立方8面体 抵抗(4) 3つ離れた点 5/8

　前回は正12面体の正方形の対角線の合成抵抗を求めた結果、7/12となりました。

『立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24』

　今回は3番目に近い点の合成抵抗を求めます(5/8)。

◯3番目に近い点は図の中央付近のO(1)とC'(0)を選びます。

◯O(1),C'(0)からの距離は、

　・A(1,1)、A'(3,3)

　　…この2点は両点からの距離が等しいので電位は1/2です。

　・B(1,2)、E'(2,1)

　・C(1,4)、O'(4,1)

　・D(1,3)、D'(3,1)

　・E(2,3)、B'(3,2)

　です。

◯O(1)と辺で繋がっている頂点はA(1,1),B(1,2),C(1,4),D(1,3)の4点なので、

　電流の和は、

　(O-A)+(O-B)+(O-C)+(O-D)

　=(7/2)-(B+C+D)…(0)

　です。

◯B(1,2)についての式

　4B=O+A+E+D'=(3/2)+E+(1-D)

　E=4B+D-5/2…(1)

◯C(1,4)についての式

　4C=O+C+E+A'

　D=4C-E-3/2…(2)

◯D(1,3)についての式

　4D=O+C+E'+B'=1+C+(1-B)+(1-E)

　C=4D+B+E-3…(3)

◯E(2,3)についての式

　4E=B+C+D'+A'=B+C+(1-D)+1/2

　4E+D=B+C+3/2…(4)

B(1,2),C(1,4),D(1,3),E(2,3)の4文字についての

(1)~(4)の4本の式が立ちました。

連立方程式を解きます。

◯式(1)を式(3)に代入

　C=4D+B+E-3

　C=4D+B+(4B+D-5/2)-3

　C=5D+5B-11/2…(5)

◯式(1),(5)を式(2)に代入

　D=4C-E-3/2

　D=4×(5D+5B-11/2)-(4B+D-5/2)-3/2

　D=19D+16B-21

　18D+16B=21…(6)

◯式(1),(5)を式(4)に代入

　4E+D=B+C+3/2

　4×(4B+D-5/2)+D=B+(4D+B+E-3)+3/2

　16B+4D-10+D=4D+2B+E-3/2

　14B+D=E+17/2

◯式(1)を代入

　14B+D=(4B+D-5/2)+17/2

　10B=6

　B=3/5…(7)

◯式(7)を式(6)に代入

　18D+16B=21

　18D+16×(3/5)=21

　18D=21-48/5

　18D​​​​​​​=57/5

　D​​​​​​​=19/30…(8)

◯式(7),(8)を式(1)に代入

　E=4B+D-5/2

　E=4×(3/5)+19/30-5/2

　E=(72+19-75)/30

　E=8/15…(9)

◯式(7),(8)を式(5)に代入

　C=5D+5B-11/2

　C=5×(19/30)+5×(3/5)-11/2

　C=(19+18-33)/6

　C=2/3…(10)

◯式(7),(8),(10)を式(0)に代入すると、電流の和は、

　(7/2)-(B+C+D)

　=(7/2)-{(3/5)+(2/3)+(19/30)}

　=(105-18-20-19)/30

　=48/30=8/5

◯よって合成抵抗は5/8になりました。

　対蹠点の値2/3より小さくなっています。

◯各頂点の電位

・O(0,3)…1=30/30

・C(1,4)…2/3=20/30

・D(1,3)…19/30

・B(1,2)…3/5…18/30

・E(2,3)…8/15…16/30

・A(1,1)、A'(3,3)…1/2=15/30

・B'(3,2)…7/15=14/30

・E'(2,1)…2/5…12/30

・O'(4,1)…1/3…10/30

・C'(3,0)…0=0/30

になりました。

立方8面体の合成抵抗は、

・1…11/24

・2…7/12=14/24

・3…5/8=15/24

・4…2/3=16/24

と求まりました。

立方8面体　抵抗

『立方8面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 2/3』

『立方8面体 抵抗(2) 辺 11/24』

『立方8面体 抵抗(3) 正方形の対角線 11/24』