(7/3)×{(√2)-1} 0.9665	(8/27)×√2 0.4190	(1/30)×(99φ+68) 7.6062	(43φ+41)/54 2.0477
体積比 (拡大なし)	23/27 0.8519 0.(851)	(7/3)×{(√2)-1} 0.9665	8/9 0.8889 0.(8)	(1/15)×(16φ-11) 0.9926	(2φ+41)/45 0.9830
正多面体の 外接球の半径	(√6)/4 0.6124	(√3)/2 0.8660	(√2)/2 0.7071	{(√3)/2}×φ 1.4013	(1/2)×√(2+φ) 0.9511
切頂多面体の 外接球の半径	(√22)/4 1.1726	(1/2)×√(7+4√2) 1.7788	(√10)/2 1.5811	(1/2)×√(15φ+11) 2.9694	(1/2)×√(9φ+10) 2.4780
切頂多面体の 外接球の半径 (拡大なし)	(√22)/12 0.3909	(1/2)×√(5-2√2) 0.7368	(√10)/6 0.5270	{(√5)/10}×√(15φ+11) 1.3280	(1/6)×√(9φ+10) 0.8260
外接球の半径 の比 (拡大なし)	(√33)/9 0.6383	{(√3)/3}×√(5-2√2) 0.8508	(√5)/3 0.7454	{(√15)/15}×√(4φ+7) 0.9477	{(√5)/15}×√(8φ+21) 0.8685

☆切頂多面体の体積

　切頂多面体の体積は、正多面体の体積を面の形に応じた倍率に拡大(体積は倍率の3乗)し、錐体を頂点の数だけ引きます。

◯切頂4面体

　正4面体の体積は(√2)/12で、拡大率は3(体積は27倍)です。

切り落とすのは正3角錐(正4面体)4つです。よって、体積は、

　3³×{(√2)/12}-4×{(√2)/12}

　=(23/12)×√2~2.7106

です。

◯切頂6面体

　正6面体(立方体)の体積は1で、拡大率は1+√2(体積は7+5√2倍)です。

切り落とすのは頂角が90°の3角錐(体積(√2)/24)8つです。よって、体積は、

　(1+√2)³×1-8×{(√2)/24}

　=(7+5√2)-(√2)/3

　=(7/3)×(3+2√2)~13.5997

です。

◯切頂8面体

　正8面体の体積は(√2)/3で、拡大率は3(体積は27倍)です。

切り落とすのは正4角錐(体積(√2)/6)6つです。よって、体積は、

　3³×{(√2)/3}-6×{(√2)/6}

　=9√2-√2

　=8√2~11.3137

です。

◯切頂12面体

　正12面体の体積は(7φ+4)/2で、拡大率は√5(体積は5√5倍)です。

切り落とすのは頂角が108°の3角錐(体積(2-φ)/12)20個です。

　よって、体積は、

　(√5)³×{(7φ+4)/2}-20×{(2-φ)/12}

　=(5/2)×(√5)×(7φ+4)-(5/3)×(2-φ)

　=(5/2)×(2φ-1)×(7φ+4)-(5/3)×(2-φ)

　=(5/2)×(15φ+10)-(5/3)×(2-φ)

　=(5/6)×{3(15φ+10)-2(2-φ)}

　=(5/6)×(47φ+26)~85.0397

です。

◯切頂20面体

　正20面体の体積は(5/6)×(φ+1)で、拡大率は3(体積は27倍)です。

切り落とすのは正5角錐(体積(φ+2)/12)12個です。よって、体積は、

　3³×{(5/6)×(φ+1)}-12×{(φ+2)/12}

　=(45/2)×(φ+1)-(φ+2)

　=(43φ+41)/2~55.2877

です。

☆切頂多面体の外接球の半径

　切頂多面体の各頂点は同一球面上にあります。

外接球の半径を切頂多面体の頂点の座標から求めていきます。

　切頂多面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点を内分した点です。

　拡大率と内分する比は正多面体の面の形によって変わります。

　・正3角形…倍率3、内分比2:1

　・正4角形…倍率1+√2、内分比(1+√2):1

　・正5角形…倍率√5、内分比(φ+1):1

◯切頂4面体

　正4面体の隣合う2点の座標は、

(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂4面体の頂点の座標は、

　3×(1/3)×(1/2√2)×{2(1,1,1)+(1,-1,-1)}

　=(1/2√2)×(3,1,1)

よって、外接球の半径は、

　(1/2√2)×√(3²+1²+1²)

　=(√22)/4~1.1726

です。

◯切頂6面体

　正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、

(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)

で、倍率1+√2、内分比(1+√2):1なので、

切頂6面体の頂点の座標は、

　(1+√2)×{1/(2+√2)}×(1/2)×{(1+√2)(1,1,1)+(-1,1,1)}

　=(1/2√2)×(√2, 2+√2, 2+√2)

　=(1/2)×(1, 1+√2, 1+√2)

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{1²+(1+√2)²+(1+√2)²}

　=(1/2)×√(7+4√2)~1.7788

です。

◯切頂8面体

　正8面体の隣合う2点の座標は、

(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂8面体の頂点の座標は、

　3×(1/3)×(1/√2)×{2(1,0,0)+(0,1,0)}

　=(1/√2)×(2,1,0)

よって、外接球の半径は、

　(1/√2)×√(2²+1²+0²}

　=(√10)/2~1.5811

です。

◯切頂12面体

　正12面体の隣合う2点の座標は、

(1/2)×(0,1,φ²)と(1/2)×(0,-1,φ²)

で、倍率√5、内分比(1+φ):1なので、

切頂12面体の頂点の座標は、

　√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1+φ)(0,1,φ²)+(0,-1,φ²)}

　={(√5)/2(2+φ)}×(0 ,φ ,(2+φ)φ²)

　= {(√5)/(2×5)}×(3-φ)×(0 ,φ ,(2+φ)(1+φ))

　=(2φ-1)(3-φ)÷10×(0,φ,4φ+3)

　=(5φ-5)÷10×(0,φ,4φ+3)

　={(φ-1)/2}×(0,φ,4φ+3)

　=(1/2)×(0, φ(φ-1), (4φ+3)(φ-1))

　=(1/2)×(0,1,3φ+1)

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{0²+1²+(3φ+1)²}

　=(1/2)×√(15φ+11)~2.9694

です。

◯切頂20面体

　正20面体の隣合う2点の座標は、

(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(0,-1,φ)

で、倍率3、内分比2:1なので、

切頂20面体の頂点の座標は、

　3×(1/3)×(1/2)×{2(0,1,φ)+(0,-1,φ)}

　=(1/2)×(0,1,3φ)

よって、外接球の半径は、

　(1/2)×√{0²+1²+(3φ)²}

　=(1/2)×√(9φ+10)~2.4780

です。