京阪 '24正月ダイヤ解説(1) 昼間パターン (No.718) 20240131初版

2024年の京阪本線正月ダイヤについて解説します。

　まずは、昼間の特急・急行・普通15分パターン

(上り：大阪淀屋橋12時台〜17:00発20サイクル、下り：京都出町柳13:15〜15時台発11サイクル)の解説です。

↑上り・↓下り

☆特徴

〇京阪間通しの3種別(特急・急行・普通)の15分サイクルです。

　特急は通常ダイヤでも主力の種別で、主要駅のうち大阪市に近い守口市・寝屋川市・香里園を通過する種別です。

特急停車駅：大阪淀屋橋・北浜・天満橋・京橋・枚方市・樟葉・中書島・丹波橋・七条・祇園四条・三条・出町柳京都

　急行は特急停車駅の他に、香里園(成田山不動尊)・石清水八幡宮・伏見稲荷・清水五条(清水寺)・神宮丸太町(平安神宮)の寺社仏閣へ便利な駅(ただし、JR京都駅方面との乗換駅でもある東福寺駅にはホームが短いから停車しないので注意)や、

大阪市に近い主要駅である守口市・寝屋川市・香里園や、

遊園地ひらかたパークへの枚方公園にも停車します。

通常ダイヤでは影が薄い急行ですが、正月ダイヤでは重要な種別となっています。

急行停車駅：大阪淀屋橋・北浜・天満橋・京橋・守口市・寝屋川市・香里園・枚方市・樟葉

　　　　　・石清水八幡宮・中書島・丹波橋・伏見稲荷・七条・清水五条・祇園四条・三条・神宮丸太町・出町柳京都

　　　　　(京都七条→京都出町柳は各駅に停車)

　普通は(当然)すべての駅に停まります。京都府内において、通常ダイヤではあまり見ない種別ですが、正月ダイヤでは準急のかわりに頻繫に見かけます。

　逆に、通常ダイヤでは特急と並んで終日運転されている準急は、正月ダイヤでは朝と夜だけと大幅に数を減らします。

よって、準急→急行で通過になる駅のうち特に萱島駅の対大阪方面の利便性が下がるので注意しましょう。

〇上りは特急・急行・普通の全てが京都出町柳ゆき、

　下りは特急・急行が大阪淀屋橋ゆき、普通が大阪中之島(京都出町柳14:51、15:21発は大阪淀屋橋)ゆきです。

〇大阪淀屋橋(特急・急行)・大阪中之島(普通)・京都出町柳(特急・急行・普通)のいずれも、同じ種別で折り返します。

〇大阪淀屋橋・京都出町柳は各種別の発着番線が固定です。

　上り：大阪淀屋橋…特急：4番線、急行：3番線

　下り：京都出町柳…特急：2番線、急行・普通：1番線

〇上りと下りで特急の接続・待避パターンが異なります。

　特急と普通の接続・待避

上り…大阪萱島(待避)→枚方市→丹波橋京都

下り…京都三条→丹波橋→香里園(待避)大阪

　特急と急行の接続

上り…京都三条

下り…枚方市

〇急行と普通の接続パターンは同じです(大阪守口市・香里園・丹波橋京都)。

〇特急の大阪淀屋橋・京都出町柳での折り返しが長く、運用数も休日ダイヤより1つ多い9運用(15×9=2時間15分)です。

　大阪淀屋橋…03,18,33,48分着→15,30,45,00分発の12分

　京都出町柳…10(13:21発のみ11),25,40,55分着→08,23,38,53分発の13(13:23発のみ12)分

〇急行・普通の京都出町柳での折り返しは短く、特急が折り返す間に急行の折り返し→普通の折り返しが行われます。

　京都出町柳急行…12(13:16発のみ13),27,42,57分着→16,31,46,01分発の4(13:16発のみ3)分

　京都出町柳普通…18,33,48,03→21,36,51,06分発の3分

〇昼パターンの特急9運用は8000系8運用の他に3000系1運用も入ります(3000系特急は2時間15分間隔)。

　3000系特急(「」内は昼パターンの3000系特急、ーは間隔が他とより広い部分、背景が同じ色の列車は同じ車両での運転)

●上り大阪淀屋橋仕立て…7:25,8:00,8:30,9:00,9:15,9:29,ー,10:14,10:44,11:14,11:44,

　　　　　　　　　　　「13:30,15:45」,17:30,18:00,18:30,19:00,ー,19:45,20:15,20:45,21:15,22:05,22:25

●下り京都出町柳仕立て…7:11,7:53,8:08,8:23,ー,9:08,9:38,10:08,10:23,10:38,

　　　　　　　　　　　「12:23,14:38」,16:23,16:54,17:24,17:54,ー,18:38,19:08,19:38,20:08,ー,20:53,21:23

●昼パターンの3000系特急の運用は朝の上り洛楽(4本目大阪淀屋橋11:25→49分→京都出町柳12:14)からの折り返しです。

●昼パターンからの折り返しは夕方の下り洛楽(2本目京都出町柳16:46→49分→大阪淀屋橋17:35)→回送なので、夜の運用はありません。

〇急行のプレミアムカー(3000系)は30分間隔と見せかけて、

　その1/5(大阪淀屋橋12:03,14:33発、京都出町柳13:16,15:46発)は通勤型運用です。

急行プレミアムカー(3000系) 8往復(ーは通勤型運用)

●下り京都出町柳仕立て…　,11:15,11:45,12:15,12:45,ー,13:46,14:16,14:46,15:16,ー

●上り大阪淀屋橋仕立て…ー,12:33,13:03,13:33,14:03,ー,15:03,15:33,16:03,16:33

☆昼パターンの急行プレミアムカー(3000系)の運用は朝の上り2~5本目洛楽の直前の特急(大阪淀屋橋10,11時14,44分発→京都出町柳11,12時10,40分着)からの折り返しです。

☆昼パターンからの折り返しは夕方の下り洛楽の直後の特急(京都出町柳16,17時24,54分発→大阪淀屋橋11,12時19,49分着)で、

　夕方以降、特急9運用は8000系5運用、3000系4運用とほぼ交互になります(3000系特急運用の夜の運用は無いため)。

☆種別ごとの解説

〇特急(大阪淀屋橋〜京都出町柳54~56分、8000系8運用+3000系1運用=9運用)

　上り…大阪淀屋橋12~16時15,30,45,00分発→京都出町柳13~17時10,25,40,55分着(12:15発は56分、15:00,15:30発は54分)

　下り…京都出町柳13~15時23,38,53,08分発→大阪淀屋橋14~16時18,33,48,03分着

●上りの各列車の京都出町柳での折り返しが下りの各列車です。

●下り1本目京都出町柳13:23発の大阪淀屋橋での折り返しが上り10本目大阪淀屋橋14:30発です。

●3000系の運用は、

　上り6本目大阪淀屋橋13:30発→下り6本目京都出町柳14:38発→上り15本目大阪淀屋橋15:45発です。

停車駅：大阪淀屋橋・北浜・天満橋・京橋・枚方市・樟葉・中書島・丹波橋・七条・祇園四条・三条・出町柳京都

●通常ダイヤでは8運用(2時間)で全て8000系ですが、

　大阪淀屋橋・京都出町柳の両方でそれぞれ12,13分とほぼ1サイクル停車している(通常ダイヤの昼パターンでは平均約7分)のと、

　所要時分が約55分と通常ダイヤより約2分遅いので、9運用(2時間15分)になり、増えた1運用は3000系が充てられます。

☆接続

上り

★萱島で普通を待避させる

★大阪枚方市→丹波橋京都で普通と接続

★三条で急行(京都七条→京都出町柳は各駅に停車)と接続

下り

★京都三条→丹波橋→京橋大阪で普通大阪中之島ゆきと接続

★枚方市で急行と接続

★香里園で普通を待避させる

です。

〇急行(大阪淀屋橋〜京都出町柳69~71分、3000系4運用+通勤型6運用=10運用)

　上り…大阪淀屋橋12~15時03,18,33,48分発→京都出町柳13~16時12,27,42,57分着(15:03,15:30発は71分)

　下り…京都出町柳13~15時16,31,46,01分発→大阪淀屋橋14~16時25,40,55,05分着

ただし、大阪淀屋橋12:03,14:33発、京都出町柳13:16,15:46発は通勤型

●上り1本目大阪淀屋橋12:03発の折り返しが下り1本目京都出町柳13:16発です。

●下り1本目京都出町柳13:16発の折り返しが上り11本目大阪淀屋橋14:33発で、

　その折り返しが下り11本目出町柳15:46発(昼パターン最終)です。

　また、その折り返しから上り夕パターンの快速急行樟葉ゆきになります。

●上りは通勤型ー運用から運用が2巡し、

下りは通勤型ー運用から１巡し、通勤型ー運用だけ2回就きます。

●2本目(淀屋橋12:18発、出町柳13:31発、淀屋橋14:48発)

は淀屋橋6:54発の準急出町柳ゆきの運用にも就くので7両編成です。

停車駅：大阪淀屋橋・北浜・天満橋・京橋・守口市・寝屋川市・香里園・枚方市・樟葉・

　　　　石清水八幡宮・中書島・丹波橋・伏見稲荷・七条・清水五条・祇園四条・三条・神宮丸太町・出町柳京都

　　　　(京都七条～京都出町柳は各駅に停車)

急行プレミアムカー(3000系) 8往復(ーは通勤型運用)

　下り…京都出町柳仕立て…　,11:15,11:45,12:15,12:45,ー,13:46,14:16,14:46,15:16,ー

　上り…大阪淀屋橋仕立て…ー,12:33,13:03,13:33,14:03,ー,15:03,15:33,16:03,16:33

●下り京都出町柳仕立て3000系急行は11時台から急行プレミアムカーが走り始めます(11,12時台は15,45分発と1分早い)。

●上りは京都三条、下りは枚方市で特急に抜かれるので、特急の9運用に2運用増えますが、

　出町柳では特急が折り返す間に急行が折り返すので、1運用引いて10運用(9+2-1)です。

●3000系の運用は5運用なので半分が3000系になりそうですが、

　特急に1運用就いているので急行に就くのは4運用です。

　よって、1/5(大阪淀屋橋12:03,14:33発、京都出町柳13:16,15:46発)は通勤型運用です。

☆接続

上り

★大阪淀屋橋12:18発のみ大阪京橋で大阪中之島仕立ての普通と接続

★守口市→香里園→丹波橋で普通と接続(大阪淀屋橋12:18発のみ守口市で普通萱島ゆきと接続)

★京都三条で特急と接続

下り

★丹波橋→香里園→守口市で普通と接続

★枚方市で特急と接続

〇普通(大阪中之島〜京都出町柳上り118分、下り122分、17運用ぶん)

　上り…大阪中之島12~16時35,50,05,20分発→京都出町柳14~18時33,48,03,18分着

　下り…京都出町柳13~14時21,36,51(14:51発は大阪淀屋橋ゆき),06分発→大阪中之島15~16時23,38,53(15:53着は区間急行),08分着

●普通は複々線区間(萱島より大阪側)に区間急行または普通が増発される時間帯がありますが、

　複線区間(萱島より京都側)はほぼ同じです。

●大阪中之島発は12:35〜16:20発の12本が15分サイクル(この前後は本数が増える)です。

●京都出町柳発は13:21~14:51発の7本が純粋な昼パターンです。

●京都出町柳14:51発は大阪淀屋橋ゆきですが、大阪京橋で萱島仕立ての区間急行大阪中之島ゆきと接続するので、実質大阪淀屋橋ゆきが1本増える形となります。

●運用の1周が長いので運用数は目安です。

●萱島発着が無い時間帯(昼)は寝屋川車両基地の従業員用に約30分間隔で大阪側へ回送が走ります。

☆接続

上り

★萱島で特急を待避

★守口市→香里園で急行と接続

★枚方市で特急と接続

★丹波橋で急行→特急の順に接続

下り

★京都三条で特急と接続

★丹波橋で急行→特急の順に接続

★香里園で特急を待避→急行と接続

★守口市で急行と接続

●丹波橋での接続が上下ともに急行→特急の順になるのがポイントです。

　次回はこの後の夕方下り洛楽運転時間帯(京都出町柳16,17時台発 京阪間通し特急・急行・普通15分9サイクル＋洛楽30分4サイクル)について解説します。

『京阪 '24正月ダイヤ解説(2) 夕方洛楽 (No.718)』

夕方上りパターン(大阪淀屋橋17時台~19:30発 快速急行樟葉ゆき・京阪間通し特急・普通15分10サイクル)はこちら↓

『京阪 '24正月ダイヤ解説(3) 夕方上り』

2026年正月ダイヤ 4両編成

　前回は通勤型車両の編成両数は不明と記述していましたが、4両編成のみ下に4本破線が引かれているので判別可能です。6往復全て夜間の萱島⇔中之島の普通です。

なお、7両編成と8両編成の区別はつきません。

『2026年正月ダイヤ』

萱島　　　中之島　　　萱島

19:11→19:45　20:06→20:43

19:25→20:00　20:21→20:58

20:10→20:45　21:06→21:43

21:25→22:00　22:10→22:45

22:10→22:44　22:56→23:34

23:12→23:46　23:50→24:19

3本目から5本目、4本目から6本目

が繋がると推測できます。

上記の萱島→寝屋川信号場→萱島

の折り返しは27分なので、

4本目に繋がるのは2本目と思われます。

よって、4両編成は3運用で、

・1本目

・2本目→4本目→6本目

・3本目→5本目

と推測できました。

動画版

2026正月ダイヤ5　夜の4両編成普通

斜方12・20面体

　今回は斜方12・20面体について求めていきます。

↑右の立体が斜方12・20面体。

　左が立方8面体、中央が斜方立方8面体

斜方12・20面体は、

・正12面体の30辺を正方形に置き換えた立体。

　正12面体の20頂点は正3角形に変化し、

　頂点の数は3倍の60点となる。

・正20面体の30辺を正方形に置き換えた立体。

　正20面体の12頂点は正5角形に変化し、

　頂点の数は5倍の60点となる。

・面の数は、

　・正12面体の面由来の正5角形12枚

　・正20面体の面由来の正3角形20枚

　・両立体の辺由来の正方形30枚

　の計62枚。

・辺の数は、

　・辺を切り離したものである、辺の2倍の60本と、

　・切り離した2辺の両端同士を繋ぐ2辺である60本

　の計120本。

　下の図のように、

　・正12面体由来の赤い辺60本

　・正20面体由来の緑の辺60本

　に分けられる。

・座標

　前述の通り、

正12面体や正20面体の面の間(辺)に

正方形を差し込んだ立体である。

　よって、正12面体や正20面体の各面の向きは

変形前の立体と変わらないことに注目すると

座標は意外と簡単に求まる。

　まずは、正12面体や正20面体の座標を確認する。

正12面体や正20面体の図は、

どちらの立体も辺から見た図が

直交する3方向から見た形が一致するので

最も扱い易い。よって、これを用いる。

また、計算の都合で辺の長さを2として扱う。

　正12面体は桜色の線で描かれている。

各頂点の座標は、

・(±φ,±φ,±φ)

・(±1,0,±φ²)

・(±φ²,±1,0)

・(0,±φ²,±1)

の20点。

　正20面体は紫色の線で描かれている。

各頂点の座標は、

・(0,±1,±φ)

・(±φ,0,±1)

・(±1,±φ,0)

の12点。

　全体の寸法は、

一方の立体の頂点を他方の立体の面だけ引き離したので、

寸法の和となる。

正12面体はφ²、正20面体はφなので、

その和はφ³と求まる。

　斜方12・20面体の座標

・どちらも辺から見た図を基準としているので、

　真上にあるのは正方形である。

　座標は、(±1,±1,±φ³)。

・真上の正方形に隣り合う正5角形

　幅(X)はφ、縦(Y)はφおよびφ²、

　高さ(Z)は-1および-φ変化するので、

　座標は、(±φ,±φ²,±2φ)および(0,±(φ+2),±φ²)。

・真上の正方形に隣り合う正3角形

　正5角形の隣の辺に繋がるので、

　縦(X)、幅(Y)と逆転する。

　縦(X)はφ、高さ(Z)は-φ⁻¹変化するので、

　座標は、(±φ²,0,±(φ+2))であり、

　これは正5角形の遠い方の頂点と一致する。

よって、斜方12・20面体の座標は、

・(±1,±1,±φ³)

・(±φ³,±1,±1)

・(±1,±φ³,±1)

・(±φ,±φ²,±2φ)

・(±2φ,±φ,±φ²)

・(±φ²,±2φ,±φ)

・(0,±(φ+2),±φ²)

・(±φ²,0,±(φ+2))

・(±(φ+2),±φ²,0)

の60点と求まった。

・体積

斜方12・20面体の体積は、

各面と立体の中心で出来る角錐の体積の和で求める。

・正方形×30

　正方形の面積は2²=4である。

　高さは正方形の面のZ座標からφ³である。

　よって1つあたりの体積は、4φ³/3となる。

　30個あるので、40φ³となる。

・正5角形×12

　正5角形の面積は2²×({(√5)/4}×√{3+4φ})

　　=(√5)×√(3+4φ)である。

　高さは原点から正5角形の重心までの距離である。

　　5角形の重心は一般に、頂点の平均と一致しないが、

　　正5角形は対称性が高いので一致するから、

　　5つの頂点

　　・(1,1,φ³)

　　・(-1,1,φ³)

　　・(φ,φ²,2φ)

　　・(-φ,φ²,2φ)

　　・(0,φ+2,φ²)

　　の平均である、

　　(1/5)×(0,3φ+6,9φ+3)

　　=(3/5)×(0,φ+2,3φ+1)と求まった。

　高さは、

　(3/5)×√{0²+(φ+2)²+(3φ+1)²}

　=(3/5)×√{(φ²+4φ+4)+(9φ²+6φ+1)}

　=(3/5)×√(10φ²+10φ+5)

　=(3/√5)×√(2φ²+2φ+1)

　=(3/√5)×√(4φ+3)

　と求まった。

　1つ当たりの体積は、

　=(1/3)×{(√5)×√(3+4φ)}×{(3/√5)×√(4φ+3)}

　=4φ+3であり、

　12個の体積は48φ+36と求まった。

・正3角形20枚

　正3角形の面積は2²×{(√3)/4}=√3である。

高さは原点から正3角形の重心までの距離である。

　　3角形の重心は頂点の平均と一致するから、

　　3つの頂点

　　・(1,1,φ³)

　　・(1,-1,φ³)

　　・(φ²,0,φ+2)

　　の平均である、

　　(1/3)×(φ+3,0,5φ+4)と求まった。

　高さは、

　(1/3)×√{(φ+3)²+0²+(5φ+4)²}

　=(1/3)×√{(φ²+6φ+9)+(25φ²+40φ+16)}

　=(1/3)×√(26φ²+46φ+25)

　=(1/3)×√(72φ+51)

　=(1/√3)×√(24φ+17)と求まった。

　ここで、24φ+17についてだが、平方の形である。

　(pφ+q)²=p²φ²+2pqφ+q²=(p²+2pq)φ+(p²+q²)

　なので、17を2つの平方数の和として考えるとよい。

　17=4²+1²で、4²+2×4･1=24であるから、

　24φ+17=(4φ+1)²と変形できる。

　よって、高さは、(4φ+1)/√3と表せる。

　1つ当たりの体積は、

　(1/3)×(√3)×{(4φ+1)/√3}

　=(4φ+1)/3であり、

　20個の体積は(80φ+20)/3と求まった。

したがって斜方12・20面体の体積は、

40φ³+(48φ+36)+{(80φ+20)/3}

=(80φ+40)+(48φ+36)+{(80φ+20)/3}

=(128φ+76)+{(80φ+20)/3}

=(1/3)×{3×(128φ+76)+(80φ+20)}

=(1/3)×{(384φ+228)+(80φ+20)}

=(1/3)×(464φ+248)

と求まった。

また、辺の長さが1の時は、この1/8倍の、

(1/3)×(58φ+31)となる。

2025/09/21(日)(1)朝の万博臨時列車その1

出町柳7:31発　臨時特急0751号中之島ゆき

3002F

大阪方から

左の1番線が7:31発の臨時特急0751号中之島ゆき 3002F

右の2番線が7:34発の特急0705号淀屋橋ゆき 3006F

なお、先に入線するのは後に発車する特急淀屋橋ゆき(7:23着)、臨時特急は7:26発の準急の発車後に到着する(前運用の回送は深草で待避)。

三条8:20発の臨時快急8051号中之島ゆき 8010F

樟葉9:33発臨時快急0951号中之島ゆき 3002F

出町柳7:31発の臨時快急は中之島到着後、樟葉に回送されます。

お守りと

中之島10:17発の臨時特急1050号出町柳ゆき 3002F

さっきの折り返しです。大江橋となにわ橋の駅名標と

デルタ12面体(1)座標

　前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。

今回はデルタ12面体について扱います。

https://www.nicovideo.jp/watch/sm45378330

　デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。

デルタ12面体

　 赤い面が 4枚(1枚は右奥)、 白い面が 8枚あります。 赤い面の 間の辺が 4本集まる頂点どうしの辺です。

これらの 赤い2辺は 互いに垂直で、

右の辺は 左の辺と 中央の辺でできる 平面と、

左の辺は 右の辺と 上下の辺でできる 平面と 垂直になります。

　 左の 赤い辺を 奥行き(y)方向、 右の赤い辺を 高さ(z)方向、 原点を 左の辺の 中点と置きます。

　左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。

　上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。

　右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。

　右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。

x座標をx₃とすると、赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。

　求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。

正面の白い正三角形の3辺について考えていきます。

　左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

　横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

　右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

です。

　まずはαから求めていきます。

(1)：x₁²=3/4-α²…(4)

(2)：x₂²=1-(α-1/2)²=-α²+α+3/4…(5)

(3)：x₁²-2x₁x₂+x₂²+2α²=1

　　(3/4-α²)+(-α²+α+3/4)

　　　-2√(3/4-α²)×√(-α²+α+3/4)+2α²=1

　　α+1/2=2√{(3/4-α²)(-α²+α+3/4)}

　　α²+α+1/4=4(3/4-α²)(-α²+α+3/4)

　　α²+α+1/4=4(α⁴-α³-3α²/2+3α/4+9/16)

　　α²+α+1/4=4α⁴-4α³-6α²+3α+9/4

　　4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0…(6)

となりました。この4次方程式の解の１つはα=1/2です。この時、

(1)：x₁²=1/2、x₁=1/√2

(2)：x₂²=1、x₂=1

(3)：1/2+1-2×(1/√2)×1+1/2=1

　　2-√2=1

となり、連立方程式を満たしません。

　式(6)を2α+1で割ると、

　2α³-3α²-2α+2=0…(7)

が導けます。

この方程式は3つの実数解をもち、

その値は、-0.8892285591、1.744644286、0.6445842732です。

αは正で正三角形の高さを超えないので3つ目の値です。

　次にx₁を求めていきます。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

(1)：α²=3/4-x₁²…(8)

(3)：x₂²-2x₁x₂+x₁²+2α²=1

(8)を代入

　　x₂²-2x₁x₂+x₁²+2(3/4-x₁²)=1

　　x₂²-2x₁x₂-x₁²+1/2=0

x₂について解の公式を使うと、

　　x₂=x₁±√(2x₁²-1/2)…(9)

(2)：{x₁±√(2x₁²-1/2)}²+α²-α+1/4=1

　　x₁²+2x₁²-1/2±2x₁√(2x₁²-1/2)

　　　+3/4-x₁²-α+1/4=1

　　2x₁²-α-1/2=±2x₁√(2x₁²-1/2)

　　4x₁⁴+α²+1/4-4αx₁²+α-2x₁²=4x₁²(2x₁²-1/2)

　　-4x₁⁴+(3/4-x₁²)+1/4=α(4x₁²-1)

　　-4x₁⁴-x₁²+1=α(4x₁²-1)

　　16x₁⁸+8x₁⁶-7x₁⁴-2x₁²+1=(3/4-x₁²)(4x₁²-1)²

　　16x₁⁸+8x₁⁶-7x₁⁴-2x₁²+1=(3/4-x₁²)(16x₁⁴-8x₁²+1)

　　16x₁⁸+8x₁⁶-7x₁⁴-2x₁²+1=-16x₁⁶+20x₁⁴-7x₁²+3/4

　　16x₁⁸+24x₁⁶-27x₁⁴+5x₁²+1/4=0…(10)

(10)はx₁の8次方程式ですが、

全て偶数乗なので、x₁²=X₁とすると、

　　16X₁⁴+24X₁³-27X₁²+5X₁+1/4=0…(11)

となり、X₁の4次方程式になりました。

解のひとつはX₁=1/2、つまりx₁=1/√2です。

これは先程と同じく成立しません。

　(11)を2X₁-1で割ると、

　　32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0…(12)

になり、3つの解は、

X₁=-2.293783684、0.3345111147、-0.04072743037であり、

正である2つ目です。

よって、x₁=0.5783693584と求まりました。

　最後にx₂を求めていきます。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

(1)：α²=3/4-x₁²…(8)

(3)：x₂²-2x₁x₂+x₁²+2α²=1

(8)を代入

　　x₂²-2x₁x₂+x₁²+2(3/4-x₁²)=1

　　x₁²+2x₁x₂-x₂²-1/2=0…(13)

　　x₂²-x₁²=2x₁x₂-1/2…(14)

　　2x₁x₂=x₂²-x₁²+1/2…(15)

x₁についての2次方程式を解くと、

　　x₁=-x₂±√(2x₂²+1/2)…(16)

(2)：x₂²+α²-α+1/4=1

　　x₂²+(3/4-x₁²)-α+1/4=1

　　x₂²-x₁²=α

　　2x₁x₂-1/2=α

　　4x₁²x₂²-2x₁x₂+1/4=α²

　　4x₁²x₂²-2x₁x₂+1/4=3/4-x₁²

　　4x₁²x₂²-x₂²+x₁²-1/2+1/4=3/4-x₁²

　　4x₁²x₂²+2x₁²-x₂²-1=0

　　(2x₁²-1/2)(2x₂²+1)=1/2

　　{2{x₂²+(2x₂²+1/2)±2x₂√(2x₂²+1/2)}-1/2}(2x₂²+1)

　　　=1/2

　　{6x₂²+1/2±4x₂√(2x₂²+1/2)}(2x₂²+1)=1/2

　　12x₂⁴+7x₂²=±4x₂(2x₂²+1)√(2x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=16x₂²(2x₂²+1)²(2x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=16x₂²(4x₂⁴+4x₂²+1)(2x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=16x₂²(8x₂⁶+10x₂⁴+4x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=128x₂⁸+160x₂⁶+64x₂⁴+8x₂²

　　16x₂⁸+8x₂⁶-15x₂⁴-8x₂²=0…(17)

(17)はx₂の8次方程式ですが、

全て偶数乗なので、x₂²=X₂とすると、

　　16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0…(18)

となり、X₂の4次方程式になりました。

解のひとつはX₂=0、つまりx₂=0です。これも成立しません。

　(18)をX₂で割ると、

　　16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0…(19)

になり、3つの解は、

X₂=0.9790953879、-0.5491393984、-0.9299559895であり、

正である1つ目です。

よって、x₂=0.9894924901と求まりました。

デルタ12面体(2)座標(2)

デルタ多面体7 デルタ12面体の寸法 すべての面が正3角形の凸な立体

前回の再掲

　前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。今回はデルタ12面体について扱います。

　デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。

デルタ12面体

　赤い面が4枚(1枚は右奥)、白い面が8枚あります。赤い面の間の辺が4本集まる頂点どうしの辺です。これらの赤い2辺は互いに垂直で、右の辺は左の辺と中央の辺でできる平面と、左の辺は右の辺と上下の辺でできる平面と垂直になります。

　左の赤い辺を奥行き(y)方向、右の赤い辺を高さ(z)方向、原点を左の辺の中点と置きます。

　左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。

　上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。

　右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。

　右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。x座標をx₃とすると、赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。

　求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。正面の正三角形の3辺について考えていきます。

　左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

　横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

　右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

です。

再掲以上

今回は(1)、(2)、(3)を

・全幅：x₃=x₁+x₂

・中間の幅：x₄=x₂-x₁

を用いて書き換えることで、それらの長さを求めることができます。外国版のWikipediaに載っている式はこちらに近い式です。

　まず、式を書き換える為に、x₁、x₂をx₃、x₄で表します。

・x₁=(x₃-x₄)/2

・x₂=(x₃+x₄)/2

です。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

を書き換えると、

(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)

(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)

x₄²+2α²=1…(3)　x₄²=1-2α²…(4)　2α²=1-x₄²…(5)

になります。(1)、(2)は両辺を4倍しました。

(1)…x₃²-2x₃x₄+x₄²+2(1-x₄²)=3

　　x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)

(2)…x₃²+2x₃x₄+x₄²+2(1-x₄²)-4α+1=4

　　x₃²-x₄²+2x₃x₄-1-4α=0…(7)

似たような形なので、差を求めます。

(6)-(7)…x₃x₄=α…(8)

2乗します

　2x₃²x₄²=1-4x₄²

　x₄²(2x₃²+1)=0…(9)

x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)をx₃やx₄について解くと、

・x₃=x₄+√(2x₄²+1)…(10)

・x₄=-x₃+√(2x₃²-1)…(11)

まず、(11)を用いてx₃を求めます。

　x₄²(2x₃²+1)=0…(9)

　{-x₃+√(2x₃²-1)}²(2x₃²+1)=0

　{x₃²+(2x₃²-1)-2x₃√(2x₃²-1)}(2x₃²+1)=0

　(3x₃²-1)(2x₃²+1)=2x₃(2x₃²+1)√(2x₃²-1)

　6x₃⁴+x₃²-2=2x₃(2x₃²+1)√(2x₃²-1)

　36x₃⁸+12x₃⁶-23x₃⁴-4x₃²+4

　　　=4x₃²(2x₃²+1)²(2x₃²-1)

　　　=4x₃²(2x₃²+1)(4x₃⁴-1)

　　　= 4x₃²(8x₃⁶+4x₃⁴-2x₃²-1)

　　　=32x₃⁸+16x₃⁶-8x₃⁴-4x₃²

　4x₃⁸-4x₃⁶-15x₃⁴+4=0

　x₃²の項はありません

　4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0

　X₃=1/2が見つかりますが、適していません。

　2X₃-1で割ると、

　2X₃³-X₃²-8X₃-4=0…(12)

　これを解くと、

　X₃=2.458190776

　　-0.5982787969

　　-1.359911979

　X₃は正の値なので1つ目を採用します。

そうすると、x₃は

　x₃=1.567861849

と求まりました。

次に、x₄も求めていきます。

　x₄²(2x₃²+1)=0…(9)

x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)をx₃やx₄について解くと、

・x₃=x₄+√(2x₄²+1)…(10)

・x₄=-x₃+√(2x₃²-1)…(11)

(10)を用いてx₄を求めます。

　x₄²(2{x₄²+(2x₄²+1)-2x₄√(2x₄²+1)}+1)=0

　6x₄⁴+3x₄²-1=4x₄³√(2x₄²+1)

　36x₄⁸+36x₄⁶-3x₄⁴-6x₄²+1=32x₄⁸+16x₄⁴

　4x₄⁸+20x₄⁶-3x₄⁴-6x₄²+1=0

　4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0

これの解のひとつはX₄=1/2ですが、不適です。

2X₄-1で割ると、

　2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0

これを解くと、

　X₄=-5.087567369

　　　0.1690222294

　　-0.5814548607

で、正の2つ目を採用します。x₄は、

　x₄=0.4111231317

と求まりました。

以下に方程式をまとめます。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)

(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)

x₄²+2α²=1…(3)

次に、各値の方程式をまとめます

64X₁⁴+96X₁³-108X₁²+20X₁+1=0、X₁=1/2

32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0

X₁=-2.293783684

　　0.3345111147

　　-0.04072743037

x₁=0.5783693584

16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0、X₂=0

16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0

X₂=0.9790953879

　-0.5491393984

　-0.9299559895

x₂=0.9894924901

4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0、X₃=1/2

2X₃³-X₃²-8X₃-4=0

X₃=2.458190776

　-0.5982787969

　-1.359911979

x₃=1.567861849

4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0、X₄=1/2

2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0

X₄=-5.087567369

　0.1690222294

　-0.5814548607

x₄=0.4111231317

4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0、α=-1/2

2α³-3α²-2α+2=0…(7)

α=-0.8892285591

　1.744644286

　0.6445842732

x₁〜x₄をαを用いて表すと、

・x₁²=-α²+3/4

・x₂²=-α²+α+3/4

・x₃²=-2α²+2α+2

・x₄²=-2α²+1

となりました。

前2項和数列(フィボナッチ数列)の1の位

　フィボナッチ数列、ある項はその前の2項の和になる数列の1の位を並べる。周期は60である。

0112358314

5943707741

5617853819

0998752796

5167303369

5493257291

　奇数、奇数、偶数の順に並んでいる。

　00~99の100通りには40個足りないので、他の系列を見ていこう。まず、0に続くのは1,7,9,3の5以外の奇数である。

　なので、00から見ていく。

00の次は0で、その次も0なので、0が続く系列である。

　次に02から始まる系列は、周期20である。

0224606628

0886404482

この系列は偶数のみで、02,04,06,08が含まれている。

　03は01からの、04は02からの系列にあるので、次は05から始まる系列である。周期は3である。

055

05,55,50の3つが含まれている。

　ここで、01からが60個、00からが1個、02からが20個、05からが3個で84個が登場した。

残りは16個である。

　06,08は02からの系列、07,09,10,11,12は01からの系列に含まれていて13は入っていない。

13からの系列は周期12で、

213471

897639

であり、奇数、奇数、偶数の順である。

　残りは4個である。14,15,16,17,19,23,25は01からの系列、18,21は13からの系列、20,22,24は02からの系列に含まれているので、次は26である。

周期は4で、2684である。

02系列、05系列は01系列のそれぞれ2,5倍であり、

01系列を5で割った余りは20個周期、

2で割った余りは3個周期(奇数、奇数、偶数)である。

また、26系列は13系列の2倍で、

13系列を5で割った余りが4個周期になっている。

01系列はφⁿのφの係数、

02系列は2φⁿのφの係数、

05系列は5φⁿのφの係数、

13系列は(√5)φⁿ⁺¹の係数、

26系列は(2√5)φⁿ⁺¹のφの係数の1の位となっているようだ。(√5=2φ-1)

2025年10月のダイヤ改正 雑な予想

　万博閉幕の約2週間後である、10/26(日)にダイヤ改正が行われるようです。

　3000系(青い電車)のプレミアムカーが2両になります。現4号車を外し、5号車と6号車(既存のプレミアムカー)の間に新しいプレミアムカーを挟む形とみられます。

　車両扉は、大阪寄りであり、6号車の京都寄りの扉と隣り合います。荷物置き場が増えるようです。

　ここで、現行平日ダイヤと掲載されている変更内容から3000系から、平日朝がどのようになるか見ていきます。

　現行の朝の3000系は、

42　　　　6:08　6:30　6:50　7:12

40　　　　6:11　6:33　6:53　7:15

39　　　　6:13　6:34　6:54　7:17

37　　　　6:15　6:37　6:57　7:19

30　　　　6:22　6:43　7:04　7:26　

28　　　　6:24　6:46　7:07　7:29　

24　　　　6:35　6:56　7:18　7:40　　

21　6:29　6:41　7:03　7:25　7:48　　　　　　

18　　レ　　レ　　レ　　レ　　レ

17　　レ　　レ　　レ　　レ　　レ

04　6:45　6:55　7:19　7:44　8:08　　　　

03　6:48　6:58　7:22　7:47　8:11　　　

02　6:50　7:00　7:24　7:49　8:13　　　

01　6:52　7:02　7:26　7:51　8:15　

01　7:00　7:12　7:36　7:57　8:20　　

42　7:56　8:10　8:38　8:57　9:20　　　

42　8:07　8:18　8:48　9:07　9:24

40　8:10　8:21　8:52　9:10　9:28

39　8:12　8:23　8:53　9:12　9:29

37　8:14　8:25　8:56　9:14　9:32

30　8:22　8:32　9:04　9:22　9:40　

28　8:25　8:35　9:07　9:25　9:43　

24　8:36　8:46　9:17　9:35　9:53　　

21　8:42　8:52　9:23　9:41　9:59　　　　　　

18　　レ　　レ　9:28　9:46　10:04

17　　レ　　レ　9:31　9:48　10:07

11　　レ　　レ　9:38　9:55　10:14

04　8:58　9:10　9:42　10:00　10:19　　　　

03　9:01　9:13　9:45　10:03　10:22　　　

02　9:03　9:15　9:47　10:05　10:24　

01　9:05　9:17　9:49　10:07　10:26　　　　

で3つ目の6:30発のが朝だけの運用です。

下り京橋は、6:45,6:55,7:19,7:44,8:08,8:58,9:10

という感じです。

　次に変更点として、枚方市7:16発の通勤快急が3000系で新設されます。京橋着は7:38頃となるので、4つ目の7:44の特急は変更になるでしょう。

この特急は淀出庫からですが、寝屋川に変更して枚方市5番線発の可能性もあります。

　今の枚方市7:13発のライナーが樟葉7:00仕立に変更されることを考えると、ライナーを同じ停車駅の通勤快急に置き換えたと見ることもできます。ライナーは樟葉7:00発から淀6:50発に延長された急行の続行と思われます。

　樟葉8:29発(京橋8:56？)の快速急行が3000系になるので、1つ目も変更になります。1つ目は淀から枚方市への回送ではじまります。

　淀屋橋9:14発の快速急行樟葉ゆきはよく分からないです。洛楽が9:13発なので、洛楽の時刻が変更になるのでしょうか?

　昼は3000系4運用、8000系6運用のままとなる見込みです。プレミアムカーは14両と、前回の13運用13両と1両しか変わらないので増員が無くても2人体制は可能と思われます。現行の10運用だと人が余ってるのでしょうか。

　12分サイクルに固定すること基準に考えると今回の2両への変更は、供給量と予備を2本(前は8000系代用もそれなりに存在した)を見越したのではと考えられる。　　　　　

デルタ12面体(3) 体積 0.8594936461

　前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。今回からはデルタ12面体について扱います。

https://www.nicovideo.jp/watch/sm45385248

　デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。

デルタ12面体

　 赤い面が 4枚(1枚は 右奥)、 白い面が 8枚あります。 赤い面の 間の 辺が 4本集まる頂点どうしの辺です。
これらの 赤い2辺は 互いに垂直で、 右の辺は 左の辺と 中央の辺でできる 平面と、
左の辺は 右の辺と 上下の辺でできる 平面と 垂直になります。

　 左の赤い辺を 奥行き(y)方向、 右の赤い辺を 高さ(z)方向、 原点を 左の辺の 中点と置きます。

　左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。

　上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。

　右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。

　右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。x座標をx₃とすると、

赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。

　求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。
正面の正3角形の3辺について考えていきます。

　左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

　横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

　右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

です。

今回は体積を求めていきます。

　求め方は、4つの部分に分けて計算します。

・左側の部分

・手前、奥の部分

・右側の部分

です。

・左側の部分

　底面は、奥行き1、左右x₁であり、

　高さは2αの双3角錐です。

体積は、

(1/6)×1×x₁×2α=(1/3)×αx₁です。

・手前、奥の立体は、

　底面が、左右x₂、

奥行きは(1/x₂)×{(x₂-x₁)×(1/2)+x₁×α}

=(1/x₂)×({α-(1/2)}x₁+(1/2)×x₂)

高さが2αの双3角錐なので、体積は、

(1/6)×x₂×{(1/x₂)×({α-(1/2)}x₁+(1/2)x₂)}×2α

=(1/6)×α{(2α-1)x₁+x₂}

です。

・右側の立体は、

奥行きを高さとした、底面が台形の双錐体です。

底面は左の底辺が2α、右の底辺が1、

高さ(左右)がx₂の台形で、高さ(奥行き)が2αです。

体積は、

(1/3)×{(1/2)×(2α+1)×x₂}×2α

=(1/3)×αx₂(2α+1)

です。

これらの立体の和は、

(1/3)×αx₁

+2×(1/6)×α{(2α-1)x₁+x₂}

+(1/3)×αx₂(2α+1)

=(1/3)×α(x₁+{(2α-1)x₁+x₂}+(2α+1)x₂)

=(1/3)×α{2αx₁+(2α+2)x₂}

=(2/3)×α{x₂+α(x₁+x₂)}

=(2/3)×α(x₂+αx₃)

=(2/3)×α{√(-α²+α+3/4)+α√(2α²-2α-2)}

=(1/3)×α{√(-4α²+4α+3)+2α√(-2α²+2α+2)}

α=0.6445842732を代入すると、

=0.8594936461

と求まりました。

今回は(1)、(2)、(3)を

・全幅x₃=x₁+x₂

・中間の幅x₄=x₂-x₁

を用いて書き換えることで、それらの長さを求めることができます。外国版のWikipediaに載っている式はこちらに近い式です。

　まず、式を書き換える為に、x₁、x₂をx₃、x₄で表します。

・x₁=(x₃-x₄)/2

・x₂=(x₃+x₄)/2

です。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

を書き換えると、

(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)

(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)

x₄²+2α²=1…(3)　x₄²=1-2α²…(4)　2α²=1-x₄²…(5)

次に、各値の方程式をまとめます

64X₁⁴+96X₁³-108X₁²+20X+1=0、X₁=1/2

32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0

X₁=-2.293783684

　　0.3345111147

　　-0.04072743037

x₁=0.5783693584

16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0、X₂=0

16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0

X₂=0.9790953879

　-0.5491393984

　-0.9299559895

x₂=0.9894924901

4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0、X₃=1/2

2X₃³-X₃²-8X₃-4=0

X₃=2.458190776

　-0.5982787969

　-1.359911979

x₃=1.567861849

4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0、X₄=1/2

2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0

X₄=-5.087567369

　0.1690222294

　-0.5814548607

x₄=0.4111231317

4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0、α=-1/2

2α³-3α²-2α+2=0…(7)

α=-0.8892285591

　1.744644286

　0.6445842732

x₁〜x₄をαを用いて表すと、

・x₁²=-α²+3/4

・x₂²=-α²+α+3/4

・x₃²=-2α²+2α+2

・x₄²=-2α²+1

となりました。

デルタ多面体(3) 面の間の角度(12面体を除く)

　デルタ多面体は、全ての面が正三角形の凸な立体という定義から、辺を挟んだ2面のなす角度は180°未満でなければなりません。

　今回はその角度を求めていきます。なお、12面体は複雑な計算(3次方程式)が必要なので今回は省きます(外国語のWikipediaには掲載されていた)。

https://www.nicovideo.jp/watch/sm45283701

https://www.nicovideo.jp/watch/sm45302138

計算方法は、

・接する辺と垂直な線を2つの面に引く(2本の線は繋がっている必要がある)

・余弦定理で角度を計算

です。

・錐体

正3角錐(正4面体)　赤の面が底面

　錐体の面のなす角度は2種類あり、

　・側面どうし(三角形)

　・側面と底面(三角形とn角形)

です。

　前者は、正三角形の高さ(√3)/2が2本と底面の2つ離れた点の距離(正三角形は反対周りで隣の点で1、正方形は√2、正五角形はφ)で、余弦定理を用いて求めます。そうすると、

　・三角錐(正4面体)：Cos⁻¹(1/3)~70.5288°

　・四角錐：Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°

　・五角錐：Cos⁻¹{-(√5)/3}~138.1897°

となります。

　後者は、側面の正三角形の高さ(√3)/2、底面の内接円の半径(正三角形：1/2√3、正方形：1/2、正五角形：√{5(3+4φ)}/10)と錐体の高さ(三角錐：(√6)/3、四角錐：1/√2、五角錐：√{5(3-φ)}/5)から求まりますが、直角三角形なので、余弦は正三角形の高さと内接円の半径の比です(錐体の高さを三平方の定理から求めることが多い)。

　・三角錐(正4面体)：Cos⁻¹(1/3)~70.5288°

　・四角錐：Cos⁻¹(1/√3)~54.7356°

　・五角錐：Cos⁻¹(√{15(3+4φ)}/15)~37.3774°

となります。正三角錐は正四面体なので、両者の角度は等しく(70.5288°)なります。

・双錐

左から双3角錐(6面体)、双4角錐(正8面体)、双5角錐(10面体)　白と赤の錐体が底面で貼り付いている

　双錐の面のなす角度は錐体と同じく2種類で、

　・一方の錐体の側面どうし

　・錐体間の2面

です。

　前者は、ひとつの錐体について見ているので、錐体のそれと同じく、

　・双三角錐(6面体)：Cos⁻¹(1/3)~70.5288°

　・双四角錐(正8面体)：Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°

　・双五角錐(10面体)：Cos⁻¹{(-√5)/3}~138.1897°

となります。

　後者は、2つの錐体を接合しているので、錐体のそれの2倍の角度になります。

　・双三角錐：Cos⁻¹(-7/9)~141.0576°

　・双四角錐：Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°

　・双五角錐：Cos⁻¹{(8φ-9)/15}~74.7547°

双四角錐は正8面体なので、両者の角度が等し(109.4712°)くなります。また、双四角錐は4・4面体(正4面体の辺の中点を結んだ立体)なので、正4面体(70.5288°)と正8面体(109.4712°)の角度を足すと180°になります。

・全側錐角柱

全側錐正3角柱(14面体)　赤の面が三角柱の底面

　全側錐角柱の面の角度は3種類あり、

　・ひとつの四角錐の側面どうしの角度

　・底面と四角錐の側面の角度

　・隣り合う2つの四角錐の側面どうしの角度

です。

　ひとつ目は四角錐のそれから、Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°です。

　2つ目は柱体の底面と側面の角90°と四角錐の底面角の和である、Cos⁻¹{-(√6)/3}~144.7356°です。

　3つ目の角度は、側面どうしの角度(60°,90°,108°)と四角錐の底面角2つ分であり、四角錐の底面角2つ分がCos⁻¹(-1/3)~109.4712°なので、3角柱のみ凸になります。

　なお、三角柱以外は天面を錐体にしないといけません。この時、天面の錐体と側面の錐体の側面間の角度は、70.5288+90+54.7356~215.2644°、54.7356+90+54.7356~199.4712°、37.3774+90+54.7356~182.1130°

と全て凹角になります。

・双錐反角柱

双錐正4反角柱(16面体)と双錐正5反角柱(正20面体)　赤の面が反角柱の側面

　双錐反角柱の角度は3種類あり、

　・錐体の側面の角度

　・錐体と反角柱の側面の角度

　・反角柱の側面の角度

です。

　まず反角柱については、

　・底面と側面の角度

　・側面どうしの角度

の2種類あります。

　前者の角度は、斜辺が正三角形の高さ(√3)/2、底辺が底面の外接円と内接円の半径の差(1/√3-1/2√3=1/2√3、1/√2-1/2=(√2-1)/2、√{5(2+φ)}/5-√{5(3+4φ)}/10=√{5(7-4φ)}/10)から、

Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°、

Cos⁻¹{-(√6-√3)/3}~103.8312°

Cos⁻¹{-√{15(7-4φ)}/15}~100.8123°

です。

　後者の角度は、正三角形の高さ(√3)/2が2つに底面間の距離と3/2n周ずれた点になります。

外接円の半径は、1/√3、1/√2、√{5(2+φ)}/5で、

3/2n周は、180°、135°、108°なので、

水平方向の距離は、2/√3、√{(2+√2)/2}、φ√{5(2+φ)}/5になります。

　底面間の距離は、(√6)/3、1/√√2、√{5(2+φ)}/5になり、2頂点間の距離は、√2、√(1+√2)、φです。

　よって、側面どうしの角度は、Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°、Cos⁻¹{(1-2√2)/3}~127.5516°、Cos⁻¹{-(√5)/3}~138.1897°になりました。正3反角柱はは正8面体、双錐正5反角柱は正20面体なので角度は既出のものとなりました。

　双錐正4反角柱の錐体と反角柱の側面の角度は、正4角錐の底角Cos⁻¹(1/√3)~54.7356°と正4反角柱の底面角Cos⁻¹{-(√6-√3)/3}~103.8312°の和である、Cos⁻¹{(1-√2-2√√2)/3}~158.5718°です。