今回は多面体から切頂多面体を作っていきます。
切頂多面体は多面体の頂点部分を少し切り落とすことで、
多面体の面(正3,4,3,5,3角形)を正2n角形(正6,8,6,10,6角形)にします。
切り落としたときの断面は、元の正多面体の頂点に集まる辺の数で決まります(正3,3,4,3,5角形)。
〇切頂多面体の面の数は多面体の面の数(4,6,8,12,20枚) (正6,8,6,10,6角形)
と多面体の頂点の数(=断面の数)(4,8,6,20,12枚) (正3,3,4,3,5角形)
の和(8,12,12,32,32枚)です。
双対な多面体は面の数と頂点の数が入れ替わるので、
切頂6面体と切頂8面体、切頂12面体と切頂20面体の面の数は等しいです。
〇切頂多面体の頂点の数は多面体の辺の数(6,12,12,30,30本)
の2倍(12,24,24,60,60個)です。
双対な多面体は辺の数が等しいので、
切頂6面体と切頂8面体、切頂12面体と切頂20面体の頂点の数は等しいです。
各頂点には、多面体由来の正6,8,6,10,6角形2枚
と断面の正3,3,4,3,5角形1枚の3枚が集まります。
〇切頂多面体の辺の数は、多面体の辺の数(6,12,12,30,30本)
の3倍(18,36,36,90,90個)です。
多面体由来の辺(6,12,12,30,30本)は、多面体由来の正6,8,6,10,6角形2枚
他の辺(12,24,24,60,60本)は、断面の正3,3,4,3,5角形
と多面体由来の正6,8,6,10,6角形にはさまれます。
| 切頂〇面体 | 切頂4面体 | 切頂6面体 | 切頂8面体 | 切頂12面体 | 切頂20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正多面体 の面 |
正3角形 4枚 |
正方形 6枚 |
正3角形 8枚 |
正5角形 12枚 |
正3角形 20枚 |
| 切頂多面体 の面 |
正6角形 4枚 |
正8角形 6枚 |
正6角形 8枚 |
正10角形 12枚 |
正6角形 20枚 |
| 切頂多面体 の断面 |
正3角形 4枚 |
正3角形 8枚 |
正方形 6枚 |
正3角形 20枚 |
正5角形 12枚 |
| 切落とす 立体 とその体積 |
正3角錐 (正4面体) (√2)/12 4個 |
3角錐 (頂角90°) (√2)/24 8個 |
正4角錐 (√2)/6 6個 |
3角錐 (頂角108°) (2-φ)/12 20個 |
正5角錐 (φ+2)/12 12個 |
| 切落とす長さ 残る長さ |
1/3 1/3 |
1/(2+√2) (√2)/(2+√2) |
1/3 1/3 |
1/(2+φ) φ/(2+φ) |
1/3 1/3 |
| 拡大率 拡大率の3乗 |
3倍 27倍 |
(1+√2)倍 (7+5√2)倍 |
3倍 27倍 |
√5倍 5√5倍 |
3倍 27倍 |
切り落とす長さは正多面体の面の形で変わります。
・正3角形…1/3
・正方形…1/(2+√2)
・正5角形…1/(2+φ)
切り落とした残りの辺の長さが1になるように、
全体を拡大します。拡大率は、
・正3角形…3倍
・正方形…(1+√2)倍
・正5角形…(√5)倍
です。
このとき、切り落とした部分の形は底面が正多角形で側面が二等辺三角形の錐体であり、
個数は正多面体の頂点の数(4,8,6,20,12個)です。
底面は辺の長さが1で、形は頂点に集まる辺の数で変わります(正3,3,4,3,5角形)。
側面は底辺の長さが1で頂角は正多面体の面の頂角と同じです(60,90,60,108,60°)。
◯頂角が60°(正4,8,20面体)の二等辺三角形は正3角形で、底面はそれぞれ正3,4,5角形です。
体積は、
・正3角錐(正4面体)…(√2)/12
・正4角錐…(√2)/6
・正5角錐…(φ+2)/12
です。
◯頂角が90°なのは正6面体(立方体)で、底面は正3角形です。
側面が直角二等辺三角形になるので、側面の辺の長さは1/(√2)です。
正3角形の中心から頂点への距離は1/(√3)なので、高さは、
√{(1/2)-(1/3)}=(√6)/6で、
正3角形の面積が(√3)/4なので、体積は、
(1/3)×{(√3)/4}×{(√6)/6}=(√2)/24です。
これは、直交する3軸の長さが(1/√2)の三角錐なので、
(1/6)×(1/√2)³=(√2)/24と求めることもできます。
◯頂角が108°なのは正12面体で、底面は正3角形です。
正5角形の対角線の長さは辺のφ倍なので、
対角線の長さが1のとき、辺の長さはφ⁻¹=φ-1です。
正3角形の中心から頂点への距離は1/(√3)なので、高さは、
√{(φ-1)²-(1/3)}
=√{(2-φ)-(1/3)}
={(√3)/3}×√{3(2-φ)-1}
={(√3)/3}×√(5-3φ)
={(√3)/3}×φ⁻²
={(√3)/3}×(2-φ)で、
正3角形の面積が(√3)/4なので、体積は、
(1/3)×{(√3)/4}×{(√3)/3}×(2-φ)=(2-φ)/12です。
| 切頂〇面体 | 切頂4面体 | 切頂6面体 | 切頂8面体 | 切頂12面体 | 切頂20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正多面体 の体積 |
(√2)/12 0.1179 |
1 |
(√2)/3 0.4714 |
(7φ+4)/2 7.6631 |
(5/6)×φ² 2.1817 |
| 切頂多面体 の体積 |
(23/12)×√2 2.7106 |
(7/3)×(3+2√2) 13.5997 |
8√2 11.3137 |
(5/6)×(47φ+26) 85.0397 |
(43φ+41)/2 55.2877 |
| 切頂多面体 の体積 (拡大なし) |
(23/324)×√2 0.1004 |
(7/3)×{(√2)-1} 0.9665 |
(8/27)×√2 0.4190 |
(1/30)×(99φ+68) 7.6062 |
(43φ+41)/54 2.0477 |
| 体積比 (拡大なし) |
23/27 0.8519 0.(851) |
(7/3)×{(√2)-1} 0.9665 |
8/9 0.8889 0.(8) |
(1/15)×(16φ-11) 0.9926 |
(2φ+41)/45 0.9830 |
| 正多面体の 外接球の半径 |
(√6)/4 0.6124 |
(√3)/2 0.8660 |
(√2)/2 0.7071 |
{(√3)/2}×φ 1.4013 |
(1/2)×√(2+φ) 0.9511 |
| 切頂多面体の 外接球の半径 |
(√22)/4 1.1726 |
(1/2)×√(7+4√2) 1.7788 |
(√10)/2 1.5811 |
(1/2)×√(15φ+11) 2.9694 |
(1/2)×√(9φ+10) 2.4780 |
| 切頂多面体の 外接球の半径 (拡大なし) |
(√22)/12 0.3909 |
(1/2)×√(5-2√2) 0.7368 |
(√10)/6 0.5270 |
{(√5)/10}×√(15φ+11) 1.3280 |
(1/6)×√(9φ+10) 0.8260 |
| 外接球の半径 の比 (拡大なし) |
(√33)/9 0.6383 |
{(√3)/3}×√(5-2√2) 0.8508 |
(√5)/3 0.7454 |
{(√15)/15}×√(4φ+7) 0.9477 |
{(√5)/15}×√(8φ+21) 0.8685 |
☆切頂多面体の体積
切頂多面体の体積は、正多面体の体積を面の形に応じた倍率に拡大(体積は倍率の3乗)し、錐体を頂点の数だけ引きます。
◯切頂4面体
正4面体の体積は(√2)/12で、拡大率は3(体積は27倍)です。
切り落とすのは正3角錐(正4面体)4つです。よって、体積は、
3³×{(√2)/12}-4×{(√2)/12}
=(23/12)×√2~2.7106
です。
◯切頂6面体
正6面体(立方体)の体積は1で、拡大率は1+√2(体積は7+5√2倍)です。
切り落とすのは頂角が90°の3角錐(体積(√2)/24)8つです。よって、体積は、
(1+√2)³×1-8×{(√2)/24}
=(7+5√2)-(√2)/3
=(7/3)×(3+2√2)~13.5997
です。
◯切頂8面体
正8面体の体積は(√2)/3で、拡大率は3(体積は27倍)です。
切り落とすのは正4角錐(体積(√2)/6)6つです。よって、体積は、
3³×{(√2)/3}-6×{(√2)/6}
=9√2-√2
=8√2~11.3137
です。
◯切頂12面体
正12面体の体積は(7φ+4)/2で、拡大率は√5(体積は5√5倍)です。
切り落とすのは頂角が108°の3角錐(体積(2-φ)/12)20個です。
よって、体積は、
(√5)³×{(7φ+4)/2}-20×{(2-φ)/12}
=(5/2)×(√5)×(7φ+4)-(5/3)×(2-φ)
=(5/2)×(2φ-1)×(7φ+4)-(5/3)×(2-φ)
=(5/2)×(15φ+10)-(5/3)×(2-φ)
=(5/6)×{3(15φ+10)-2(2-φ)}
=(5/6)×(47φ+26)~85.0397
です。
◯切頂20面体
正20面体の体積は(5/6)×(φ+1)で、拡大率は3(体積は27倍)です。
切り落とすのは正5角錐(体積(φ+2)/12)12個です。よって、体積は、
3³×{(5/6)×(φ+1)}-12×{(φ+2)/12}
=(45/2)×(φ+1)-(φ+2)
=(43φ+41)/2~55.2877
です。
☆切頂多面体の外接球の半径
切頂多面体の各頂点は同一球面上にあります。
外接球の半径を切頂多面体の頂点の座標から求めていきます。
切頂多面体の頂点は正多面体を拡大し、隣合う2頂点を内分した点です。
拡大率と内分する比は正多面体の面の形によって変わります。
・正3角形…倍率3、内分比2:1
・正4角形…倍率1+√2、内分比(1+√2):1
・正5角形…倍率√5、内分比(φ+1):1
◯切頂4面体
正4面体の隣合う2点の座標は、
(1/2√2)×(1,1,1)と(1/2√2)×(1,-1,-1)
で、倍率3、内分比2:1なので、
切頂4面体の頂点の座標は、
3×(1/3)×(1/2√2)×{2(1,1,1)+(1,-1,-1)}
=(1/2√2)×(3,1,1)
よって、外接球の半径は、
(1/2√2)×√(3²+1²+1²)
=(√22)/4~1.1726
です。
◯切頂6面体
正6面体(立方体)の隣合う2点の座標は、
(1/2)×(1,1,1)と(1/2)×(-1,1,1)
で、倍率1+√2、内分比(1+√2):1なので、
切頂6面体の頂点の座標は、
(1+√2)×{1/(2+√2)}×(1/2)×{(1+√2)(1,1,1)+(-1,1,1)}
=(1/2√2)×(√2, 2+√2, 2+√2)
=(1/2)×(1, 1+√2, 1+√2)
よって、外接球の半径は、
(1/2)×√{1²+(1+√2)²+(1+√2)²}
=(1/2)×√(7+4√2)~1.7788
です。
◯切頂8面体
正8面体の隣合う2点の座標は、
(1/√2)×(1,0,0)と(1/√2)×(0,1,0)
で、倍率3、内分比2:1なので、
切頂8面体の頂点の座標は、
3×(1/3)×(1/√2)×{2(1,0,0)+(0,1,0)}
=(1/√2)×(2,1,0)
よって、外接球の半径は、
(1/√2)×√(2²+1²+0²}
=(√10)/2~1.5811
です。
◯切頂12面体
正12面体の隣合う2点の座標は、
(1/2)×(0,1,φ²)と(1/2)×(0,-1,φ²)
で、倍率√5、内分比(1+φ):1なので、
切頂12面体の頂点の座標は、
√5×{1/(2+φ)}×(1/2)×{(1+φ)(0,1,φ²)+(0,-1,φ²)}
={(√5)/2(2+φ)}×(0 ,φ ,(2+φ)φ²)
= {(√5)/(2×5)}×(3-φ)×(0 ,φ ,(2+φ)(1+φ))
=(2φ-1)(3-φ)÷10×(0,φ,4φ+3)
=(5φ-5)÷10×(0,φ,4φ+3)
={(φ-1)/2}×(0,φ,4φ+3)
=(1/2)×(0, φ(φ-1), (4φ+3)(φ-1))
=(1/2)×(0,1,3φ+1)
よって、外接球の半径は、
(1/2)×√{0²+1²+(3φ+1)²}
=(1/2)×√(15φ+11)~2.9694
です。
◯切頂20面体
正20面体の隣合う2点の座標は、
(1/2)×(0,1,φ)と(1/2)×(0,-1,φ)
で、倍率3、内分比2:1なので、
切頂20面体の頂点の座標は、
3×(1/3)×(1/2)×{2(0,1,φ)+(0,-1,φ)}
=(1/2)×(0,1,3φ)
よって、外接球の半径は、
(1/2)×√{0²+1²+(3φ)²}
=(1/2)×√(9φ+10)~2.4780
です。